Cho $a \ge -1 , b \ge -1 $ , $a+b=6$. Chứng minh $\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1} \le 4$

$a+b=6$ nữa , sorry mình gõ thiếu

mình thấy bài này kì kì
nếu $a\geq -1 , b\geq -1$
thì khi sử dụng bdt C-S thì $a\geq 0 , b\geq 0$ mới được

Thêm $a+b=6$ nữa mới giải được bạn

Bài này tương tự nè. Cùng giải nhé!:
Cho $x;y;z\geq 1$. CM:
$\frac{1}{1+x^{2}}+\frac{1}{1+y^{2}}+\frac{1}{1+z^{2}}\geq \frac{3}{1+xyz}$

Hình như chỗ mẫu $x,y,z$ phải là mũ 3 .Áp dụng bài trên , ta có:
$\frac{1}{1+x^3} + \frac{1}{1+y^3}$ $\ge \frac{2}{1+\sqrt{x^3+y^3}}$
$\frac{1}{1+z^3}+\frac{1}{1+xyz}$ $\ge \frac{2}{1+\sqrt{xyz^4}}$
$\Rightarrow$ $\frac{1}{1+x^3}+\frac{1}{1+y^3}+\frac{1}{1+z^3}+\frac{1}{1+xyz}$ $\ge 2(\frac{1}{1+\sqrt{x^3+y^3}}+\frac{1}{1+\sqrt{xyz^4}})$ $\ge 2.\frac{2}{1+\sqrt[4]{x^3y^3xyz^4}}=\frac{4}{1+xyz}$
$\Leftrightarrow$ $\frac{1}{1+x^3}+\frac{1}{1+y^3}+\frac{1}{1+z^3} \ge \frac{3}{1+xyz}$

:D:D:D

Cho $x;y \ge 1$. Chứng minh $\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2} \ge \frac{2}{1+xy}$

Giải pt theo ẩn x ak bạn

Đúng rồi bạn , giúp mình với

$\frac{a+b-x}{c}-1+\frac{b+c-x}{a}-1+\frac{c+a-x}{b}-1+\frac{4x}{a+b+c}-4=0$
$(a+b+c-x)(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{4}{a+b+c})=0$

Đến đây rồi sao nữa bạn ?

Giải phương trình $\frac{a+b-x}{c}+\frac{b+c-x}{a}+\frac{c+a-x}{b}+\frac{4x}{a+b+c}=1$

Cho $a,b$ là các số thực dương có tổng bằng 2 .Tìm GTLN và GTNN của biểu thức $P=a^2+b^2$

$x,y>0$ , $x+y \le 1$ . Tìm GTNN của $A=\frac{1}{x^2+xy}+\frac{1}{y^2+xy}$

$P=\color{red}{\sum \frac{2x}{2\sqrt{y+z-4}}\geq 4\sum \frac{x}{y+z}}\geq 4.\frac{3}{2}=6$

Đoạn này làm sao vậy bạn

Cho $x,y,z$ là các số thực lớn hơn 2 .Tìm GTNN của $P=\frac{x}{\sqrt{y+z-4}}+\frac{y}{\sqrt{x+z-4}}+\frac{z}{\sqrt{y+x-4}}$

Giải hệ $ \left\{\begin{array}{l}x^2+y^2=5 \\xy(x^2-y^2)=6\end{array}\right. $

Giải hệ : $\left\{\begin{array}{l} (x-1)\sqrt{y+2}+(y-1)\sqrt{x+2}=4 \\x\sqrt{y-1}+y\sqrt{x-1}=xy \end{array}\right. $

Giải phương trình $(3x+1)(4x+1)(6x+1)(12x+1)=2$

Ta có $4\frac{1}{2m}.\frac{1}{n} \leq (\frac{1}{2m}+\frac{1}{n})^{2}=\frac{1}{9}$
Suy ra: $\frac{2}{mn} \leq \frac{1}{9}$
        =>$\frac{1}{mn} \leq \frac{1}{18}$
        =>$18 \leq mn$
Vaayj GTNN của B là 18, dấu "=" xảy ra 2m=n=6=>m=3 và n=6

$\frac{1}{2m}$ và $\frac{1}{n}$ chưa chắc lớn hơn 0 thì làm sao dùng AM-GM được

nhân hai vế với 24
ta được phương trình $(12x+1)(12x+2)(12x+3)(12x+4)=48$
sau đó đặt t= 12x là thấy được dạng đặc biệc

Bạn giải chi tiết được không

Cho m,n là các số nguyên thỏa $\frac{1}{2m}+\frac{1}{n}=\frac{1}{3}$ . Tìm GTNN của B=mn

Giải hệ $ \left\{\begin{array}{l}20(x+y)=9xy \\30(y+z)=11yz \\12(z+x)=5zx \end{array}\right. $

Chứng minh rằng mọi số tự nhiên N đều có thể biểu diễn được một cách duy nhất dưới dạng $\frac{(x+y)^2 + 3x + y}{2}$ , với x,y là các số tự nhiên

Cho $a,b,c$ dương thỏa $2(a^2+b^2+c^2) + 3abc = 9$ ,CMR $a+b+c \leq 3$

Cho $x \ge 0$ .Tìm GTLN của $y=\frac{6-x-\sqrt{x}}{3+\sqrt{x}}$

Mk viết sơ qua thôi, bạn tự trình bày nhé!

a) $\Delta ABK=\Delta ADN$ (c.g.c)
=> AK = AN ( cạnh t.ư)
=>CM được $\Delta AMK=\Delta AMN$ (c.c.c) (đpcm)
b) Vì $\Delta ABK=\Delta ADN$ => $\widehat{KAB}=\widehat{NAD}$ ( góc t.ư)
=> $\widehat{KAB}+\widehat{BAM}=\widehat{NAD}+\widehat{BAM}$
Hay $\widehat{KAM}=\widehat{NAD}+\widehat{BAM}$
Mà $\widehat{NAM}=\widehat{KAM}$
=> $\widehat{NAM}=\widehat{NAD}+\widehat{BAM}$
Lại có: $\widehat{NAD}+\widehat{BAM}+\widehat{MAN}=90^{\circ}$ (đpcm)
=> $\widehat{MAN}=45^{\circ}$
c) Xét tứ giác DAPN có: $\widehat{PAN}=\widehat{PDN}=45^{\circ}$ => Tứ giác DAPN là tứ giác nội tiếp
=> $\widehat{APN}=\widehat{ADN}=90^{\circ}$
Xét tứ giác PMCN có $\widehat{NPM}=\widehat{NCM}=90^{\circ}$ => Tứ giác PMCN là tứ giác nội tiếp ₍₁₎
Dễ dàng chứng minh được $\Delta DAQ=\Delta DCQ$ (c.g.c) => $\widehat{DAQ}=\widehat{DCQ}$ (góc t.ư)
Mà $\widehat{DAQ}=\widehat{NPQ}$ ( tứ giác DAPN nội tiếp)
=> $\widehat{DCQ}=\widehat{NPQ}$ => Tứ giác QPCN là tứ giác nội tiếp (2)
Từ ₍₁₎ và ₍₂₎ => 5 điểm C,M,P,N,Q nằm trên một đường tròn
Mk là hơi tắt, chỗ nào thắc mắc bạn có thể hỏi mk

Bạn viết như vầy với mình là quá chi tiết rồi , mình chỉ cần biết hướng giải thôi , cám ơn bạn nhiều :3

Cho A=111...111 (2m chữ số 1)
B=111...111 (m+1 chữ số 1)
C=666...666 (m chữ số 6)
Chứng minh rằng A+B+C+8 là số chính phương