320.$\left\{\begin{matrix} a+b=\sqrt[3]{24} & \\ & (\sqrt{a}+\sqrt{b})(\frac{1}{\sqrt{a+3b}}+\frac{1}{\sqrt{3a+b}})=2 \end{matrix}\right.$
Ta có: Theo BĐT $AM-GM$ thì:
$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a+3b}} \leq \frac{1}{2}(\frac{a}{a+b}+\frac{a+b}{a+3b})$
$\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a+3b}} \leq \frac{1}{2}(\frac{1}{2}+\frac{2b}{a+3b})$
$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{3a+b}} \leq \frac{1}{2}(\frac{1}{2}+\frac{2a}{3a+b})$
$\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{3a+b}} \leq \frac{1}{2}(\frac{b}{a+b}+\frac{a+b}{3a+b})$
Cộng vế theo vế của các bất đẳng thức trên ta có:
$(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\frac{1}{\sqrt{a+3b}}+\frac{1}{\sqrt{3a+b}}) \leq 2$
Nên hệ phương trình tương đương
$\left\{\begin{matrix}a+b=2.\sqrt[3]{3} \\ a=b \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a=\sqrt[3]{3} \\ b=\sqrt[3]{3} \end{matrix}\right.$