26

Không mất tính tổng quát ta giả sử $a\geq b\geq c$

Ta có:

$a^{3}-5a+2=(a-2)(a^{2}+2a-1)\leq 0$

$b^{3}+5a-5ab-1=(b-1)(b^{2}+b+1-5a)\leq (b-1)(a^{2}+a+1-5a)=(b-1)(a^{2}-4a+1)\leq 0$

$c^{3}+5ab-5abc-1=(c-1)(c^{2}+c+1-5ab)\leq (c-1)(a^{2}+a+1-5a)=(c-1)(a^{2}-4a+1)\leq 0$

Cộng 3 bđt trên lại với nhau$\Rightarrow$ đpcm

1.Làm thế nào để bạn có thể tách như vậy.

2.Có phương pháp chung cho những bài thế này ko?

Mong bạn giúp mình

Chứng minh dc $\sqrt{\frac{a}{b+c}}\geq\frac{2a}{a+b+c}\Leftrightarrow (a+b+c)\sqrt{a}\geq 2a\sqrt{b+c}\Leftrightarrow a+b+c\geq 2\sqrt{a(b+c)}$( đúng theo AM-GM)

Cmtt, ta có .....

Tìm giá trị nhỏ nhất của:$A= \frac{8}{(a+3)^{2}}+\frac{4}{(b+2)^{2}}+\frac{1}{(c+1)^{2}}$ với $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 3b$(Đề thi chọn đội tuyển toán 9 THCS chuyên Trần Đại Nghĩa TPHCM)

$7a^{2}-13ab+7b^{2}\geq 7(2ab)-13ab=ab$

$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{7a^{2}-13ab+7b^{2}}}\leq \frac{1}{\sqrt{ab}}$

Cmtt, ta có ...

$\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{\sqrt{ca}}\leq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3$

$=\frac{1}{1+a^{2}+b^{2}}+\frac{\frac{256}{9}}{2ab}-\frac{\frac{247}{9}}{2ab}\geq \frac{(1+\frac{16}{3})^{2}}{1+(a+b)^{2}}-\frac{\frac{247}{9}}{\frac{(a+b)^{2}}{2}}=\frac{\frac{361}{9}}{2}-\frac{\frac{247}{9}}{\frac{1}{2}}=-\frac{209}{6}$

Dấu = xảy ra khi a=b=1/2

1)Cho $0\leq a,b,c\leq 1$

Chứng minh $\frac{a}{bc+1}+\frac{b}{ac+1}+\frac{c}{ab+1}+abc\leq \frac{5}{2}$

2)Cho $0\leq a,b,c\leq 2$ thỏa mãn $a+b+c=3$

Chứng minh rằng $a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 5$

3)Cho $-1\leq a,b,c\leq 1$ thõa mãn $a+b+c=0$

Chứng minh rằng $a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 2$

 

4. Cho $a \geq 2$ . Tìm Min:

$S = a + \frac{1}{a^{2}}$
 

5.  Cho a, b > 0; $a + b \leq  1$ .Tìm Min:

$S = \frac{1}{a^{2} + b ^{2}} + \frac{1}{ab} + 4ab$

4.$\frac{1}{a^{2}}+\frac{a}{8}+\frac{a}{8}+\frac{3a}{4}\geq3\sqrt[3]{\frac{1}{64}}+\frac{3}{2}=\frac{3}{4}+\frac{3}{2}=\frac{9}{4}$

5.$\frac{1}{a^{2}+b^{2}}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{2ab}+8ab-4ab\geq \frac{1}{(a+b)^{2}}+2\sqrt{4}-4(a+b)^{2}=1+4-4=1$

3.$a+b\geq 2\sqrt{ab}\Rightarrow \frac{a+b}{\sqrt{ab}}\geq 2\Rightarrow t\geq 2(\frac{a+b}{\sqrt{ab}}=t)$$t+\frac{1}{t}=\frac{t}{4}+\frac{1}{t}+\frac{3t}{4}\geq 2\sqrt{\frac{1}{4}}+\frac{3}{2}=1+\frac{3}{2}=\frac{5}{2}$

1.Áp dụng $\frac{4}{a+b}\leq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}$

 Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có :

$$\sqrt{\left ( \dfrac{4}{25}+x^2 \right )\left ( 1+\dfrac{9}{16} \right )}\geq \dfrac{2}{5}+\dfrac{3x}{4}\Rightarrow \dfrac{\sqrt{0,16+x^2}}{3}\geq \dfrac{8}{75}+\dfrac{x}{5}$$

$$\sqrt{\left ( \dfrac{9}{100}+y^2 \right )\left ( 1+\dfrac{16}{9} \right )}\geq \dfrac{3}{10}+\dfrac{4y}{3}\Rightarrow \dfrac{\sqrt{0,09+y^2}}{4}\geq \dfrac{9}{200}+\dfrac{y}{5}$$

 Cộng 2 BĐT trên lại ta được :

$$\dfrac{\sqrt{0,16+x^2}}{3}+\dfrac{\sqrt{0,09+y^2}}{4}+\frac{z}{5}\geq \dfrac{91}{600}+\dfrac{x+y+z}{5}=\dfrac{91}{600}+\dfrac{7\sqrt{15}}{50}$$

Làm sao bạn biết để áp dụng Bunhiacopxki với lượng $1+\frac{9}{16}$ và $1+\frac{16}{9}$

$cosA=\sqrt{cosA^{2}}=\sqrt{\frac{AF}{AB}.\frac{AE}{AC}}=\sqrt{\frac{AF}{AC}.\frac{AE}{AB}}\leq \frac{\frac{AF}{AC}+\frac{AE}{AB}}{2}$(BĐT Cauchy)

Cmtt, ta có:

$cosB\leq \frac{\frac{BE}{BA}+\frac{BD}{BC}}{2}$

$cosC\leq \frac{\frac{CD}{CB}+\frac{CF}{CA}}{2}$

$\Rightarrow cosA+cosB+cosC\leq \frac{\frac{CF+AF}{AC}+\frac{AE+BE}{AB}+\frac{BD+DC}{BC}}{2}=\frac{1+1+1}{2}=\frac{3}{2}$

Chắc điểm rơi thôi bạn, thử bài 1 nhá:

$N=3a+7b+\frac{2}{a}+\frac{3}{b}\\=(8a+\frac{2}{a})+(12b+\frac{3}{b})-5(a+b)\\\geq 2\sqrt{8a.\frac{2}{a}}+2\sqrt{12b.\frac{3}{b}}-5\\ \geq15$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}$

Có cách nào dự đoán điểm rơi không bạn

Bài 1) Cho $a,b> 0$ thỏa mãn $a+b\leq 1$. Tìm GTNN của $N=3a+7b+\frac{2}{a}+\frac{3}{b}$

Bài 2) Cho $a,b> 0$ thỏa mãn $a+b\geq 6$. Tìm GTNN của $Q=3a+7b+\frac{2}{a}+\frac{3}{b}$

Bài 3) Cho $a,b> 0$ thỏa mãn $a+2b\leq \frac{1}{3}$. Tìm GTNN của $T=a+17b+\frac{3}{a}+\frac{2}{b}$

Các bạn hãy nêu ra thủ thuật giải các bài toán dạng này và hướng giải nhé

Cho $x, y, z$ dương và $xyz=1$. Chứng minh $\frac{x^2}{1+y}+\frac{y^2}{1+z}+\frac{z^2}{1+x}\geq \frac{3}{2}

Áp dụng BĐT Cauchy cho $\frac{x^{2}}{1+y}$ và $\frac{1+y}{4}$, ta có:

$\frac{x^{2}}{1+y}+\frac{1+y}{4}\geq 2\sqrt{\frac{x^{2}}{1+y}.\frac{1+y}{4}}=x$

Tương tự, ta có:

$\frac{z^{2}}{1+x}+\frac{1+x}{4}\geq z$

$\frac{y^{2}}{1+z}+\frac{1+z}{4}\geq y$ 

$\Rightarrow \frac{x^{2}}{1+y}+\frac{y^{2}}{1+z}+\frac{z^{2}}{1+x}+\frac{1+x}{4}+\frac{1+y}{4}+\frac{1+z}{4}\geq x+y+z$

$\Rightarrow \frac{x^{2}}{1+y}+\frac{y^{2}}{1+z}+\frac{z^{2}}{1+x}\geq \frac{3(x+y+z)-3}{4}\geq \frac{3.3\sqrt[3]{xyz}-3}{4}=\frac{3}{2}$

$OQ$ $\perp AC$; $BC $\perp AC$

$\Rightarrow OQ \parallel BC$ mà $O$ là trung điểm $AB$ $\Rightarrow Q$ là trung điểm $AF$.$\Rightarrow AQ=QF$

Ta có:$ KC\parallel AF$( cùng cuông góc $AB$)$\Rightarrow$$\frac{KM}{AQ}=\frac{MC}{QF}=\frac{BM}{BQ}$( định lí Thales)

$\Rightarrow$$KM=MC$

$=(x-7y)(3x-y-1)$

3a)$\Leftrightarrow (\sqrt{x+2}-2)+(1-\sqrt{3-x})=(x-2)(x-4)\Leftrightarrow \frac{x-4}{\sqrt{x+2}+2}+\frac{4-x}{1+\sqrt{3-x}}=(x-4)(x-2)...\Leftrightarrow x=4$

b) sai đề nhé bạn

4b)$AD+AE-3AN=-AN$

$AN\leq AO\Rightarrow -AN\geq -AO$

Vậy GTNN của $AD+AE-3AN$ là $-AO$

Dấu = xảy ra khi $N\equiv O\Leftrightarrow M\equiv H$

c) Ý tưởng vẽ tiếp tuyến tai D và E cắt tại F. Chứng minh cùng thuộc dường tròn dường kính FO

Cho $a,b,c,d$ là các số nguyên thỏa mãn: $a^{2}=b^{2}+c^{2}+d^{2}.$

Chứng minh rằng: $a.b.c.d+2015$ viết dược dưới dạng hiệu của hai số chính phương

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $P=x\sqrt{6-x}+(5-x)\sqrt{x+1}$, với $0\leq x\leq 5$.

(Trích đề thi HSG quận 1 TPHCM năm 2015-2016)

Câu 2 : $(x-2y)(3x+y+1)=7$

Làm sao bạn phân tích dược như thế này vậy. Nhân tiện mình xin hỏi câu 1 bạn dùng máy tính đoán nghiệm rồi phân tích đa thức thành nhân tử phải không

$(2)\Leftrightarrow (y-1)(6y-x+1)=0$

Nếu $y=1$ thay vào (1) tính $x$

Nếu $6y-x=-1$ thay $x=6y+1$ vào (1) được $73y^2+18y-16=0$ => tính $y$ => $x$ 

Làm sao bạn phân tích đa thức thành nhân tử dễ dàng vậy

Câu 1: Giải hệ phương trình

$\left\{\begin{matrix} &x^{2}+y^{2}+6xy=17 \\ & 6y^{2}-xy+x-5y-1=0 \end{matrix}\right.$

Câu 2: Tìm các số nguyên x,y sao cho:$3x^{2}-2y^{2}-5xy+x-2y-7=0$

Giải PT sau

$\frac{1}{x^{2}}+\frac{3}{x+1}-\frac{2}{(x+1)^{2}}=2$

Chứng minh $\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1}\leq 1$ với $a,b,c> 0$ và $abc=1$

Cho dường tròn tâm O đường kính AB cố định. Lấy C là điểm tùy ý trên đường tròn. Trên tia AC, lấy M sao cho AM=BC. Tìm quỹ tích điểm M khi C chạy trên dường tròn đã cho.