véc tơ hay

mình mong các bạn có thể đóng góp nhiều bài hay cho topic của mình. Những bài nào đã giải sẽ tô màu đỏ nhé các bạn

$12.$ Cho tam giác đều $ABC$ có cạnh bằng $a$. Hai điểm $M,N$ lần lượt lưu động trên hai đoạn $AB,AC$ sao cho $\frac{AM}{MB}+\frac{AN}{NC}=1$. Đặt $AM=x$ và $AN=y$.

         $a)$ Chứng minh $MN^{2}=x^{2}+y^{2}-xy$

         $b)$ Chứng minh $MN=a-x-y$

         $c)$ Chứng tỏ rằng $MN$ luôn tiếp xúc với đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$

$9.$ Cho tam giác đều $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Trên các cạnh $AB,AC,BC$ lần lượt lấy các điểm $R,P,Q$ sao cho $AR=CP=BQ$. Gọi $E,F,K$ theo thứ tự là hình chiếu của $O$ trên $AB,AC,RP$.

          $a)$ Chứng minh tứ giác $KFPO$ nội tiếp và $K$ là trung điểm của $PR$

          $b)$ Chứng minh $E,K,F$ thẳng hàng

          $c)$ Xác định vị trí của $R$ để tam giác $PQR$ có chu vi lớn nhất.

$10.$ Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Tia phân giác của $\widehat{BAC}$ cắt đường tròn $(O)$ tại $A,D$. Đường tròn tâm $D$ bán kính $DB$ cắt đường thẳng $AB$ tại $B,Q$, cắt đường thẳng $AC$ tại $C,P$. Chứng minh rằng: $OA\perp PQ$.

$11.$Cho tam giác đều $ABC$ cạnh bằng $a$ và có trọng tâm $G$. Một đường thẳng bất kì đi qua $G$ cắt cạnh $AB$ và cạnh $AC$ lần lượt tại $R,Q$, cắt tia $CB$ tại $P$($R,Q$ không trùng với một trong 3 đỉnh cảu tam giác $ABC$, $P$ ở ngoài đoạn $BC$)

          $a)$ Tính $BR,CQ$ nếu biết $PB=2PC$

          $b)$ Chứng minh $\frac{1}{GQ}=\frac{1}{GR}+\frac{1}{GP}$ khi $P$ thão mãn $PC>PB$

Một số bài toán đầu tiên :

$1.$ Cho đường tròn $(O;R)$ có dây cung cố định, $AB=R\sqrt{3}$. Điểm $P$ di động trên dây $AB$ ($P$ khác $A,B$). Gọi $(I;R_{1})$ là đường tròn qua $P$ và tiếp xúc với đường tròn $(O)$ tại $A$; $(k;R_{2})$ là đường tròn qua $P$ và tiếp xúc với đường tròn $(O)$ tại $B$. Hai đường tròn $(I)$ và $(K)$ còn cắt nhau tại điểm $M$ ($M$ khác $P$).

        $a)$ Chứng minh $R=R_{1}+R_{2}$ và tứ giác $MIKO$ nội tiếp

        $b)$ Chứng minh $M$ di động trên một đường cố định

        $c)$ Chứng minh đường thẳng $MP$ luôn đi qua một điểm cố định $N$. Xác định vị trí của $P$ trên $AB$ sao cho $PM.PN$ đạt GTLN.

$2.$ Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$. $B,C$ cố định, $D,E$ lần lượt là các điểm chính giữa của các cung nhỏ $AB,AC$. $DE$ cắt $AB,AC$ lần lượt tại $H,K$.

        $a)$ Chứng minh tam giác $AHK$ là tam giác cân

        $b)$ Gọi $I$ là giao điểm của $BE$ và $CD$. Chứng minh rằng đường thẳng $AI$ luôn đi qua một điểm cố định khi $A$ lưu động trên cung $BC$

        $c)$ Chứng minh rằng tỉ số $\frac{AH}{HK}$ không phụ thuộc vào vị trí của điểm $A$.

$3.$ Cho $\Delta ABC$ có $A<90^{\circ}$, đường cao $AH$ và trung tuyến $AM$. Trên tia $AB$ và $AC$ theo thứ tự lấy điểm $E$ và $F$ sao cho $ME=MF=MA$. Gọi $K$ là điểm đối xứng của $H$ qua $M$. Chứng minh rằng tứ giác $EMKF$ nội tiếp đường tròn.

$4.$ Cho $\Delta ABC$ ngoại tiếp đường tròn $(O)$, gọi $D$ là tiếp điểm của $BC$ với đường tròn. Gọi $(O')$ là đường tròn bàng tiếp trong góc $A$ của $\Delta ABC$ và tiếp xúc với $BC$ tại $F$. Vẽ đường kính $DE$ của đường tròn $(O)$. Chứng minh rằng $A,E,F$ thẳng hàng.

$5.$ Cho $\Delta ABC$ có 3 góc nhọn. Từ điểm $I$ thuộc miền trong của $\Delta ABC$, vẽ $IH\perp BC, IK\perp CA, IL\perp AB(H\in BC, K\in CA, L\in AB)$. Xác định vị trí của điểm $I$ sao cho $AL^{2}+BH^{2}+CK^{2}$ nhỏ nhất.

$6.$ Cho $\Delta ABC$ có các góc đều nhọn. Trên cung nhỏ $BC$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác ta lấy một điểm $D$. Gọi $A',B',C'$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $D$ trên $BC,CA,AB$. Chứng minh rằng: $\frac{BC}{DA'}=\frac{CA}{DB'}+\frac{AB}{DC'}$

$7.$ Cho tam giác đều $ABC$. Gọi $D$ là điểm đối xứng của $B$ qua đường thẳng $AC$. Đường thẳng qua $B$ cắt các đường thẳng $AD,CD$ lần lượt tại $M,N$. Các đường thẳng $AN,CM$ cắt nhau tại điểm $E$. Chứng minh bốn điểm $A,C,D,E$ cùng nằm trên một đường tròn.

$8.$ Cho tam giác đều $ABC$ có cạnh $AB=a$. Một đường thẳng đi qua trọng tâm $G$ của tam giác cắt các đường thẳng $BC,CA,AB$ lần lượt tại $M,N,P$. Chứng minh rằng: $\frac{1}{GM^{4}}+\frac{1}{GN^{4}}+\frac{1}{GP^{4}}$ là không đổi.

p/s: Mong các bạn đóng góp nhiều bài hay hơn nữa cho topic của mình

$13.$ Cho đường tròn $(O)$ có 2 đường kính $AB,CD$ vuông góc với nhau. Điểm $E$ di chuyển trên cung nhỏ $BC$. Trên tia đối của tia $EA$ lấy $M$ sao cho $EM=EB$. Tìm quỹ tích các điểm $M$

$14.$ Cho hình thang $ABCD$ $(AB//CD)$ có cạnh $AD$ cố định và nội tiếp $(O)$. Gọi $I$ là giao điểm của 2 đường chéo và $d$ là đường thẳng qua $I$ song song với hai đáy của hình thang. Chứng minh rằng $d$ luôn đi qua 1 điểm cố định

Giả sử bđt đúng$<=>(2a-b)(\frac{1}{a}-\frac{2}{b})\geqslant 8<=>\frac{-4a}{b}-\frac{b}{a}-4\geqslant 0$

Đặt $t=\frac{-a}{b}$ $(t>0)$ do $a>0;b<0$.BĐT$<=>4t^2+4t+1=(2t+1)^2\geqslant 0$ (luôn đúng)

đpcm

bạn có thể giải chi tiết cho mình được không. mình không hiểu

Cho $a$>0,$b$<0. Chứng minh:

$\frac{1}{a} \geqslant \frac{2}{b}+\frac{8}{2a-b}$

Cho hai số $x$,$y$ dương. Chứng minh:

$\frac{1}{(1+x)^{2}}+\frac{1}{(1+y)^{2}}\geqslant \frac{1}{1+xy}$

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(a;b)$ sao cho $\frac{a^{2}-2}{ab+2}$ là số nguyên

cho $a,b$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b=2ab$. tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{a}+\frac{1}{\sqrt{(1+a)(1+b)}}$

Giải dùm mình với

 

$\left\{\begin{matrix} &x^3-y^3=9 & \\ & x^2+2y^2=x-4y & \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} &x^3-y^3=9 & \\ & x^2+2y^2=x-4y & \end{matrix}\right.$

$\prec = \succ \left\{\begin{matrix} &x^3-y^3=9 & \\ & 3x^2+6y^2=3x-12y & \end{matrix}\right.$

$(1)-(2)$: $x^3-3x^2+3x-1=y^3+6y^2+12y+8$

$\prec =\succ$ $(x-1)^2=(y+2)^2$

$\prec =\succ$ $x=y+3$

Thay vào $(1)$: 

$(y+3)^3-y^3$=9  

$\prec =\succ$ $9y^2+27y+18=0$

Từ đây chỉ việc tìm $y$ rùi thế vào tìm $x$ là xong 

đề chuyên Quang Trung 2015-2016

tìm GTNN của biểu thức:

1. $4x^{2}+5y^{2}-4xy-16y+22$

2. $x^{2}+xy+y^{2}-2x-3y+2014$

3. $-3x^{2}+2xy-y^{2}+10x-2y+2014$

bạn là dân CBL phải không.

bài này sd hệ thức Euler nha bạn

hệ thức Euler nha bạn: $d$$=$$\sqrt{R^{2}-2Rr}$

Cho các số dương $a$,$b$. Chứng minh:

$2(a^{4}+b^{4})\geqslant ab^{3}+a^{3}b+2a^{2}b^{2}$

Cho $a$,$b$ $>$0. Chứng minh:

$a^{5}+b^{5}\geqslant a^{2}b^{2}(a+b)$

cho một đa giác có chu vi bằng 1, chứng minh rằng có một hình tròn bán kính r = $\frac{1}{4}$ chứa toàn bộ đa giác đó

Lấy điểm $A$,$B$ trên 2 cạnh của đa giác sao cho $AB$ chia chu vi đa giác thành 2 phần có độ dài mỗi phần bằng $\frac{1}{2}$

Gọi $O$ là trung điểm của $AB$. giả sử $M$ là 1 điểm tùy ý trên một cạnh của đa giác và $M'$ đối xứng với $M$ qua $O$ sao cho tứ giác $AMBM'$ là hình bình hành.

 Ta có: $AMBM'$ là hình bình hành

            $AM$+$MB$<$\frac{1}{2}$

Mà $MM'$<$AM$+$MB$ 

$\Rightarrow$ $MM'$<$\frac{1}{2}$ 

$\Rightarrow$ $OM$<$\frac{1}{4}$ nên $M$ nằm trong ($O$;$\frac{1}{4}$)

Mà $M$ thuộc 1 cạnh của đa giác $\Rightarrow$ ĐPCM

Cho $\Delta$ $ABC$, $AD$ là đường cao, lấy $M$,$N$ đối xứng với $D$ qua $AB$ và $AC$. Gọi giao điểm của $MN$ với $AB$,$AC$ lần lượt là $Q$ và $P$. CMR: $BP$,$CQ$ là hai đường cao của $\Delta$ $ABC$

Tìm GTNN của $P=1-xy$, trong đó $x$,$y$ là các số thực thỏa mãn điều kiện: $x^{2013}+y^{2013}=2x^{1006}y^{1006}$

Xét $x>5$ suy ra $x>\sqrt{5x}=\sqrt{x+4x}>\sqrt{x+4.\sqrt{5x}}>....>\sqrt{x+4.\sqrt{x+4+\sqrt{...}}}=VT>x$ (mâu thuẫn) 
Tương tự với $x<5$ 
Vậy $x=5$

còn 1 nghiệm x=0 nữa bạn ơi

cảm ơn bạn nha

kcj neh