Mình cần tìm lời giải cho định lý sau ( bằng tiếng anh cũng được).

Xét đa thức $H(x)=-e^{x}P(x)$ có $n$ nghiệm dương phân biệt do $P(x)$ có $n$ nghiệm dương suy ra $H'(x)=e^{x}(P(x)-P'(x))$ có ít nhất $n-1$ nghiệm dương theo $Rolle$ suy ra đa thức $P(x)-P'(x)$ có ít nhất $n-1$ nghiệm dương.

Đến đây chỉ ra thêm $1$ như cách giải trên nữa là được.

thế nhưng nghiệm cuối đâu chỉ ra nó phân biệt với các nghiệm trên đâu nhỉ ?

Cho p là số nguyên tố dạng 3k+2. Chứng minh rằng

$$(-3)^{\frac{p-1}{2}}\equiv -1 ( mod p )$$

cho đa thức P(x) bậc n có n nghiệm dương phân biệt. Chứng minh rằng đa thức G(x)=P(x)-P'(x) cũng có n nghiệm dương phân biệt

cho các hàm liên tục f,g:  $[0;\infty )\rightarrow [0;\infty )$  thỏa mãn các tính chất sau:
1. f(0)=g(0)=0;
2. $g(x)\neq 0$  với mọi x>0
3. f(x+g(f(x)))=f(x) với mọi  $x\geq 0$
chứng minh rằng f(x)=0 với mọi  $x\geq 0$

Ps: bài này cô mình nói là tổng quát hoá bài toán và chứng minh bằng quy nạp. Nhưng cụ thể thế nào thì mình không biết :v

Ps: đây là đề thi đại học ở Nhật bổn. Cái này thi ở Việt Nam chắc chết

Cho $m,n$ là các số nguyên dương. Chứng minh rằng:

                                              $$(2m+3)^{n}+1\vdots 6m\Leftrightarrow 3^{n}+1\vdots 4m.$$

$$Cho   (x_{n}): x_{1}=1;  x_{n+1}=\sqrt[n]{x_{1}}+\sqrt[n]{x_{2}}+...+\sqrt[n]{x_{n}}$$

$$Tìm   lim \frac{x_{n}-n}{ln n}$$

Đây nha bạn...

cảm ơn bạn nhiều nha

Hiện tại em đang tìm tài liệu SỐ HỌC QUA CÁC ĐỊNH LÝ VÀ BÀI TOÁN của thầy Trần Nam Dũng nhưng không thấy. Không biết tài liệu đó đã được in thành sách, làm thầy dạng ebook hay có chứa tại file nào không ạ.

Cho hàm $f(x)$ liên tục trên $[0;1]$ sao cho $f(0)=f(1)$. Chứng minh rằng tồn tại 2 dãy $\left ( a_{n} \right ); \left ( b_{n} \right )$ khác  hằng thỏa mãn các điều kiện sau:

\begin{align*} 1) \ &\left ( a_{n} \right ); \left ( b_{n} \right ) \text{ là các dãy hội tụ } \\ 2) \ &f\left ( a_{n} \right )= f\left ( b_{n} \right ) \text{ với mọi } n \end{align*}

Cho hàm f(x) liên tục trên [0;1]  thỏa mãn: f(x)=c ( c là tham số) với vô hạn x thuộc [0;1].
Liệu có thể kết luận gì đối với hàm f(x) chẳng hạn như f(x) nhận giá trị c với mọi x???

Tìm các đa thức thỏa mãn:

$$Q\left ( x^{2} \right )= Q\left ( x \right )^{2}$$

Đề bài là $2n$, và bạn chọn được $n+1$. Chẳng giải quyết được gì.

Ờ nha. Ths bạn :v

Bạn chọn được $n+1$ người, rồi sao nữa?

Và n+1 người ấy có chiều cao giảm dần hoặc tăng dần. Khi đó sẽ k có người nào đứng giữa 2 người có chiều cao liên tiếp

Bài 5 : Erdos 1935 . Cho ab+1 số thực phân biệt , khi đó tồn tại 1 tập con a+1 hoặc b+1 số liên tiếp tăng hoặc giảm liên tiếp .

Áp dụng 2 lần cho n , ta có đpcm

Mình k biết gì về định lý này nhưng nếu theo cách mình hiểu từ trên thì sao k áp dụng cho 1 tập con có n^2 +1 người. Khi đó chẳng phải có đpcm luôn sao?


P/S :mặc dù biết là mình hỏi ngu nhưng k thể nào giải đáp đc thắc mắc ấy

Cho dãy $$(a_{n})$$

$$a_{n+2}=4a_{n+1}-5a_{n}$$

Tìm công thức tổng quát của $$a_{n}$$

cho hàm f(x): $$\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$$ thỏa mãn f(xy)=f(x)f(y)

Tìm f(x)

Từ đó, ta được $f(x)=x$ hoặc $f(x)=-x$ đều thỏa mãn.

f(x)=x; f(x)=-x với mọi x chứ ạ. E nghĩ cần phản xét thêm trường hợp tồn tại a; b sao cho f(a)=a; f(b)=-b

Tìm tất cả các hàm f: $$\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$$ thỏa mãn:

$$f(x^{2}+f(y))=xf(x)+y$$

 

tìm tất cả các hàm liên tục f:  $$ \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} $$
thỏa mãn:
$$ f(x^{2})+f(x)=x^{2}+x $$

Bổ đề(Định lý Babbage)

                             Cho $p$ nguyên tố lẻ ;$a \leq b$ nguyên dương

           Khi đó: $C_{ap}^{bp}\equiv C_{a}^{b}\left ( mod p^{2} \right )$

 có chứng minh của định lý không ạ

Hừm, cái này là Thailand MO 2015 đấy

Cho xin luôn lời giải đi bạn. Mình kiếm không ra cái đề đó

bạn ơi. có một đoạn bị lỗi mình không dịch được. 

Cảm ơn bạn nhiều.