véc tơ hay

cho $a,b$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b=2ab$. tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{a}+\frac{1}{\sqrt{(1+a)(1+b)}}$

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(a;b)$ sao cho $\frac{a^{2}-2}{ab+2}$ là số nguyên

Cho $a$,$b$,$c$ là các số thực

$\frac{a^{2}}{4}+b^{2}+c^{2}\geqslant ab-ac+2bc$

Cho phương trình: $x^{2}+(m-1)x-6=0$
tìm giá trị của m để phuong trình luôn có 2 nghiệm $x_1$,$x_2$ là nghiệm với mọi m. tìm m dể biểu thức $B=(x^{2}_{1}-9)(x^{2}_{2}-4)$ đạt giá trị lớn nhất

Giải dùm mình với

cảm ơn bạn nha

kcj neh

cho một đa giác có chu vi bằng 1, chứng minh rằng có một hình tròn bán kính r = $\frac{1}{4}$ chứa toàn bộ đa giác đó

Lấy điểm $A$,$B$ trên 2 cạnh của đa giác sao cho $AB$ chia chu vi đa giác thành 2 phần có độ dài mỗi phần bằng $\frac{1}{2}$

Gọi $O$ là trung điểm của $AB$. giả sử $M$ là 1 điểm tùy ý trên một cạnh của đa giác và $M'$ đối xứng với $M$ qua $O$ sao cho tứ giác $AMBM'$ là hình bình hành.

 Ta có: $AMBM'$ là hình bình hành

            $AM$+$MB$<$\frac{1}{2}$

Mà $MM'$<$AM$+$MB$ 

$\Rightarrow$ $MM'$<$\frac{1}{2}$ 

$\Rightarrow$ $OM$<$\frac{1}{4}$ nên $M$ nằm trong ($O$;$\frac{1}{4}$)

Mà $M$ thuộc 1 cạnh của đa giác $\Rightarrow$ ĐPCM

Tìm GTNN của $P=1-xy$, trong đó $x$,$y$ là các số thực thỏa mãn điều kiện: $x^{2013}+y^{2013}=2x^{1006}y^{1006}$

Cho $(O;AB)$ ($AB$ cố định), $I$ là điểm nằm giữa $A$ và $O$ sao cho $AI=\frac{2}{3}AO$. Kẻ dây $MN$ vuông góc với $AB$ tại $I$. Gọi $C$ là điểm tùy ý thuộc cung lớn $MN$ sao cho $C$ không trùng với $M,N$ và $B$. Nối $AC$ cắt $MN$ tại $E$

   $a)$ Chứng minh tứ giác $IECB$ nội tiếp

   $b)$ Chứng minh $AM^{2}=AE.AC$ và $AM$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác $MEC$

   $c)$ Chứng minh $AE.AC-AI.IB=AI^{2}$ 

   $d)$ Xác định vị trí của $C$ sao cho khoảng cách từ $N$ tới tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $CEM$ nhỏ nhất

mình mong các bạn có thể đóng góp nhiều bài hay cho topic của mình. Những bài nào đã giải sẽ tô màu đỏ nhé các bạn

$13.$ Cho đường tròn $(O)$ có 2 đường kính $AB,CD$ vuông góc với nhau. Điểm $E$ di chuyển trên cung nhỏ $BC$. Trên tia đối của tia $EA$ lấy $M$ sao cho $EM=EB$. Tìm quỹ tích các điểm $M$

 

$14.$ Cho hình thang $ABCD$ $(AB//CD)$ có cạnh $AD$ cố định và nội tiếp $(O)$. Gọi $I$ là giao điểm của 2 đường chéo và $d$ là đường thẳng qua $I$ song song với hai đáy của hình thang. Chứng minh rằng $d$ luôn đi qua 1 điểm cố định

$9.$ Cho tam giác đều $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Trên các cạnh $AB,AC,BC$ lần lượt lấy các điểm $R,P,Q$ sao cho $AR=CP=BQ$. Gọi $E,F,K$ theo thứ tự là hình chiếu của $O$ trên $AB,AC,RP$.

          $a)$ Chứng minh tứ giác $KFPO$ nội tiếp và $K$ là trung điểm của $PR$

          $b)$ Chứng minh $E,K,F$ thẳng hàng

          $c)$ Xác định vị trí của $R$ để tam giác $PQR$ có chu vi lớn nhất.

 

$10.$ Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Tia phân giác của $\widehat{BAC}$ cắt đường tròn $(O)$ tại $A,D$. Đường tròn tâm $D$ bán kính $DB$ cắt đường thẳng $AB$ tại $B,Q$, cắt đường thẳng $AC$ tại $C,P$. Chứng minh rằng: $OA\perp PQ$.

 

$11.$Cho tam giác đều $ABC$ cạnh bằng $a$ và có trọng tâm $G$. Một đường thẳng bất kì đi qua $G$ cắt cạnh $AB$ và cạnh $AC$ lần lượt tại $R,Q$, cắt tia $CB$ tại $P$($R,Q$ không trùng với một trong 3 đỉnh cảu tam giác $ABC$, $P$ ở ngoài đoạn $BC$)

          $a)$ Tính $BR,CQ$ nếu biết $PB=2PC$

          $b)$ Chứng minh $\frac{1}{GQ}=\frac{1}{GR}+\frac{1}{GP}$ khi $P$ thão mãn $PC>PB$

$12.$ Cho tam giác đều $ABC$ có cạnh bằng $a$. Hai điểm $M,N$ lần lượt lưu động trên hai đoạn $AB,AC$ sao cho $\frac{AM}{MB}+\frac{AN}{NC}=1$. Đặt $AM=x$ và $AN=y$.

         $a)$ Chứng minh $MN^{2}=x^{2}+y^{2}-xy$

         $b)$ Chứng minh $MN=a-x-y$

         $c)$ Chứng tỏ rằng $MN$ luôn tiếp xúc với đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$

Một số bài toán đầu tiên :

$1.$ Cho đường tròn $(O;R)$ có dây cung cố định, $AB=R\sqrt{3}$. Điểm $P$ di động trên dây $AB$ ($P$ khác $A,B$). Gọi $(I;R_{1})$ là đường tròn qua $P$ và tiếp xúc với đường tròn $(O)$ tại $A$; $(k;R_{2})$ là đường tròn qua $P$ và tiếp xúc với đường tròn $(O)$ tại $B$. Hai đường tròn $(I)$ và $(K)$ còn cắt nhau tại điểm $M$ ($M$ khác $P$).

        $a)$ Chứng minh $R=R_{1}+R_{2}$ và tứ giác $MIKO$ nội tiếp

        $b)$ Chứng minh $M$ di động trên một đường cố định

        $c)$ Chứng minh đường thẳng $MP$ luôn đi qua một điểm cố định $N$. Xác định vị trí của $P$ trên $AB$ sao cho $PM.PN$ đạt GTLN.

 

$2.$ Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$. $B,C$ cố định, $D,E$ lần lượt là các điểm chính giữa của các cung nhỏ $AB,AC$. $DE$ cắt $AB,AC$ lần lượt tại $H,K$.

        $a)$ Chứng minh tam giác $AHK$ là tam giác cân

        $b)$ Gọi $I$ là giao điểm của $BE$ và $CD$. Chứng minh rằng đường thẳng $AI$ luôn đi qua một điểm cố định khi $A$ lưu động trên cung $BC$

        $c)$ Chứng minh rằng tỉ số $\frac{AH}{HK}$ không phụ thuộc vào vị trí của điểm $A$.

 

$3.$ Cho $\Delta ABC$ có $A<90^{\circ}$, đường cao $AH$ và trung tuyến $AM$. Trên tia $AB$ và $AC$ theo thứ tự lấy điểm $E$ và $F$ sao cho $ME=MF=MA$. Gọi $K$ là điểm đối xứng của $H$ qua $M$. Chứng minh rằng tứ giác $EMKF$ nội tiếp đường tròn.

 

$4.$ Cho $\Delta ABC$ ngoại tiếp đường tròn $(O)$, gọi $D$ là tiếp điểm của $BC$ với đường tròn. Gọi $(O')$ là đường tròn bàng tiếp trong góc $A$ của $\Delta ABC$ và tiếp xúc với $BC$ tại $F$. Vẽ đường kính $DE$ của đường tròn $(O)$. Chứng minh rằng $A,E,F$ thẳng hàng.

 

$5.$ Cho $\Delta ABC$ có 3 góc nhọn. Từ điểm $I$ thuộc miền trong của $\Delta ABC$, vẽ $IH\perp BC, IK\perp CA, IL\perp AB(H\in BC, K\in CA, L\in AB)$. Xác định vị trí của điểm $I$ sao cho $AL^{2}+BH^{2}+CK^{2}$ nhỏ nhất.

 

$6.$ Cho $\Delta ABC$ có các góc đều nhọn. Trên cung nhỏ $BC$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác ta lấy một điểm $D$. Gọi $A',B',C'$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $D$ trên $BC,CA,AB$. Chứng minh rằng: $\frac{BC}{DA'}=\frac{CA}{DB'}+\frac{AB}{DC'}$

 

$7.$ Cho tam giác đều $ABC$. Gọi $D$ là điểm đối xứng của $B$ qua đường thẳng $AC$. Đường thẳng qua $B$ cắt các đường thẳng $AD,CD$ lần lượt tại $M,N$. Các đường thẳng $AN,CM$ cắt nhau tại điểm $E$. Chứng minh bốn điểm $A,C,D,E$ cùng nằm trên một đường tròn.

 

$8.$ Cho tam giác đều $ABC$ có cạnh $AB=a$. Một đường thẳng đi qua trọng tâm $G$ của tam giác cắt các đường thẳng $BC,CA,AB$ lần lượt tại $M,N,P$. Chứng minh rằng: $\frac{1}{GM^{4}}+\frac{1}{GN^{4}}+\frac{1}{GP^{4}}$ là không đổi.

 

p/s: Mong các bạn đóng góp nhiều bài hay hơn nữa cho topic của mình

 

   

a) $\widehat{ANB}=\widehat{AOM}=90^{o}$ $\Rightarrow AOMN$ nội tiếp

b) $\widehat{AND}$ chắn cung AD

 $\widehat{BND}$ chắn cung BD

mà cung AD và cung BD có cùng số đo nên

$\widehat{AND}=\widehat{BND}$ nên ND là phân giác

c)$\Delta BMO\sim\Delta BAN$ $\Rightarrow BM.BN=BO.BA=18$

d) Gọi H đối xứng của A qua M Lấy e trên AC sao cho EH song song AB. EM cắt AB tại F. thì M là trung điểm EF.

Từ đây dễ dàng chứng minh tổng AE+AF không phụ thuộc M

p/s: nếu bạn làm chưa ra thì mai inbox mình, mình giải, mình ngủ, buồn ngủ quá rồi

bạn giải chi tết câu d được không

Cho đường tròn $(O;3cm)$ có 2 đường kính $AB$ và $CD$ vuông góc với nhau. Gọi $M$ là điểm tùy ý trên đoạn $OC$($M$ khác $O$ và $C$). Tia $BM$ cắt đường tròn $(O)$ tại $N$.

$a)$ chứng minh $AOMN$ là tứ giác nội tiếp

$b)$ chứng minh $ND$ là phân giác của $\widehat{ANB}$

$c)$ tính: $\sqrt{BM.BN}$

$d)$ gọi $E$ và $F$ lần lượt là 2 điểm thuộc các đường thẳng $AC$ và $AD$ sao cho $M$ là trung điểm của $EF$. Nêu cách xác định các điểm $E,F$ và chứng minh tổng $(AE+AF)$ không phụ thuộc vào vị trí của điểm $M$

Giải giùm em đề thi HSG tỉnh Bình Dương năm 11-12 nha mọi người

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} 2x^2 + 2xy-5x-y+2 =0 & & \\ 4x^2+y^2+2x = 3 & & \end{matrix}\right.$

Cho hai số $x$,$y$ dương. Chứng minh:

$\frac{1}{(1+x)^{2}}+\frac{1}{(1+y)^{2}}\geqslant \frac{1}{1+xy}$

Tìm GTLN của biểu thức với $a$,$b$,$c$>0 và $a$+$b$+$c$=$1$:

$\sqrt[3]{a+bc}+\sqrt[3]{b+ac}+\sqrt[3]{c+ab}$

Giải phương trình:$\left\{\begin{matrix} & x^{2}-2xy+3y^{2}=9 & \\ & 2x^{2}-13xy+15y^{2}=0 & \end{matrix}\right.$

Cho phương trình $x^2-2(m+1)x+m^2=0(1)$.Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm $x_1;x_2$ thỏa mãn $(x_1-m)^2+x_2=m+2(2)$

Cho các số dương $a$,$b$. Chứng minh:

$2(a^{4}+b^{4})\geqslant ab^{3}+a^{3}b+2a^{2}b^{2}$