$1)$ Cho ba số thực dương $a,b,c$ . Chứng minh rằng

$\sum \frac{a}{bc(c+a)} \geq \frac{27}{2(a+b+c)}$

$2)$ Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $\sum ab = 1$

Chứng minh rằng : $\sum \frac{a}{(3a+5b)^{3}} \geq \frac{9}{512}$

câu 1 thay a = b =c = 1 vào thì BĐT sai    

phải là $\sum \frac{a}{bc(c+a)}\geq \frac{27}{2(a+b+c)^{2}}$ thì phải

Bất đẳng thức trên theo mình thì là không chính xác. Vì $\frac{3}{4} a^{2}+ab+b^{2} \geq (a+b)^{2}$ chứ không phải là $\frac{3}{4} a^{2}+ab+b^{2} \leq (a+b)^{2}$. Nên bđt chứa 2 tích ngược chiều nhau. Nên ko thể giải bđt này bằng AM-GM 

Thế này nhé bạn

Áp dụng bđt $4xy\leq (x+y)^{2}$

$4(a^{2}+ab+b^{2})(ab+bc+ca)\leq (a^{2}+2ab+b^{2}+bc+ca)^{2}=(a+b)^{2}(a+b+c)^{2}$

2. ta có $(a^{4}+b^{4})(a^{2}+b^{2})\geq (a^{3}+b^{3})^{2}\Rightarrow \frac{a^{4}+b^{4}}{a^{3}+b^{3}}\geq \frac{a^{3}+b^{3}}{a^{2}+b^{2}}$

$(a^{3}+b^{3})(a+b)\geq (a^{2}+b^{2})^{2}\Rightarrow \frac{a^{3}+b^{3}}{a^{2}+b^{2}}\geq \frac{a^{2}+b^{2}}{a+b}\geq \frac{a+b}{2}$

Tương tự, cộng vế theo vế của các BĐT ta được $\sum \frac{a^{4}+b^{4}}{a^{3}+b^{3}}\geq \sum \frac{a+b}{2}=3$

1. Ta có $\sum \frac{a^{2}}{a+b^{2}}=\sum a-\sum \frac{ab^{2}}{a+b^{2}}\geq 3-\frac{1}{2}\sum \sqrt{a}b$

Cần cm $\sum \sqrt{a}b\leq 3$

Ta có $(\sqrt{a}b+\sqrt{b}c+\sqrt{c}a)^{2}\leq (ab+bc+ca)(a+b+c)\leq 9\Leftrightarrow \sum \sqrt{a}b\leq 3$

=> đpcm

Cho a,b,c > 0 thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh rằng :

$\frac{ab}{c+1}+\frac{bc}{a+1}+\frac{ca}{b+1}\leq \frac{1}{4}$

Cho tam giác ABC đều có trọng tâm O. Điểm M nằm trong tam giác. D,E,F lần lượt là hình chiếu của M trên BC,AC,AB. Chứng minh rằng $\vec{MD}+\vec{ME}+\vec{MF}=\frac{3}{2}\vec{MO}$

Cho ABC nhọn, chứng minh rằng :

1/ $cos\frac{A}{2}+cos\frac{B}{2}+cos\frac{C}{2}< 2(sin\frac{A}{2}+sin\frac{B}{2}+sin\frac{C}{2})$

2/ $1< \frac{sinA+sinB+sinC}{cosA+cosB+cosC}< 2$

 

Bài 2:  $\left ( 4x+1 \right )\sqrt{x+2}-\left ( 4x-1 \right )\sqrt{x-2}=21$

Đặt $\sqrt{x+2}=a,\sqrt{x-2}=b,a,b\geq 0$

PT <=> $4(a^{3}-b^{3})-7(a+b)=21 \Leftrightarrow 4[(a-b)^{3}+3ab(a-b)]-7(a+b)=21 \Leftrightarrow 4(a-b)^{3}+3(a-b)[(a+b)^{2}-(a-b)^{2}]-7(a+b)=21 \Leftrightarrow (a-b)^{3}+3(a-b)(a+b)^{2}-7(a+b)=21$

Đặt u = a-b, v= a+b (u,v >0)

Ta có $\left\{\begin{matrix} u^{3}+3uv^{2}-7v=21 & \\ uv=4 & \end{matrix}\right.$

=> $u^{4}-21u+20=0\Leftrightarrow (u-1)(u^{3}+u^{2}+u-20)=0\Leftrightarrow u=1$ (do u $\leq 2$)

=> v = 4

Từ đó tìm được x = $\frac{17}{4}$

Cho $a,b>0$ chứng minh các bất đẳng thức sau:

$3a^2+2ab+3b^2\geq 2(a+b)\sqrt{2(a^2+b^2)}$

$VT=(a+b)^{2}+2(a^{2}+b^{2})\geqslant 2\sqrt{(a+b)^{2}.2(a^{2}+b^{2})}\doteq 2(a+b)\sqrt{2(a^{2}+b^{2})}$

2. $4a+\frac{1}{a}=4a+\frac{1}{4a}+\frac{3}{4a}\geq 2+\frac{3}{4.\frac{1}{4}}=5$

Giải phương trình :

$4x^{3}-4x-x\sqrt{1-x^{2}}+1=0$

Giải phương trình $5(1+\sqrt{1+x^{3}})=x^{2}(4x^{2}-25x+18)$

Giải các phương trình :

1. $6x^{3}-24x^{2}+31x-2=3\sqrt[3]{48x^{2}-80x+32}$

2. $\sqrt[3]{x^{2}-1}+x=\sqrt{x^{3}-2}$

3. $x^{3}+x^{2}+15x+30=4\sqrt[3]{27(x+1)}$

4. $(x+5)\sqrt{x+1}+1=\sqrt[3]{3x+4}$

Giải phương trình :

1. $x^{4}+4x^{2}-12x+3=0$

2. $8x^{3}-6x-1=0$

Áp dụng BĐT AM-GM

$a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}=a\sqrt{1(b-1)}+b\sqrt{1(a-1)}\leq \frac{ab}{2}+\frac{ab}{2}=ab$

Cho a,b khác 0, chứng minh : $a^{2}+b^{2}+\left ( \frac{ab+1}{a+b} \right )^{2}\geq 2$

Chứng minh rằng nếu phương trình $x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx+1=0$ có nghiệm thì : $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq \frac{4}{3}$

Chứng minh rằng phương trình $x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx+1=0$ có nghiệm thì $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq \frac{4}{3}$

Cho ba số thực dương a, b, c thỏa $a+b+c=3$. Chứng minh rằng: $a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc\geq 4$

 

(Mình có cách giải theo phương pháp lượng giác hóa nhưng không hay lắm, post lên hy vọng m.n có cách giải theo những đánh giá đại số)

Không mất tính tổng quát, giả sử $a\leq b\leq c \rightarrow 3=a+b+c\geq 3a\rightarrow a\leq 1\rightarrow a\in (0;1]$

Ta có $a^{2}+b^{2}+c^{2}=9-2(ab+bc+ca)$

BĐT $\Leftrightarrow 2(ab+bc+ca)-abc\leqslant 5 \Leftrightarrow 2a(b+c)+(2-a)bc\leqslant 5$

VT = $2a(3-a)+(2-a)bc\leqslant 2a(3-a)+(2-a)\frac{(b+c)^{2}}{4}=2a(3-a)+(2-a)\frac{(3-a)^{2}}{4}=-\frac{a^{3}}{4}+\frac{3a}{4}+\frac{9}{2}$

Xét hàm f(a) = $-\frac{a^{3}}{4}+\frac{3a}{4}+\frac{9}{2}$ trên (0;1]

Lập BBT ta có f(a) $\leq f(1)=5\rightarrow đpcm$

BĐT $\Leftrightarrow ab(a^{2}+b^{2})+2\geq 2(a^{2}+b^{2})\Leftrightarrow (a^{2}+b^{2})(ab-2)+2\geq 0$ (*)

Ta cm (*)

$(a^{2}+b^{2})(ab-2)+2\geq 2ab(ab-2)+2=2(ab-1)^{2}\geq 0$

Đẳng thức xảy ra <=> a = b = 1

Dấu $\leq$ thì BĐT đúng, còn $\geq$ thì với x =1 y =2 BĐT sai 

Tìm tất cả các đa thức P(x) có hệ số nguyên thỏa mãn :

$P(x).P(x^{2})=P(x^{3}+3x)$

Cho a,b,c > 0 thỏa mãn ab + bc +ca = 11, tìm GTNN của : 

$P=\frac{5a+5b+2c}{\sqrt{12(a^{2}+11)}+\sqrt{12(b^{2}+11)}+\sqrt{c^{2}+11}}$

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=2abc+1$

Tìm GTLN của $P=(a-2bc)(b-2ca)(c-2ab)$