Tìm Min,Max của 
$A=x^2y(4-x-y)$ biết $x \ge 0,y \ge 0$ và $x+y \le 6$

Với Max, ta xét 2 TH:

+)Nếu $x+y\geq 4$ thì $A\leq 0$

+)Nếu $x+y< 4$ thì:

$A=4.\frac{x}{2}.\frac{x}{2}.y.(4-x-y)\leq \frac{4}{4^{4}}(\frac{x}{2}+\frac{x}{2}+y+4-x-y)^{4}=4$

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow \frac{x}{2}=y=4-x-y\Rightarrow x=2, y=1$

Với Min ta chỉ cần xét $x+y\geq 4$

Ta có:

$-A=x^{2}y(x+y-4)\leq 4.\frac{x}{2}.\frac{x}{2}.y(6-4)\leq \frac{8}{3^{3}}(\frac{x}{2}+\frac{x}{2}+y)^{3}\leq 64$

$\Rightarrow Min A=-64\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} &\frac{x}{2}=y \\ &x+y=6 \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow x=4, y=2$

Cho $a,b>0$. CMR: $a^{4}+b^{4}+3\geq a+b+3\left ( \frac{3ab+1}{4} \right )^{\frac{4}{3}}$

Cho n $\in \mathbb{Z}$ và n>0. Cm nếu $A=2+2\sqrt{28n^{2}+1} \in \mathbb{Z}$ thì A là số chính phương

Bạn tham khảo đây nhé

http://diendantoanho...ố-chính-phương/

Cho $a,b,c>0$ và $x,y,z\in \mathbb{R}$. Chứng minh rằng:

1. $\sum_{cyc} \frac{a^{x+y+z}b^{-x+y-z}}{c^{-x+y+z}}\geq \sum_{cyc} \frac{a^{x}b^{y}}{c^{z}}$

2. $\sum_{cyc} \frac{a^{2x+z}b^{-x+2y}}{c^{y+2z}}\geq \sum_{cyc} \frac{a^{x}b^{y}}{c^{z}}$

3. $\sum_{cyc} \frac{a^{3x-y+z}b^{-x+3y+z}}{c^{x+y+3z}}\geq \sum_{cyc} \frac{a^{x}b^{y}}{c^{z}}$

Giải hệ pt:

3)$\begin{cases}x^3+3xy^2=-49\\x^2-8xy+y^2=8y-17x \end{cases}$

Hpt$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} &x^{3}+3xy^{2}+49=0 \\ &x^{2}-8xy+y^{2}-8y+17x=0 \end{matrix}\right.$ Pt(1)+3Pt(2)$\Rightarrow (x^{3}+3x^{2}+3x+1)+3y^{2}(x+1)-24y(x+1)+48(x+1)=0$

$\Leftrightarrow (x+1)^{3}+(x+1)(3y^{2}-24y+48)=0$

$\Leftrightarrow (x+1)\left [ (x+1)^{2}+3(y-4)^{2} \right ]=0$

Đến đây dễ rồi

$2, a,b,c >0; a^2+b^2+c^2=4\sqrt{abc}.$ Chứng minh $a+b+c>2\sqrt{abc}$

Ta có: $4\sqrt{abc}=a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 3\sqrt[3]{(abc)^{2}}$

           $a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}$

Nhân 2 bđt trên vế theo vế ta có:

$4\sqrt{abc}(a+b+c)\geq 9abc> 8abc \Rightarrow$ đpcm

Bạn có thể tham khảo ở đây và đây

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c\leq \frac{3}{2}$. Tìm Min 

$P=\sqrt{a^{2}+\frac{1}{b^{2}}}+\sqrt{b^{2}+\frac{1}{c^{2}}}+\sqrt{c^{2}+\frac{1}{a^{2}}}$

Áp dụng bất đẳng thức Min-cốp-xki và AM-GM ta có:

$P\geq \sqrt{(a+b+c)^{2}+(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^{2}}\geq \sqrt{(a+b+c)^{2}+\frac{81}{(a+b+c)^{2}}}=\sqrt{\left [ (a+b+c)^{2}+\frac{81}{16(a+b+c)^{2}} \right ]+\frac{1215}{16(a+b+c)^{2}}}\geq \sqrt{2\sqrt{\frac{81}{16}}+\frac{1215}{16.(\frac{3}{2})^{2}}}=\frac{3\sqrt{17}}{2}$

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{2}$

Cho x > 0 , y > 0 và thỏa mãn $x+y=1$. Tìm GTNN của biểu thức $D=\frac{x}{\sqrt{y}}+\frac{y}{\sqrt{x}}$

Ta có:

$D=\frac{x^{2}}{x\sqrt{y}}+\frac{y^{2}}{y\sqrt{x}}\geq \frac{(x+y)^{2}}{x\sqrt{y}+y\sqrt{x}}$

Mà $x\sqrt{y}+y\sqrt{x}=\sqrt{xy}(\sqrt{x}+\sqrt{y})\leq \frac{x+y}{2}.\sqrt{2(x+y)}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\Rightarrow D\geq \sqrt{2}$

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}$

Chứng minh: $ x^2-\sqrt{x}+\frac{1}{2}> 0 $

$x^{2}-\sqrt{x}+\frac{1}{2}=(x-\frac{1}{2})^{2}+(\sqrt{x}-\frac{1}{2})^{2}>0$

Tham khảo tại đây nhé

http://diendantoanho...frac72sqrtabc1/

Cho a,b,c dương thỏa mãn $\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}=3$

Tìm giá trị nhỏ nhất của $P= \frac{27a^{2}}{c(c^{2}+9a^{2})}+\frac{b^2}{a(4a^{2}+b^{2})}+\frac{8c^{2}}{b(9b^{2}+4c^{2})}$

Đặt $\frac{1}{a}=x, \frac{2}{b}=y, \frac{3}{c}=z \Rightarrow x+y+z=3$

khi đó:

$P=\frac{z^{3}}{z^{2}+x^{2}}+\frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}+\frac{y^{3}}{y^{2}+z^{2}}$

Ta có:

$\frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}=x-\frac{xy^{2}}{x^{2}+y^{2}}\geq x-\frac{xy^{2}}{2xy}=x-\frac{y}{2}$

Tương tự$\Rightarrow P\geq x+y+z-\frac{x+y+z}{2}=\frac{x+y+z}{2}=\frac{3}{2}$

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow x=y=z=1 \Rightarrow a=1, b=2, c=3$

cho x, y lớn hơn 0 và $x+y\geq 0$

Đề sai.

Giải các bất phương trình sau:

2) $(x^{2}-x)\sqrt{2x+1}\leq x^{3}-2x-1$

Có ở đây

Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn :

Đã có ở đây

Giải HPT:
$x^{2}y^{2}-2x+y^{2}=0$
$2x^{2}-4x+y^{3}+3=0$

Từ pt(1)$\Rightarrow y^{2}=\frac{2x}{x^{2}+1}\leq 1\Leftrightarrow -1\leq y\leq 1$

Pt(2)$\Leftrightarrow y^{3}=-1-2(x-1)^{2}\leq -1\Leftrightarrow y\leq -1$

$\Rightarrow x=1, y=-1$

1, vs a,b,c>0 chung minh rang $\frac{a}{b^2+3c^2+5bc}+\frac{b}{c^2+3a^2+5ac}+\frac{c}{a^2+3b^2+5ab}\geq \frac{1}{a+b+c}$

Bài 1 chỗ màu đỏ phải là a nhé

$\sum \frac{a}{b^{2}+3c^{2}+5bc}=\sum \frac{a^{2}}{ab^{2}+3ac^{2}+5abc}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}+3(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)+15abc}$

Mà $ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}\leq a^{3}+b^{3}+c^{3}$(theo AM-GM)

$3(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)+15abc=3(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)+9abc+6abc\leq 3(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a+ab^{2}+bc^{2}+ca^{2})+6abc$

(vì $9abc\leq 3(ab^{2}+bc^{2}+ca^{2})$ theo AM-GM)

$\Rightarrow ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}+3(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)+15abc\leq (a+b+c)^{3}$

$\Rightarrow đpcm$

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow a=b=c$

2,$\left\{\begin{matrix} xy^2+4y^2+8=x(x+2) & & \\ x+y+3=3\sqrt{2y-1} & & \end{matrix}\right.$

3,$\left\{\begin{matrix} 2x^2+4y^2+x=19 & & \\ x^2+y^2+y=7 & & \end{matrix}\right.$

2, Pt(1)$\Leftrightarrow xy^{2}+4y^{2}+8-x^{2}-2x=0$

3, Hpt$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} &2x^{2}+4y^{2}+x=19 \\ &3x^{2}+3y^{2}+3y=21 \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow (3x^{2}+3y^{2}+3y)-(2x^{2}+4y^{2}+x)=2$

$\Leftrightarrow x^{2}-(y^{2}-2y+1)-(x-y+1)=0$

$\Leftrightarrow (x-y+1)(x+y-1)-(x-y+1)=0 \Leftrightarrow (x-y+1)(x+y-2)=0$

Đến đây thay vào 1 trong 2 pt là ra

Cho các số thực a,b,c thoả mãn $a\geq 0,b\geq 0,c\geq 1 , a+b+c=2.$Tìm min,max P=$(6-a^{2}-b^{2}-c^{2})(2-abc)$

Đây bạn

Cho $x, y, z\in \left [ -\dfrac{1}{2};2 \right ]$. CMR:

$8(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x})\geq 5(\dfrac{y}{x}+\dfrac{x}{z}+\dfrac{z}{y})+9$

Giải pt:$4\sqrt{1+x}-1=3x+2\sqrt{1-x}+\sqrt{1-x^2}$

ĐK: $-1\leq x\leq 1$

Đặt $\sqrt{1+x}=a; \sqrt{1-x}=b$

Khi đó ta có:

$4a-1=3(a^{2}-1)+2b+ab \Leftrightarrow 3a^{2}-2+2b+ab-4a=0$

Mà $a^{2}+b^{2}=2\Rightarrow 3a^{2}-a^{2}-b^{2}+2b+ab-4a=0$

$\Leftrightarrow (2a-b)(a+b-2)=0$ Đến đây thì dễ rồi

giải hệ phương trình:$\frac{\sqrt{x^2+8x}}{\sqrt{x+1}}+\sqrt{x+7}=\frac{7}{\sqrt{x+1}}$

ĐK: $x\geq 0$

Pt$\Leftrightarrow \sqrt{x^{2}+8x}+\sqrt{(x+7)(x+1)}=7$

$\Leftrightarrow \sqrt{x^{2}+8x}+\sqrt{x^{2}+8x+7}=7$

Đặt $\sqrt{x^{2}+8x}=a$

Khi đó pt trở thành:

$a+\sqrt{a^{2}+7}=7$

Đến đây thì dc rồi...

Giải phương trình:

$\frac{8x(1-x^{2})}{(1+x^{2})^{2}}-\frac{2\sqrt{2}x(x+3)}{1+x^{2}}=5-\sqrt{2}$

Giải PT sau:

$2(x-2)(\sqrt[3]{4x-4}+\sqrt{2x-2})=3x-1$

Đk: $x\geq 1$

+) $x=1$ không là nghiệm của pt

+) $x\neq 1$

Pt$\Leftrightarrow 2(x-1)\sqrt[3]{4x-4}+2(x-1)\sqrt{2x-2}-2\sqrt[3]{4x-4}-2\sqrt{2x-2}=3x-1$

$\Leftrightarrow 2(x-1)(\sqrt[3]{4x-4}-2)+2(x-1)(\sqrt{2x-2}-2)+2\left [ (x-1)-\sqrt[3]{4x-4} \right ]+2\left [ (x-1)-\sqrt{2x-2} \right ]+x-3=0$

$\Leftrightarrow 2(x-1).\dfrac{4(x-3)}{\sqrt[3]{(4x-4)^{2}}+2\sqrt[3]{4x-4}+4}+2(x-1).\dfrac{2(x-3)}{\sqrt{2x-2}+2}+2.\dfrac{x^{3}-3x^{2}-x+3}{(x-1)^{2}+(x-1)\sqrt[3]{4x-4}+\sqrt[3]{(4x-4)^{2}}}+2.\dfrac{x^{2}-4x+3}{x-1+\sqrt{2x-2}}+x-3=0$

$\Leftrightarrow (x-3)\left ( \dfrac{8(x-1)}{\sqrt[3]{(4x-4)^{2}}+2\sqrt[3]{4x-4}+4}+\dfrac{4(x-1)}{\sqrt{2x-2}+2}+\dfrac{2(x-1)(x+1)}{(x-1)^{2}+(x-1)\sqrt[3]{4x-4}+\sqrt[3]{(4x-4)^{2}}}+\dfrac{2(x-1)}{x-1+\sqrt{2x-2}}+1 \right )=0$

Vì VT của pt sau luôn > 0 nên $x=3$

Cho $a,b,c,d >0$ thõa mãn $\sum \frac 1{a+1} \ge 3$. Chứng minh $abcd \le \frac1{81}$

Ta có:

$\frac{1}{a+1}\geq (1-\frac{1}{b+1})+(1-\frac{1}{c+1})+(1-\frac{1}{d+1})=\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}+\frac{d}{d+1}\geq 3\sqrt[3]{\frac{bcd}{(b+1)(c+1)(d+1)}}$

TT, nhân lại ta dc:

$\frac{1}{(a+1)(b+1)(c+1)(d+1)}\geq \frac{81abcd}{(a+1)(b+1)(c+1)(d+1)}$

$\Rightarrow 1\geq 81abcd\Rightarrow$ đpcm