Bài 24:Cho $x,y,z$ là các số thực không âm thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=3$. Tìm GTNN của 

   $P=\frac{16}{\sqrt{x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2}+1}}+\frac{xy+yz+zx+1}{x+y+z}$

_Đề thi thử Chu Văn An Sơn La_

b1 đề sai

Đã fixx.. sorry

$\sum \frac{4ab^3}{a^3+2b^3+c^3}\leq \sum (\frac{ab^3}{a^3+b^3}+\frac{ab^3}{b^3+c^3})\leq \sum (\frac{b^2}{a+b}+\frac{b^2}{c+b})$

tiếp tục phân tích

Lúc đầu mình cũng như bạn. Nhưng sai rồi 

ÁP dụng$ Cauchy-schwarz :$

$\sum \frac{1}{1+bc} \geq \frac{9}{3+\sum ab} \geq \frac{9}{3+ \frac{(a+b+c)^2}{3}}=\frac{3}{2}$

Ta có $\sum \frac{1}{1+bc}\geq \frac{9}{3+\sum ab}\geq \frac{9}{3+\frac{(a+b+c)^{2}}{3}}=\frac{3}{2}$

Hai anh làm sai hết.

 Nếu như thế thì cần cm:

            $\frac{9}{2\sum \sqrt{a}}\leq \frac{3}{2}\Leftrightarrow \sum \sqrt{a}\geq 3$

 Mà điều này sai do: $\sum \sqrt{a}\leq \sqrt{3(\sum a)}=3$.

 Cho a,b,c dương, $a+b+c=3$. Chứng minh:

      $\sum \frac{1}{1+bc}\geq \frac{9}{2\sum \sqrt{a}}$.

Có vài bài trong sách của anh "Cẩn" nhờ mọi người giúp... (Sử dụng Cauchy-Schwarz)

1. Cho $a,b,c$ là các số thực dương: CM:

                $\frac{ab^{3}}{a^{3}+2b^{3}+c^{3}}+\frac{bc^{3}}{b^{3}+2c^{3}+a^{3}}+\frac{ca^{3}}{c^{3}+2a^{3}+b^{3}}\leq \frac{a+b+c}{4}$

2. Cho $a,b,c,d$ không âm thỏa mãn: $a+b+c+d=3$. CM

                        $\sum \frac{ab}{3b+c+d+3}\leq \frac{1}{3}$

___Trích "Kĩ thuật tách ghép_Trang-71"___

Bđt sai với $a=b=c=d=1$

Mình nghĩ bài này phải chứng minh $\leq \frac{1}{2}$

Nhầm đã sửa: $a+b+c=3$

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$. Một đường tròn $(K)$ đi qua $B,C$ cắt $AC,AB$ lần lượt tại $E,F$. $BE$ giao $CF$ tại$H$. $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $KEF$. CM: $I,H,O$ thẳng hàng.

1. Cho a,b,c dương thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh:

                        $\sum \frac{1}{a^{2}}+3\geq 2(a+b+c)$

2. Cho các số thực a,b,c thỏa mãn $(a+c)(a+b+c)<0$. Chứng minh:

                       $b^{2}+c^{2}-4a^{2}>2(2ab+2ac+bc)$

 Cho $a,b,c$ dương. CM:

 a) $(1+\sum a)(1+\sum ab)\geq 4\sqrt{2\prod (a+bc)}$

 b) $\sum \frac{1}{2a+b+c}\leq \sum \frac{1}{a+3b}$

 Giúp em ghép đối xứng với ạ.  ( Sử dụng AM-GM Trang 63)

 

b.Dùng Cauchy-Schwarz:

   $\frac{4}{a+3b}+\frac{2}{b+3c}+\frac{1}{c+3a}=\frac{1}{a+3b}+\frac{1}{a+3b}+\frac{1}{a+3b}+\frac{1}{a+3b}+\frac{1}{b+3c}+\frac{1}{b+3c}+\frac{1}{c+3a}\geq \frac{49}{7a+14b+7c}=\frac{7}{a+2b+c}$

Tương tự với 2 biểu thức tương tự là xong 

Làm thế nào để tách thành 4,2,1 như thế ạ

Xem tại đây.

- Bạn có thể trình bày lại không. Mình dốt E.L lắm

  Cho $x,y,z$ dương thỏa mãn $xyz=1$. Tìm GTNN của

             $\sum_{cyc}\frac{x^{2}(y+z)}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}$

P/s: Số $2$ rất khó chịu. Mong mọi người giúp đỡ.

 Tiếp xúc với $BC$ chứ nhỉ...

 a)Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho 

    1.  $n^{2}+1$ chia hết cho $n+1$.

    2.  $n^{3}-3$ chia hết cho $n-3$. $(n\neq 3)$

b) Tìm số nguyên dương n lơn nhất sao cho

            $n^{3}+100$ chia hết cho $n+100$.

 Giúp em với ạ.

   _Thank_

 Kỹ thuật đổi biến BĐT Cauchy-Schwarz

Cho $a,b,c,d>0$ thỏa $abcd=1$. CM

 $\frac{1}{a(1+b)}+\frac{1}{b(1+c)}+\frac{1}{c(1+d)}+\frac{1}{d(1+a)}\geq 2$

Cho $a,b,c$ dương thỏa mãn: $a+b+c=1$. Chứng minh:

       $\sum \frac{b^{2}c^{2}}{a+bc}\geq \frac{\sum ab}{4}$.

P/s: +) Nếu dùng C-S ngay thì không được

       +) Các mẫu ở vế trái phân tích được thành nhân tử nhưng em không biết làm thế nào nữa.

  Mong mọi người giúp đỡ.

Cho $x,y,z$ là các số thực. Thỏa mãn: $x+y+z=xy+yz+zx$. Tìm GTNN của:

$P=\frac{x}{x^{2}+1}+\frac{y}{y^{2}+1}+\frac{z}{z^{2}+1}$

Chỉ dự đoán được dấu = khi $(1;-1;-1)$ và các hoán vị...

Bài Hình Đề thi chọn HSG Hải Phòng bảng chuyên.

Cho tam giác nhọn $ABC$, $(AB<AC)$ nội tiếp $(O)$. Hai đường cao $BE,CF$ cắt nhau tại $H$. Một điểm $M$ di chuyển trên đoạn thẳng $AB$. Đường thẳng $d$ đi qua $M$ vuông gọc với $AC$ cắt $AO$ tại $I$; $IH$ cắt $CM$ tại $D$; $BD$ cắt $AC$ tại $N$; $AD$ cắt $BC$ tại $P$. Gọi $X$ là trung điểm của $BC$. CHứng minh rằng $MPXN$ nội tiếp.

  Giải hệ phương trình sau: 

                $\left\{\begin{matrix} 2x(x^{2}+3)-y(x^{3}+3)=3xy(x-y) & & \\(x^{2}-2)^{2}=4(2-y) & & \end{matrix}\right.$

P/s: +) Đây là hệ phương trình mà một thầy giáo trường em nghĩ ra, đã đố rất nhiều thầy cô giáo ở trong tỉnh, hình như chưa ai giải được.

       +) Mong mọi người giúp đỡ.

  Mọi người cho em hỏi các kí hiệu này ạ:

         $\bigcup_{k=1}^{n}A_{k}$.

         $\bigcap_{}^{}$.

Cho $x,y,z$ là các số thực không âm thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=3$. Tìm GTNN của 

   $P=\frac{16}{\sqrt{x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2}+1}}+\frac{xy+yz+zx+1}{x+y+z}$

  Giải hộ em bài này với. Em mới học nên chưa biết.

   Tìm F(x) :      $f(x-1)+(1-x)f(x)=(1-x)^{2}$.

 Em xin cám ơn....

 *)Cho tập $A=\left \{ 2,5 \right.\left. \right \}$. Từ các số trong tập $A$ có thể lập được bao nhiêu số có $10$ chữ số sao cho không có hai chữ số 2 nào đứng cạnh nhau?

P/s: Mình làm ra 141, còn cô giáo làm ra 144.

+++ Mọi người cho ý kiến với

Thanks...

 Cho $a,b,c$ dương thỏa mãn $a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$. Chứng minh:

          $(ab+bc+ca)(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})^{2}\geq 27$.

P/S: Em nghĩ là đặt $(ab,bc,ca)\rightarrow (x,y,z)$