ok. đã fix

sao mình thay x =1, y=2, z =3 được 0,913043... nhỉ    

Chứng minh bất đẳng thức $\sum \frac{2x^{2}}{2x^{2}+(y+z)^{2}}$\geq$ 1$

Cho 3 số x,y,z thỏa mãn x,y,z $\epsilon$[-1;3] và x+y+z=3. Chứng minh  $x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 11$

1. Đề đúng phải là $\sqrt{x^{2}+12}-3x=\sqrt{x^{2}+5}-5$ thì phải

$\sum \frac{1}{a^2+b^2}+\sum \frac{1}{\sum a^2-ab}\geqslant 9\Leftrightarrow \sum \frac{a^2}{1-a^2}+\sum \frac{ab}{1-ab}\geqslant 3;LHS\geqslant \frac{(\sum a^2+\sum ab)^2}{\sum a^2(1-a^2)+\sum ab(1-ab)}=\frac{(\sum a^2+\sum ab)^2}{(ab+ac+bc)(a^2+b^2+c^2)+\sum a^2b^2}\geqslant 3\Leftrightarrow \sum a^4+abc(a+b+c)\geqslant \sum ab(a^2+b^2)$ (true)

Khó hiểu wa    

$pt có no nguyên \Leftrightarrow \Delta =a^4-4a-4 là SCP$

$N a>1+\sqrt{2}\Rightarrow (a^2-1)^2<\Delta <(a^2)^2(l)$

$\Rightarrow a\leq 1+\sqrt{2}\Leftrightarrow a\in \left \{ 0;1;2 \right \}$

PT có nghiệm nguyên => $a^{4}-4a-4$ là số chính phương

+ Nếu a < 3 ta tìm đc a = 2 thỏa mãn

+ Nếu a $\geq$ 3 ta có:

$(a^{2})^{2}>a^{4}-4a-4>(a^{2}-1)^{2}$, khi đó delta không thể là số chính phương

Vậy a=2 là giá trị cần tìm

cho ba số thực dương x,y,z có x+y+z=0 ,tìm giá trị nhỏ nhất

$\sqrt{(x+y)(y+z)(x+z)}(\frac{\sqrt{x+y}}{z}+\frac{\sqrt{y+z}}{x}+\frac{\sqrt{x+z}}{y})$

Kiểm tra lại đề đi bạn 

Cho 3 số dương x,y,z rồi, sao có x+y+z=0 nữa     

b) Đặt $\sqrt[3]{x^{2}-2}$=y, ta có $y^{3}=x^{2}-2$ và $y^{2}=2-x^{3}$

Đây là hệ PT đối xứng

b) $x_{1}^{2}+x_{1}-x_{2}=5-2m \Leftrightarrow (x_{1}+1)^{2}=6-2m+x_{1}+x_{2}=6-2m+2m-2=4\Leftrightarrow x_{1}=1 hoặc x_{1}=-3$

Thay vào PT ta tìm được m = $-\frac{3}{4} hoặc m=  \frac{3}{4}$

Áp dụng BĐT AM-GM

$a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}=a\sqrt{1(b-1)}+b\sqrt{1(a-1)}\leq \frac{ab}{2}+\frac{ab}{2}=ab$

Cho a,b,c > 0 thỏa mãn a+b+c=2. Tìm GTNN của $P=\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{ab+bc+ca}{2}+\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

sao có a+2b=9

Giải phương trình : $\sqrt{2x+3}+2\sqrt{3-x}+6\sqrt{-2x^{2}+3x+9}=20+3x$

 

Ta có:

BĐT$\Leftrightarrow \sum a^{3}-3\sum a^{2}+3(a+b+c)-3+\frac{3}{4}\geq 0\Leftrightarrow \sum a(a-\frac{3}{2})^{2}\geq 0$

$\Rightarrow Đpcm$

 

Cách này ngắn gọn 

Thế giải HPT này thế nào vậy?

Kiểm tra lại đề đi bạn

Cho a,b,c > 0, chứng minh : $\frac{ab}{3a+4b+5c}+\frac{bc}{3b+4c+5a}+\frac{ca}{3c+4a+5b}\leq \frac{a+b+c}{12}$

$(2)\Leftrightarrow (y-5x-4)(y+x-4)=0\Leftrightarrow y=5x+4 hoặc y=4-x$, thay vào (1)

Tìm cặp số thực (x;y) biết : $xy=x\sqrt{y-1}+y\sqrt{x-1}$

Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn:

$x^{2}+xy+y^{2}=x^{2}y^{2}$

PT <=> $(x+y)^{2}=x^{2}y^{2}+xy\Leftrightarrow (2x+2y)^{2}=(2xy+1)^{2}-1 \Leftrightarrow (2xy+1-2x-2y)(2xy+1+2x+2y)=1=1.1=(-1)(-1)$

Với 2xy +1 -2x-2y = 2xy +1 +2x +2y = 1 ta tìm được x=y=0

Với 2xy + 1 - 2x - 2y = 2xy +1 +2x + 2y =-1 ta tìm được (x;y) = (-1 ; 1) (1; -1)

Vậy các giá trị cần tìm của x và y là (0; 0) (-1 ; 1) (1; -1)

Áp dụng BĐT AM-GM :

$x^{2}y\leq \frac{x^{4}+y^{2}}{2}$

=> $\sum x^{2}(y+z)\leq x^{4}+y^{4}+z^{4}+x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 3+\sqrt{3\sum x^{4}}=6$

Vậy max P = 6 và đạt được khi x=y=z=1

Cho ba số thực dương a, b, c thỏa $a+b+c=3$. Chứng minh rằng: $a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc\geq 4$

 

(Mình có cách giải theo phương pháp lượng giác hóa nhưng không hay lắm, post lên hy vọng m.n có cách giải theo những đánh giá đại số)

Không mất tính tổng quát, giả sử $a\leq b\leq c \rightarrow 3=a+b+c\geq 3a\rightarrow a\leq 1\rightarrow a\in (0;1]$

Ta có $a^{2}+b^{2}+c^{2}=9-2(ab+bc+ca)$

BĐT $\Leftrightarrow 2(ab+bc+ca)-abc\leqslant 5 \Leftrightarrow 2a(b+c)+(2-a)bc\leqslant 5$

VT = $2a(3-a)+(2-a)bc\leqslant 2a(3-a)+(2-a)\frac{(b+c)^{2}}{4}=2a(3-a)+(2-a)\frac{(3-a)^{2}}{4}=-\frac{a^{3}}{4}+\frac{3a}{4}+\frac{9}{2}$

Xét hàm f(a) = $-\frac{a^{3}}{4}+\frac{3a}{4}+\frac{9}{2}$ trên (0;1]

Lập BBT ta có f(a) $\leq f(1)=5\rightarrow đpcm$

Đặt $\sqrt[3]{2x-1}=y$, ta có HPT đối xứng

Ta có số đồ thỏa mãn đề bài là 9, gồm 3 sổ, 3 sách, 3 bút

Bước 1: Tính xác suất để lấy được 9 đồ trên trong tổng số đồ ($\frac{560}{4199}$)

Bước 2: Tính xác suất để chia đúng 9 đồ đó vào 3 hs và mỗi hs có đủ 3 loại ($\frac{9}{70}$)

==> Xác suất cần tìm là: $\frac{72}{4199}$

Xác suất ở bước 2 tính thế nào vậy bạn