Tìm $f(x) \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:
$i) f(2x)=2f(x)$;
$ii) f(x)+f(-x)=0$.
Có 64 mục bởi Le Dinh Hai (Tìm giới hạn từ 06-06-2020)
Đã gửi bởi Le Dinh Hai on 09-09-2016 - 22:14 trong Hàm số - Đạo hàm
Tìm $f(x) \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:
$i) f(2x)=2f(x)$;
$ii) f(x)+f(-x)=0$.
Đã gửi bởi Le Dinh Hai on 09-09-2016 - 21:57 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình
Với $a=1$ ta có: $a^x-x-1=-x < 0 \forall x >0$.
Cho mình hỏi tại sao có điều này với:
"BPT" đúng với mọi $x\in \mathbb{R} \iff x\ln a \ge \ln{(x+1)} \quad\forall x>-1, x\neq 0.$
$\[\iff \frac{\ln{(x+1)}}{x} \le \ln{a} \le\frac{\ln{(t+1)}}{t} \quad\forall x>0, \forall t \in (-1,0).\]$
Đã gửi bởi Le Dinh Hai on 09-09-2016 - 20:48 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình
Tìm $a \in \mathbb{R}$ sao cho $a^x-x-1 \geq 0$ với $\forall x \in \mathbb{R}$.
Đã gửi bởi Le Dinh Hai on 13-06-2016 - 08:45 trong Số học
Chứng minh: $\text{C}_{2n+1}^{n}\vdots 2n+1$
Đã gửi bởi Le Dinh Hai on 24-05-2016 - 10:19 trong Dãy số - Giới hạn
Tìm $\lim_{x\rightarrow \infty }(1+\dfrac{n}{x})^x$
Đã gửi bởi Le Dinh Hai on 15-02-2016 - 19:56 trong Bất đẳng thức và cực trị
3. Cho $a+b+c=1$
Chứng minh $b+c\geq 16abc$
Với $a$ or $b$ or $c =0$ thì BĐT luôn đúng.
Với $a,b,c\neq 0$,ta có:
$b+c \geq 16abc <=> \frac{1}{b} +\frac{1}{c} \geq 16a$
$<=> \frac{1}{b} +\frac{1}{c} \geq 16(1-b-c)$
$<=>\frac{1}{b}+16b+\frac{1}{c}+16c \geq 16$ (luôn đúng theo Cauchy)
Đã gửi bởi Le Dinh Hai on 03-01-2016 - 17:16 trong Dãy số - Giới hạn
Dãy Fibonacci thì có $U_1=1$ chứ sao lại bằng $0$
Chẳng thấy nó đặc biệt chỗ nào cả
Ta đặt $S_{n+1}=\sum_{i=1}^{n+1}\frac{U_i}{x_i}$
Khi đó: $S_{n+1}-S_n=\frac{U_{n+1}}{x^{n+1}} $
Chứng minh được: $U_{n+1}=\frac{1}{\sqrt{5}}((\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n}-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n$
Đặt $a=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ và $b=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$
Khi đó $(S_{n+1}-S_n)\sqrt{5}=\frac{a^n-b^n}{x^{n+1}}$
$<=>S_{n+1}\sqrt{5}-\frac{a^{n+1}}{x^{n+1}(a-x)}+\frac{b^{n+1}}{x^{n+1}(b-x)}$
$=S_n\sqrt{5}-\frac{a^n}{x^n(a-x)}+\frac{b^n}{x^n(b-x)}=...=S_1\sqrt{5}-\frac{a}{x(a-x)}+\frac{b}{x(b-x)}=\frac{b}{x(b-x)}-\frac{a}{x(a-x)}$
Do đó:
$S_{n+1}\sqrt{5}=\frac{a^{n+1}}{x^{n+1}(a-x)}-\frac{b^{n+1}}{x^{n+1}(b-x)}+\frac{b}{x(b-x)}-\frac{a}{x(a-x)}$
Giờ lấy lim cái này @@
Để ý một tí thì chúng ta sẽ thấy nếu $x$ cực kì lớn hay $x\rightarrow \infty $ thì $S\rightarrow 0$
Vậy đề sai
$S=\frac{1}{(x-1)x-1}$ không phải $S=(x-1)x-1$ nên tất nhiên nếu $x$ cực kì lớn thì $S\rightarrow 0$
Đã gửi bởi Le Dinh Hai on 03-01-2016 - 10:15 trong Dãy số - Giới hạn
Cho dãy $Fibonaci$ với $U_{1}=0;U_{2}=1;U_{n+2}=U_{n+1}+U{n}$
Chứng minh $S=\sum_{i=1}^{n}\frac{U_{i}}{x^i} = \frac{1}{(x-1)x-1}$
Với n tiến đến vô cùng,$x \geq 2$, $x$ là số tự nhiên.
Đặc biệt,với $x=2;3;8;10;...$,ta có $S$ lần lượt bằng$\frac{1}U_{3};\frac{1}{U_{6}};\frac{1}{U_{11}};\frac{1}{U_{12}};...$
Đã gửi bởi Le Dinh Hai on 02-01-2016 - 22:13 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho $0<a,b<1$.Tìm $max$ $a^2b\sqrt{1-a^2}+ab^2\sqrt{1-b^2}$
Đã gửi bởi Le Dinh Hai on 02-12-2015 - 20:43 trong Bất đẳng thức và cực trị
Với $a,b,c,d>0$.Chứng minh:
$\frac{ab}{a+b}+\frac{cd}{c+d}\leq \frac{(a+c)(b+d)}{a+b+c+d}$
Đã gửi bởi Le Dinh Hai on 27-11-2015 - 21:09 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho x,y>0 và x+y=1.Tìm giá trị lớn nhất của $P=(1-\frac{1}{x^2})(1-\frac{1}{y^2})$
Ta có:$P=(1-\frac{1}{x^2})(1-\frac{1}{y^2})=\frac{(x^2-1)(y^2-1)}{x^{2}y^{2}}=\frac{(x+1)(y+1)}{xy}=1+\frac{2}{xy} \geq 3$
Đã gửi bởi Le Dinh Hai on 25-11-2015 - 22:35 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình
Chứng minh rằng phương trình sau có đúng một nghiệm $x^5-x^2-1=0$
Xét hàm$f(x)=x^5-x^2-1$,ta có
Tại $x\leq 1$,$f(x)<0$
Tại $x \geq 1$,ta có
$f'=5x^4-2x>0$ nên hàm đồng biến
Lại có $f(1)=-1<0$;$f(2)=27>0$
nên pt $x^5-x^2-1=0$ có 1 nghiệm duy nhất
Đã gửi bởi Le Dinh Hai on 25-11-2015 - 22:20 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho $a^4+b^4+c^4=1$,$a,b,c>0$
CM:$(\frac{a^4}{b}+\frac{b^4}{c}+\frac{b^4}{a})^4\geq 3$
Đã gửi bởi Le Dinh Hai on 18-11-2015 - 21:39 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình
Giải phương trình:
$\sqrt{x^{2}+16}-2\sqrt{x^{2}-3x+4}=\sqrt{x+1}-1$
Ta có $\sqrt{x^{2}+16}-2\sqrt{x^{2}-3x+4}=\sqrt{x+1}-1$$(x>-1)$
$<=>\frac{x^2+16-4x^2+12x-16}{\sqrt{x^2+16}+2\sqrt{x^2-3x+4}}=\frac{x+1-1}{\sqrt{x+1}+1}$
$<=>x(\frac{12-3x}{\sqrt{x^2+16}+2\sqrt{x^2-3x+4}}-\frac{1}{\sqrt{x+1}+1})$
$<=>x=0$hoặc $\frac{12-3x}{\sqrt{x^2+16}+2\sqrt{x^2-3x+4}}-\frac{1}{\sqrt{x+1}+1}$
Ta có $\frac{12-3x}{\sqrt{x^2+16}+2\sqrt{x^2-3x+4}}-\frac{1}{\sqrt{x+1}+1}$
$<=>12\sqrt{x+1}+12-3x\sqrt{x+1}-3x=\sqrt{x^2+16}+2\sqrt{x^2-3x+4}$$(\sqrt{x^2+16}-5)+(2\sqrt{x^2-3x+4}-4)+(3x\sqrt{x+1}-18)+(3x-9)+(24-12\sqrt{x+1})=0$
$<=>(x-3)[\frac{2x}{\sqrt{x^2-3x+4}+2}+\frac{9(x^2-4x+12)}{\sqrt{x^3+x^2}+6}+\frac{x+3}{\sqrt{x^2+16}+5}-\frac{12}{\sqrt{x+1}+2}]=0$
<=>$x=3$ hoặc $\frac{2x}{\sqrt{x^2-3x+4}+2}+\frac{9(x^2-4x+12)}{\sqrt{x^3+x^2}+6}+\frac{x+3}{\sqrt{x^2+16}+5}-\frac{12}{\sqrt{x+1}+2}=0$
Xét$\frac{2x}{\sqrt{x^2-3x+4}+2}+\frac{9(x^2-4x+12)}{\sqrt{x^3+x^2}+6}+\frac{x+3}{\sqrt{x^2+16}+5}-\frac{12}{\sqrt{x+1}+2}=0$
Ta có $\frac{2x}{\sqrt{x^2-3x+4}+2} >2$;$\frac{9(x^2-4x+12)}{\sqrt{x^3+x^2}+6}>4$;$\frac{x+3}{\sqrt{x^2+16}+5}>0$;$-\frac{12}{\sqrt{x+1}+2}>-6$
$=>$ Vô nghiệm
Vậy $x=0;x=3$
Đã gửi bởi Le Dinh Hai on 14-11-2015 - 21:11 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho $a,b >0$ và $a+b=2$. Tìm $Min$:
$P=\frac{1}{4a^2+2}+\frac{1}{4b^2+2}+\frac{1}{ab}$
Ta có $P=\frac{1}{4a^2+2}+\frac{1}{4b^2+2}+\frac{1}{ab}=\frac{1}{4a^2+2}+\frac{1}{4b^2+2}+\frac{6}{6ab} \geq \frac{64}{4a^2+4b^2+36ab+4} \geq \frac{64}{11(a+b)^2+4}= \frac{4}{3}$
Đã gửi bởi Le Dinh Hai on 30-10-2015 - 22:21 trong Bất đẳng thức và cực trị
1) Với a,b,c là các số dương, thỏa mãn $abc=1$. CMR:
a) $\frac{1}{a^{2}(b+c)}+\frac{1}{b^{2}(c+a)}+\frac{1}{c^{2}(a+b)}\geq \frac{3}{2}$
Ta có: $A=\frac{1}{a^{2}(b+c)}+\frac{1}{b^{2}(c+a)}+\frac{1}{c^{2}(a+b)}$
$=\sum \frac{abc}{a^{2}b+a^{2}c}$
$=\sum \frac{bc}{ab+ac}$
Đặt $ab=x;bc=y;ca=z$,ta có:
$A=\sum \frac{x}{y+z} \geq \frac{3}{2}$ (theo Nesbit)
ta được đpcm
Đã gửi bởi Le Dinh Hai on 28-10-2015 - 20:47 trong Bất đẳng thức và cực trị
Vì $a,b,c\geq 0$ và $ab+bc+ca= 3$
$\Rightarrow 0\leq a,b,c\leq 1$
Sai rồi bạn.Với $a=b=1,2$,ta có $c=0,65$
Khi đó $ab+bc+ca=3$ nhưng $a,b>1$
Đã gửi bởi Le Dinh Hai on 28-10-2015 - 20:36 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix}x^{2}y+xy^{2}-3x=-3 \\ x^{2}+y^{2}-3y=1 \end{matrix}\right.$
Đã gửi bởi Le Dinh Hai on 16-10-2015 - 23:32 trong Đại số
Cho 3 số a,b,c khác 0 thỏa mãn $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=1$. Tính giá trị biểu thức:
P=$(a^{2004}-b^{2004})(b^{2005}+c^{2005})(c^{2006}-a^{2006})$
$(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=1$
<=>$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+2=0$
<=>$a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a+ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}+2abc=0.abc=0$
<=>$(a+b)(b+c)(c+a)=0$
Phần còn lại bạn tự chứng minh! =>$P=0$
Đã gửi bởi Le Dinh Hai on 27-09-2015 - 21:06 trong Tổ hợp - Xác suất và thống kê - Số phức
Đặt số 01 là $x$,số 01 là $y$
=> số cần tìm có dạng $\overline{a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}}$(x,y,2,3,4)
Xét với x=> có 3.3.2.1 = 18 số
Xét với y=> có $4!=24$ cách
Đã gửi bởi Le Dinh Hai on 25-08-2015 - 13:47 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho $a,b,c>0$.CMR: $\frac{3a}{3+a}+\frac{4b}{4+b}+\frac{5c}{5+c}\leq \frac{12(a+b+c)}{12+a+b+c}$
Đặt$x=a+3;y=4+b;z=5+c$
Ta có:$\frac{3a}{3+a}+\frac{4b}{4+b}+\frac{5c}{5+c}=\frac{3x-9}{x}+\frac{4y-16}{y}+\frac{5z-25}{z}=12-(\frac{9}{x}+\frac{16}{y}+\frac{25}{z})\leq 12-\frac{144}{x+y+z}=\frac{12x+12y+12z-144}{x+y+z}=\frac{12(a+b+c)}{12+a+b+c}$(đpcm)
Đã gửi bởi Le Dinh Hai on 23-08-2015 - 21:34 trong Bất đẳng thức và cực trị
b)Tìm min $y=\sqrt{x-7}+\sqrt{9-x}$
Ta có:$y^{2}=x-7+9-x+2\sqrt{1-x^{2}+16x-64}=2+2\sqrt{1-(x-8)^{2}}\leq 4$
=>$y\leq 2$
Đã gửi bởi Le Dinh Hai on 21-08-2015 - 21:38 trong Số học
Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ để $\sqrt{\frac{4n-2}{n+5}}$ là một số hữu tỉ
Đặt $\sqrt{\frac{4n-2}{n+5}}=\frac{a}{b}$ với $(a,b)=1;a,b\in \mathbb{N};b\neq 0$
=>$\frac{4n-2}{n+5}=\frac{a^{2}}{b^{2}}=4-\frac{22}{n+5}$
=>$\frac{22}{n+5}=(2-\frac{a}{b})(2+\frac{a}{b})$
Thử chọn,tìm ra n
Đã gửi bởi Le Dinh Hai on 16-08-2015 - 21:58 trong Số học
2. Cho $A=n^{2015}+n^{2014}+1$ tìm tất cả các số tự nhiên n để A là số nguyên tố
Ta có:$A=n^{2015}+n^{2014}+1=(n^{2}+n+1)(n^{2013}-n^{2011}+n^{2010}+...+1)$
Để $A$ là $SNT$ =>$n^{2}+n+1=1$ hoặc phần còn lại $=1$
=>$n=0$ or $n=1$
Mà $n=0$thì $A=1$vô lí
nên chỉ có $n=1$
Đã gửi bởi Le Dinh Hai on 16-08-2015 - 10:18 trong Hình học
Cho đường tròn tâm O và điểm A ở bên ngoài đường tròn. Dựng hai tiếp tuyến AB và AC đến đường tròn (O) (B, C là hai tiếp điểm). Kẻ đường kính BD của đường tròn tâm O.
a) Chứng minh OA vuông góc với BC (dễ)
a) Chứng minh CD//OA (dễ)
a) Tiếp tuyến của (O) tại D cắt đường thẳng BC tại K. Chứng minh: OK.AC=OC.AD
$\widehat{OCD}=\widehat{ODC}=\widehat{BOA}=\widehat{BCA}$(1)
$\widehat{DCK}=\widehat{DCB}(=90^{\circ})$(2)
Từ (1);(2)=>$\widehat{OCK}=\widehat{ACD}$(3)
$\Delta DCK\sim \Delta ACO(g.g)$
=>$\frac{AC}{CD}=\frac{OC}{CK}$(4)
Từ (3),(4)=>$\Delta ACD\sim \Delta OCK(c.g.c)$
=>(đpcm)
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học