$Cho$ $\left\{\begin{matrix} a^2+b^2+c^2=2 & & \\ ab+bc+ca=1& & \end{matrix}\right.$ .$CMR$ $-\frac{4}{3}\leq a,b,c\leq \frac{4}{3}$

 Tìm GTNN của $\sqrt{x+1}+\sqrt{x+5}$

mình đã nghĩ đến trường hợp này nhưng hình như k chính xác cho lắm

\frac{(a+b-c+b+c-a+c+a-b)^3}{9}\leq phải là 27 chứ

à ừ mình quên cảm ơn bạn góp ý 

 225

 Cho a,b,c là các số thực không âm . Chứng minh rằng 

                                  (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) $\leq$ abc 

 

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$, độ dài cạnh đáy $AB$ = $3+\sqrt{5}$ (cm) và độ dài cạnh bên $SA$ = $5+\sqrt{5}$.

a) Tính diện tích toàn phần của hình chóp.

b) Tính thể tích hình chóp.

 

 

 

Câu 3 : Tìm các số nguyên dương x sao cho :$3^{x}+4^{x}=5^{x}$

 

 

đây 

với $x=2$ thì thỏa mãn

xét TH $x>2$

$3^x+4^x=5^x\Leftrightarrow \frac{3^x}{5^x}+\frac{4^x}{5^x}<\frac{3^2}{5^2}+\frac{4^2}{5^2}=1$

Vậy nếu $x>2$ VT <1 suy ra chỉ có $x=2$ thỏa mãn     

Bài 204

Cho a,b,c $\epsilon$ R $\neq 0$ .Tìm x,y,z $\neq 0$ biết

 $\frac{xy}{ay+bx}\doteq \frac{yz}{bz+cy}\doteq \frac{zx}{cx+az}\doteq \frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{a^{2}+b^{2}+z^{2}}$

Bài 205 

Tìm M=x+y+z biết : 

$\frac{19}{x+y}+\frac{19}{y+z}+\frac{19}{z+x}=\frac{7x}{y+z}+\frac{7y}{z+x}+\frac{7z}{x+y}=\frac{133}{10}$

Bài 206 

Cho 4x=3y và 6y=5z $\left ( x\neq 0 \right )$ 

Tính M=$\frac{2x+3y-4z}{3x+4y-5z}$

Bài 207 Tìm x,y,z biết

a, $3xy-5\doteq x^{2} +2y$

b, $x^{2}+2x-8y^{2}\doteq 41$

c, $x^{2}+y^{2}+xy=x^{2}y^{2}$

p/s : Bạn duong7cvl đánh số thứ tự lại đi nha

$$3xy-5\doteq x^{2} +2y$$

$\Leftrightarrow x^2+5=3xy-2y$

$\Leftrightarrow x^2+5=y(3x-2)$

$\Leftrightarrow y=\frac{x^2+5}{3x-2}\Leftrightarrow 3y=\frac{3x^2-2x+2x+5}{3x-2}\Leftrightarrow 3y=x+\frac{2x+5}{3x-2}$

$\Leftrightarrow 3y=x+\frac{3x-2-x+7}{3x-2}\Leftrightarrow 3y=2x-\frac{x+7}{3x-2}$

Để $y$ nguyên thì:

$\left | x+7 \right |\geq \left | 3x-2 \right |\Leftrightarrow (x+7-3x+2)(x+7+3x-2)\geq 0$

$\Leftrightarrow (-2x+9)(4x+5)\geq 0\Rightarrow -1,25\leq x\leq 4,5$

Vậy $x$ thuộc ${-1;0;1;2;3;4}$ dùng phép thử ta có các tập $(x,y)$ thỏa mãn $(1,6);(3;2)$

Câu 3 : Chia hai vế cho $5^x$ 
Ta có $\left ( \frac{3}{5} \right )^x+\left ( \frac{4}{5} \right )^x=1$
Đến đây ta xét là ok , với x=2 là nghiệm , $x> 2$ thì vế trái bé hơn 1 , các trường hợp còn lại bạn tự làm nhé

$\frac{3^x}{5^x}+\frac{4^x}{5^x}< \frac{3}{5}+\frac{4}{5}=1,4$ vậy thì vẫn có thể xảy ra $TH$ $VT=1$ nếu làm như vậy nhé bạn     

$x>=0$ viết $Latex$ đi bạn ơi chả hiểu gì cả 

Câu 1:Tìm các số x,y thỏa

 

Câu 2 : Cho a,b,c là các số lớn hơn 1.Chứng minh bất đẳng thức sau :$\frac{a^{2}}{a-1}+\frac{2b^{2}}{b-1}+\frac{3c^{2}}{c-1}\geq 24$

 

Câu 3 : Tìm các số nguyên dương x sao cho :$3^{x}+4^{x}=5^{x}$

 

Câu 4 : Chứng minh rằng :Nếu a,b là các số nguyên tố lớn hơn 3 thì $a^{2}-b^{2}\vdots 24$

Câu 4:

Vì $a,b$ là số nguyên tố lớn hơn $3$ suy ra $a,b$ lẻ :

$\Rightarrow a^2,b^2\equiv 1(mod 8)\Rightarrow a^2-b^2\equiv 0(mod 8)$

$\Rightarrow a^2,b^2\equiv 1(mod 3)\Rightarrow a^2-b^2\equiv 0(mod 3)$

mà $(8,3)=1 \Rightarrow a^2-b^2$ chia hết cho $3.8=24$ 

Xét $x\sqrt{1-y^2}\leq \frac{x^2+1-y^2}{2}$ 
      $y\sqrt{1-x^2}\leq \frac{y^2+1-x^2}{2}$
Đến đây ok rồi

À bạn ơi đầu bài $x,y$$\in \mathbb{R}$ chứ không chắc đã dương nên $Cauchy$ không ổn.

Áp dụng $BĐT$ $Schawrz$ ta có :

$x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}=1\leq (x^2+y^2)(1-y^2+1-x^2)$

rồi đó !

$1.$ Cho

$S_1=2+4+6$

$S_2=8+10+12+14$

$S_3=16+18+20+22+24$

$........................$

Tính $S_{69}$

$2.$ Tính tổng dãy sau:

$\left [\sqrt{1} \right ]+\left [\sqrt{2} \right ]+\left [\sqrt{3} \right ]+\left [\sqrt{4} \right ]+...+\left [\sqrt{2402} \right ]$

$3.$ Tính

$\left [ \frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{4}}+...\frac{1}{\sqrt{n}} \right ]$

Với $n=10^6$

$4.$ Số sau là số chẵn hay số lẻ:

$\left [ (3+\sqrt{5})^{2017} \right ]$

Cho $2030$ điểm phân biệt trong đó có $2$ bộ $4$ điểm thẳng hàng (như hình ):

   Hỏi có bao nhiêu đoạn thẳng ?

   Hỏi có bao nhiêu tam giác ?

   Hỏi có bao nhiêu đường thẳng ?

   Hỏi có bao nhiêu tia ?

Tìm $x,y$ nguyên dương để biểu thức:
$x^2-2\vdots xy+2$

 topic nhạt quá

Có hình sau : từ $A,B,C$ kẻ chân đường vuông góc:

$sinA=\frac{BG}{c}$

$sinC=\frac{BG}{a}$

$\Leftrightarrow \frac{sinA}{sinC}=\frac{BG}{c}.\frac{a}{BG}$

$\Rightarrow \frac{sinA}{sinC}=\frac{a}{c}\Rightarrow \frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$

Chứng minh tương tự ta cũng có $\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$ suy ra định lí hàm sin vẫn đúng với tam giác tù.

sao biết n lẻ vậy bạn

Đây nhá $2^n+3^n+4^n\equiv 2^n+0^n+1^n\equiv 2^n+1 (mod 3)$

2 mũ bao nhiêu cũng chẵn thêm 1 lẻ, ( đồng dư -1 không khác gì 2 đâu )

Theo tính chất số chính phương ta có: $(x+y)^2,(y-5z)^2\equiv 0,1(mod 4)\Rightarrow VT\equiv 0,2,1(mod4)$

Mặt khác $VP =567\equiv 3(mod4)$

$\Rightarrow PT$ vô nghiệm nguyên

$phương$ $trình$ $bậc$ $5$ $không$ $thể$ $có$ $6$ $nghiệm$

$nghiệm$ $trong$ $khoảng$ $\leq 5$

đây nhá nếu nó không nguyên tố cùng nhau thì bạn chia đi luôn, ( nói như trên cho tổng quát )

Dùng Fermat cho nó dễ bạn à quy nạp với $n=1$ máy casio còn tràn màn hình.

Vì $11$ là số nguyên tố:

$3^{11-1}=3^{10}\equiv 1(mod 11)$ $(*)$

$2^{4n+1}=2.2^{4n}=2.16^{n}\equiv 2(mod 10)$

Hay $2^{4n+1}=10k+2$

$\Leftrightarrow 3^{2^{4n+1}}+2=3^{10k+2}$

Từ $(*)$ $\Leftrightarrow 3^{2}.3^{10k}+2\equiv 9.1^{10k}+2(mod 11)$ 

$\Leftrightarrow 3^{2^{4n+1}}\equiv 9+2\equiv 0(mod11)$

Đơn giản mà

$ax+by=c$

$\Leftrightarrow x=\frac{c-by}{a}$

$x=\frac{c.b-by+d.a}{a}$

$x=\frac{b(c-y)+d.a}{a}$

$x=\frac{b(c-y)}{a}+d$

$Vì (a,b)=1$

$c-y=at (t\in \mathbb{Z})$

$y=c-at$

$x=bt+d$

Đoạn $c.b$ và $d.a$ ấy là tách cái số $c$ ban đầu ra sao cho nó là bội của $b,a$

like

cho em xin tài liệu về phương trình nghiệm nguyên nguyên lí kẹp ấy 

1. Cho 4 số nguyên dương $a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}$sao cho $1\leq a_{k}\leq k$(k=1,2,3,4) tổng $S=a_1+a_2+a_3+a_4$ là số chẵn . Chứng minh rằng có ít nhất một trong các số dạng $\pm a_1,\pm a_2,\pm a_3,\pm a_4$ có giá trị bằng $0$.

2. Cho 1000 số nguyên dương $a_1,a_2,...a_{1000}$ sao cho $1\leq a_{k}\leq k$ với mọi (k=1,2,3,4...,1000) và        tổng $S=a_1+a_2+a_3+...a_{1000}$ là một số chẵn. Hỏi trong các số dạng $\pm a_1,\pm a_2,\pm a_3,...\pm a_{1000}$

có số nào bằng $0$ hay không ? Giải thích vì sao ?