1. Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn: $(x+2y-3)(x+2y-3)\sqrt{2016x^{2}+y^{2}}+5xy+y^{2}=3(x+y)$

   Tìm min S= x+2y

 

 2. Cho 2 số thực x,y t/m $(x^{2}+y^{2}+1)^{2}+3x^{2}y^{2}+1=4x^{2}+5y^{2}$

Đặt P= $x^{2}+y^{2}$. Tìm $\frac{3Pmax}{2Pmin}$

 

 Mọi người giúp em với ạ!

Tìm 2 số x, y nguyên dương>1 sao cho 3x +1 chia hết cho y và 3y+1 chia hết cho x     

                       

Cho 3 số thực dương x,y,z thỏa mãn x+y$\leq$z

 

CMR  (x²+y²+z²)($\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}}\geq \frac{27}{2}$

$\left | x-1993 \right |^{18}+\left | x-1994 \right |^{19}$=1

Cho hình vuông ABCD. Lấy M thuộc BC, đường thẳng AM cắt DC tại P,. Đường thẳng DM cắt AB kéo dài tại Q, PB cắt CQ tại I. Chứng minh BQ vuông góc CP

2c, 240=16.3.5=> n⁴-1 chia hết cho 240 <=> n⁴-1 chia hết cho 16, 3 và 5

+) n⁴-1 chia hết cho 16=> n là số lẻ

 Giả sử n=2k + 1=> n⁴-1=(2k+1)⁴-1=(4k²+4k+1)²-1= (4k²+4k)²+2(4k²+4k)+1-1=16(k²+k)²+8k(k+1) chia hết cho 16

+) n⁴-1 chia hết cho 3 thì n⁴ phải chia 3 dư 1=> n ko chia hết cho 3

+) n⁴-1 chia hết cho 5 thì n⁴-1 phải có tận cùng bằng 5 hoặc 0=> n⁴ tận cùng bằng 6 hoặc 1=> n tận cùng bằng 1;2;3;4;6;7; 8;9

Đk là n lẻ, n ko chia hết cho 3 và n ko có tận cùng bằng 5 và n là số tự nhiên

Cho a, b, c khác 0 thỏa mãn $a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)$ và $a^{2015}+b^{2015}+c^{2015}=1$

                    Tính P=$\frac{1}{a^{2015}}+\frac{1}{b^{2015}}+\frac{1}{c^{2015}}$

Tìm Max S = xyz(x+y)(y+z)(z+x) với x+y+z=1 và x,y,z>0

Cho x>y và xy=1 .CMR $\frac{x^{2}+y^{2}}{x-y}\geq 2\sqrt{2}$

Cho các số nguyên dương x,y,z thỏa mãn x²+y²=2z².CMR: x²-y² chia hết cho 84.

Chứng minh rằng: 

1. Nếu p là số nguyên tố thì A=2.3.4...(p-2)(p-1)+1 chia hết cho p.

2. Nếu p là số nguyên tố thì B=2.3.4...(p-3)(p-2)- 1 chia hết cho p.

  Mình kiểm tra lại thì thấy lộn dấu thật.

Cho a,b,c>0

C/m $\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}\geq \frac{a+b+c}{2}$

Cho các số thực dương a²+b²+c²=3

CMR $\sqrt{\frac{a^{2}}{a^{2}+b+c}}+\sqrt{\frac{b^{2}}{b^{2}+a+c}}+\sqrt{\frac{c^{2}}{c^{2}+a+b}}\leq \sqrt{3}$

 

Dinh Xuan Hung:Chú ý cách đặt tiêu đề

Câu 1 Với m,n,a,b,x,y thuộc N,ta

Gọi năm mà người đó đến trường là $\overline{199n}$($0\leq n\leq 9$)(do Một ngày thập kỉ cuối cùng của thế kỉ XX)

Gọi năm sinh của Mai là $\overline{19xy}$($0\leq x,y\leq 9$)

Gọi năm sinh của bạn mai là \overline{19ab}$($0\leq a,b\leq 9$)

Ta có tuổi của Mai=$\overline{199n}-\overline{19xy}$=10m+n-10x-y

          tuổi của bạn Mai =\overline{199n}-\overline{19ab}$=10m+n-10a-b

Theo đề ra ta có   90+n-10x-y=90+n-10a-b+1

                        <=>90+n-10x-y-90-n+10a+b=1

                        <=>10(a-x)+(b-y)=1

Vì 2 người này chỉ hơn nhau 1 tuổi nên xảy ra 2 trường hợp 

*Trường hợp 1:         a=x, b=y+1

Nhưng tổng các chữ số năm sinh của 2 em là số chẵn => Tổng các chữ số năm sinh của Mai= 10+x+y

                                                                                            Tổng các chữ số năm sinh của bạn Mai =10+a+b=10+x+y+1

Rõ ràng 10+x+y và 10+x+y+1 là 2 số liên tiếp nên không xảy ra trường hợp này.

*Trường hợp 2:         a-x=1 => b-y= -9 hay y-b=9( nếu a-x>1 thì học sẽ hơn nhau số tuổi >1)

vì 0\leq y\leq 9; 0\leq b\leq 9=>y=9; b=0$\overline{19a0}=\overline{19x9}+1 và để tổng các chữ số của 2 năm sinh trên chẵn thì a chắn , x lẻ=>x=1;3;5;7; a= 2;4;6;8$

Có lẽ 2 em này là học sinh nên ông ta lấy x=7; a=8 vì nếu x và a nhận các giá trị còn lại thì 2 bạn này chẳng phải là em học sinh nữa.

Câu 2.   Xét mọi trường hợp chẵn lẽ của a,b,c,d ta thấy đều có 2 thừa số chẵn trở lên=> Tích chia hết cho 4(*)

             Theo nguyên lí Đi-rich-lê, trong 4 số a,b,c,d luôn có 2 số có cùng số dư với 3=> Hiệu 2 số đó chia hết cho 3=>Tích chia hết cho 3(**)

Vì (3,4)=1 nên từ (*)và (**)=> tích chia hết cho 12.

           

b.   để có đẳng thức trên ta phải chứng minh 2(a⁴+b⁴+c⁴)=(a²+b²+c²)²

Ta có     2(a⁴+b⁴+c⁴) - (a²+b²+c²)²

           = 2(a⁴+b⁴+c⁴)-(a⁴+b⁴+c⁴+2a²b²+2b²c²+2a²c²)

          = a⁴+b⁴+c⁴-2a²b²-2b²c²-2c²a= (a⁴-2a²b²+b⁴)-2c²(a²-b²)+c⁴-4b²c²

          = (a²-b²)²-2c²(a²-b²)+c⁴-(2bc)² 

          = (a²-b²-c²)²-(2bc)²

          = (a²-b²+2bc-c²)(a²-b²-2bc-c²)

          = (a-b+c)(a+b-c)(a-b-c)(a+b+c)

          =0

8a.   a⁴+b⁴+c⁴=(a²+b²+c²)²-2(a²b²+b²c²+c²a²)

vì a+b+c=0=>(a+b+c)²=0=>a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca=0=>a²+b²+c²= -2(ab+bc+ca)

=>(a²+b²+c²)²-2(a²b²+b²c²+c²a²)=4(ab+bc+ca)² -2(a²b²+b²c²+c²a²)

                                                     =4(a²b²+b²c²+c²a²)-2(ab+bc+ca)²+4abc(a+b+c)=2(ab+bc+ca)²

 

                                                                                                                                                                                   

7a.  a+b+c=0

<=>(a+b+c)²=0

<=>a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca=0

<=>2+2ab+2bc+2ca=0

<=>ab+bc+ca= -1

=> (ab+bc+ca)²=1

<=>a²b²+b²c²+c²a²+2abc(a+b+c)=1

<=>a²b²+b²c²+c²a²=1

Ta có a⁴+b⁴+c⁴=(a²+b²+c²)²-2(a²b²+b²c²+c²a²)=4-2=2

b. Tương tự câu a.

6a.

      a²+b²+c²=ab+bc+ca

<=>a²+b²+c²-ab-ac-bc=0

<=>2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ca=0

<=>(a²-2ab+b²)+(b²-2bc+c²)+(a²-2ac+c²)=0

<=>(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=0

=>....

b.   (a+b+c)²=3(ab+bc+ca)

<=>a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca-3ab-3ac-3bc=0

<=>a²+b²+c²-ab-bc-ca=0

Tiếp tục chứng minh như câu trên

c.Câu này làm tương tự nhưng khác đáp áp là -(a-b)²-(b-c)²-(c-a)²

1.a,(3-1)(3+1)(3²+1)(3⁴+1)(3⁸+1)(3¹⁶+1)(3³²+1)$\frac{1}{2}$
Áp dụng hằng đẳng thức (a+b)(a-b)=a²-b²là được


1,b (a+b-c)²+(a-b+c)²-2(b-c)²=(a+b-c)²-(b-c)²+(a-b+c)²-(b-c)²=(a+b-c+b-c)(a+b-c-b+c)+(a-b+c+b-c)(a-b+c-b+c)=a(a+2b-2c)+a(a-2b+2c)=2a²
Hoặc bạn có thể tách (a+b-c)²=a²+2a(b-c)+(b-c)²
(a-b+c)²=a²-2a(b-c)+(b-c)²
=> .......


1c với d dùng hằng đẳng thức thứ 1 và 2


3.7778²-2223²=(7778+2223)(7778-2223)=10001.5555=55555555

1.Cho p là tích của n số nguyên tố đầu tiên (n>5).Chứng minh p+1 và p-1 không là số chính phương.

2.Cho A=1.3.5...2007.2009.2011

Chứng minh 2A-1;2A;2A+1 không là số chính phương.

Ta có $2a^{2}+a=3b^{2}+b\Leftrightarrow 2a^{2}-2b^{2}+a-b=b^{2}\Leftrightarrow 2(a-b)(a+b)+a-b=b^{2}\Leftrightarrow (a-b)(2a+2b+1)=b^{2}\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a-b=x^{2} & \\ 2a+2b+1=y^{2} & (x^{2}y^{2}=b^{2}) \end{matrix}\right.$

Đoạn cuối sai rồi bạn ạ.

Chứng minh rằng nếu các số nguyên a,b thỏa mãn điều kiện 2a²+a=3b²+b thì a-b và 2a +2b+1 là các số chính phương.

 

Tìm số tự nhiên n lớn nhất để số 4³¹+4¹⁰⁰⁸+4ⁿ  là số chính phương.