Cho a,b,c >0;$a+b+c>\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$.CMR:$a+b+c\geq \frac{3}{a+b+c}+\frac{2}{abc}$

theo tớ thì $a+b+c \geq \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$ mới đúng.

Từ giả thiết ta có:$(x-2)(y-2)(z-2)-xyz\leq 0$

Tại sao lại có điều này vậy? 

Cho $x,y,z \in [-1;2]$ thỏa mãn $\sum x=1$

Tìm Max và Min của :

$$A=x^4+y^4+z^4$$

Cho x,y,z số thực thỏa mãn: $\sum x=0$ và $\sum x^2=1$

Tìm Min $A=x^5+y^5+z^5$

Cho a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c=1.

Tìm Min: $P=\sqrt{(\frac{1}{a}-1)(\frac{1}{b}-1)}+\frac{18}{a+b+2c}$

Cho x,y,z dương thỏa mãn : $x^2+y^2+z^2=3$

tìm Min: $P=\frac{1}{\sqrt{x^2+xy}}+\frac{1}{\sqrt{y^2+xy}}+\frac{2\sqrt{3}}{1+z}$

Cho a,b,c dương thỏa mãn: $3(bc)^2 +a^2 =2(a+bc)$. Tìm Min:

$P=\frac{a^2}{bc}+\frac{4}{(a+b)^2}+\frac{4}{(a+c)^2}$

GPT

$(x-1)\sqrt{x^2+\frac{1}{2}}=(2x-1)\sqrt{3}$

Xét điều kiện rồi bình phương, ta được PH bậc 4: $2x^4-4x^3-21x^2+22x-5=0$. đây là pt bậc 4 đã có cách giải =)) bạn tự tìm nghiệm

Ta có $P=\frac{x}{y+3}+\frac{y}{x+3}+\frac{xy}{x+y}\geq \frac{\left ( x+y \right )^{2}}{2xy+3\left ( x+y \right )}+\frac{3}{x+y}-1=\frac{(x+y)^{2}}{6+x+y}+\frac{3}{x+y}-1$

Xét $f\left ( t \right )=\frac{t^{2}}{6+t}+\frac{3}{t}-1$ với $t=x+y\left ( t\in (0;2] \right )$

Đến đây em ko biết đạo hàm     

Bạn áp dụng BDT quá tay làm hàm đổi dấu rồi, đến đoạn này chỉ biến đổi tương đương thôi!

Cho a,b,c >0 thỏa mãn $(a+c)(b+c)=4c^2$. Tìm Min, Max(nếu có):

$P=\frac{a}{b+3c}+\frac{b}{a+3c}+\frac{ab}{bc+ca}$

Với a,b >0 thỏa mãn: $ab \leq 4$. 

Tìm Min :$P=\frac{2}{a^4}+\frac{2}{b^4}+\frac{3}{(a-b)^2}$

Cho x,y>0 thỏa mãn $x^4+y^4+\frac{1}{xy} = xy+2$. Tìm Max:

$P=\frac{2}{1+x^2}+\frac{2}{1+y^2}-\frac{3}{1+2xy}$

Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn: $3xyz\geq x+y+z$.

Tìm Min của biểu thức:$\frac{xy+yz+xz-1}{\sqrt{3x^{2}+1}+\sqrt{3y^{2}+1}+\sqrt{3z^{2}+1}}$

Từ $3xyz \geq (x+y+z)$  =>  $(x+y+z)^2 \leq 3xyz(x+y+z) \leq (xy+yz+zx)^2$ <=> $x^2+y^2+z^2+1 \leq (xy+yz+zx-1)^2$  (*)

 lại có : $P=\frac{xy+yz+xz-1}{\sqrt{3x^{2}+1}+\sqrt{3y^{2}+1}+\sqrt{3z^{2}+1}}$

=> $$P \geq \frac{xy+yz+zx-1}{3\sqrt{x^2+y^2+z^2+1}} \geq \frac{xy+yz+zx}{3\sqrt{(xy+yz+zx-1)^2}} = \frac{1}{3}$$ (Theo (*)) .

đẳng thức xảy ra tại x=y=z=1

giải PT 

$2x^2+x+1+\sqrt{1-x^2}=x(\sqrt{1-x}+3\sqrt{1+x})$

PT(1) <=> $(x-\sqrt{x+1})(\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}-2x)=0$

          <=> $\sqrt{x+1}=x$ hoặc $\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}=2x$ => đã dễ, bạn tự tìm nghiệm

giải phương trình $\sqrt{x^{2}+x+7}+\sqrt{x^{2}+x+2}=\sqrt{8x^{2}+3x+9}$

 * đặt các điều kiện, bình phương 2 lần ta được : $32x^4+4x^3-39x^2-36x-56=0$ đây là phương trình bậc 4 đã có cách giải tổng quát bạn tự tìm nghiệm nha*

Cái này dựa vào đường tròn lượng giác mà, cần gì phải chứng mình? nếu chứng minh chỉ cần vẽ ra DTLG là xong!

Cho a b c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=1. Tìm min của $P=\sum \frac{a^{2}+bc}{b+c}$

Ta có : $P+1= \sum \frac{a^2+bc}{b+c}+a$(Do $\sum a=1$) = $\sum \frac{a^2+bc+ab+ac}{b+c} = \sum \frac{(a+c)(a+b)}{b+c} \geq 2(a+b+c) =2$ (bất đẳng thức này chính là $\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y} \geq x+y+z$)

=> $P \geq 1$

 

 

2) sin x + 4\cos x = 2 + Sin 2x

 

 

Bài 2: tao có: PT2 

<=>$sinx+4cosx-2-2sinxcosx=0$ <=> $(2cosx-1)(2-sinx)=0$ => $cosx=\frac{1}{2}$ hoặc $sinx=2$ (loại sinx=2)

1) $sin 4x + 2\cos ^{2}x = 1$

 

 

ta thấy: PT(1)

<=> $sin4x+2cos^{2}x-1=0$

<=> $2sin2xcos2x+cos2x=0$

<=> $cos2x(2sin2x+1)=0$ => $cos2x=0$ hoặc $sin2x=\frac{-1}{2}$ 

A,B,C là 3 góc tùy ý hay 3 Góc trong tam giác vậy?

Một số bdt dùng đạo hàm:

Bài 1: cho x,y>0, $x^4+y^4+\frac{1}{xy}=xy+2$ Max:

$P=\frac{2}{1+x^2}+\frac{2}{1+y^2}-\frac{3}{1+2xy}$

Với x,y>1. Tìm Min:

$P=\frac{x^3+y^3-x^2-y^2}{(x-1)(y-1)} + 2(x^2+y^2)-16\sqrt{xy}$

Cho a,b,c thỏa mãn a+b+c=3 và $0\leq a\leq b\leq c$.Tìm max của $P=\sqrt{abc}(\sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{\frac{b}{c}}+\sqrt{\frac{c}{a}Nhâ

Nhận thấy $P=\sqrt{abc}(\sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{\frac{b}{c}}+\sqrt{\frac{c}{a}}-1) = a\sqrt{c}+b\sqrt{a}+c\sqrt{b}-\sqrt{abc}$

Do b là số ở giữa => $\sqrt{b}(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{c}-\sqrt{b}) \leq 0$ (1) <=> $P= a\sqrt{c}+b\sqrt{a}+c\sqrt{b}-\sqrt{abc} \leq \sqrt{b}(a+c)$ (cái này tách (1) ra ta được )

<=> $P \leq \sqrt{b}(a+c) = \frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{2b(a+c)(a+c)} \leq \frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{\frac{(2a+2b+2c)^3}{27}}=2$.

DTXR <=> a=c=b=1

Cho x,y thỏa mãn $x+y-1= \sqrt{2x-4} +\sqrt{y+1}$. Tìm Min, Max của biểu thức:

$P=(x+y)^{2} - \sqrt{9-x-y} +\frac{1}{\sqrt{x+y}}$

Với x,y thỏa mãn $x+y-1=sqrt{2x-4}+sqrt{y+1}$

Min, Max: $P=(x+y)^{2}-sqrt{9-x-y}+frac{1}{sqrt{x+y}}$