Ở đâu ra $t=x^2-4x+2$ thế bạn>

$x^2-4x+2=t-2$ mà

Xin lỗi....mình nhầm

Giải pt:

$x^2-4x=\sqrt{x+2}-2$

ĐK: $x\geq -2$

Đặt $\sqrt{x+2}=t-2\geq 0$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} &x=t^{2}-4t+2 \\ &t=x^{2}-4x+2 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow (x-t)(x+t-3)=0$

Đến đây dễ rồi

Bạn tham khảo ở đây nhé

Cho $a, b, c, d> 0$ thoả mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=1$. CMR:

$(1-a)(1-b)(1-c)(1-d)\geq \frac{(ab+cd)(ac+bd)}{4}$

Tìm x,y,z nguyên dương thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} x+y+z>11 & \\ 8x+9y+10z=100 & \end{matrix}\right.$

Vì $x, y, z$ nguyên dương nên:

$8x+8y+8z< 8x+9y+10z=100\Rightarrow x+y+z< 12,5$

$\Rightarrow 11< x+y+z\leq 12\Rightarrow x+y+z=12$

$\Rightarrow 8x+8y+8z=96$

$\Rightarrow y+2z=4 \Rightarrow y=2, z=1$(vì $y, z\in \mathbb{Z}^{+}$)

$\Rightarrow x=9$

Cho $a, b, c\geq \dfrac{-3}{4}$ và $a+b+c=1$. CMR:

$\dfrac{a}{a^{2}+1}+\dfrac{b}{b^{2}+1}+\dfrac{c}{c^{2}+1}\leq \dfrac{9}{10}$

Cho $a,b,c,d >0$ thõa mãn $\sum \frac 1{a+1} \ge 3$. Chứng minh $abcd \le \frac1{81}$

Ta có:

$\frac{1}{a+1}\geq (1-\frac{1}{b+1})+(1-\frac{1}{c+1})+(1-\frac{1}{d+1})=\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}+\frac{d}{d+1}\geq 3\sqrt[3]{\frac{bcd}{(b+1)(c+1)(d+1)}}$

TT, nhân lại ta dc:

$\frac{1}{(a+1)(b+1)(c+1)(d+1)}\geq \frac{81abcd}{(a+1)(b+1)(c+1)(d+1)}$

$\Rightarrow 1\geq 81abcd\Rightarrow$ đpcm

Đoạn màu đỏ ko thể dùng AM-GM được vì ta chưa biết $x+y-z$ và $z+x-y$ đã dương hay chưa

Bài 1: Cho a, b, c, d là các số dương thỏa mãn: a + b + c + d = 4
Chứng minh $\frac{a}{1+b^{2}}+\frac{b}{1+c^{2}}+\frac{c}{1+d^{2}}+\frac{d}{1+a^{2}}\geq 2$
Bài 2: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: a + b + c = 3
Chứng minh rằng : $\frac{a+1}{1+b^{2}}+\frac{b+1}{1+c^{2}}+\frac{c+1}{1+a^{2}}\geq 3$

$(x^{2}+y^{2})(x+y+1)=25(y+1) \\ x^{2}+xy+2y^{2}+x-8y=9$

Pt(2)$\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}=9-xy-y^{2}-x+8y$

$\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}=(y+1)(9-x-y)$

Thay vào pt(1) ta có:

$(y+1)(9-x-y)(x+y+1)-25(y+1)=0$

Đặt $a=y+1; b=x+y$

$\Rightarrow a(9-b)(b+1)-25a=0 \Leftrightarrow a(b-4)^{2}=0$

Đến đây thì dễ rồi

Bài toán: Giải các phương trình sau :

b,$2x^2-11x+21 -3.\sqrt[3]{4x-4}=0$

Tính giá trị các biểu thức sau

A=$\frac{(1^{4}+\frac{1}{4}).(3^{4}+\frac{1}{4}).(5^{4}+\frac{1}{4})...(2013^{4}+\frac{1}{4})}{(2^{4}+\frac{1}{4}).(4^{4}+\frac{1}{4}).(6^{4}+\frac{1}{4})...(2014^{4}+\frac{1}{4})}$

Bài này ta có thể giải theo toán bình thường

$A=\dfrac{(2^{4}+4)(6^{4}+4)(10^{4}+4).....(4026^{4}+4)}{(4^{4}+4)(8^{4}+4)(12^{4}+4).....(4028^{4}+4)}$

Ta có: $k^{4}+4=(k^{2}+2)^{2}-4k^{2}=\left [ (k-1)^{2}+1 \right ]\left [ (k+1)^{2}+1 \right ]$

$\Rightarrow A=\dfrac{(1^{2}+1)(3^{2}+1)(5^{2}+1)(7^{2}+1).....(4025^{2}+1)(4027^{2}+1)}{(3^{2}+1)(5^{2}+1)(7^{2}+1)(9^{2}+1).....(4027^{2}+1)(4029^{2}+1)} =\dfrac{1^{2}+1}{4029^{2}+1}$

a) $(x-3)\sqrt{x+1} + x\sqrt{4-x} = 2x-3$

ĐK: $-1\leq x\leq 4$

Đặt $\sqrt{x+1}=a; \sqrt{4-x}=b$

$\Rightarrow (a^{2}-4)a+(4-b^{2})b=a^{2}-b^{2} \Leftrightarrow (a-b)(a^{2}+ab+b^{2}-a-b-4)=0$

+) $a=b\Rightarrow \sqrt{x+1}=\sqrt{4-x}\Rightarrow x=\frac{3}{2}$

+) $a^{2}+ab+b^{2}-a-b-4=0$

$\Rightarrow x+1+4-x+\sqrt{(x+1)(4-x)}-\sqrt{x+1}-\sqrt{4-x}-4=0$

$\Leftrightarrow \sqrt{(x+1)(4-x)}-\sqrt{x+1}-\sqrt{4-x}+1=0 \Leftrightarrow (\sqrt{4-x}-1)(\sqrt{x+1}-1)=0$

$\Leftrightarrow \sqrt{4-x}=1$ hoặc $\sqrt{x+1}=1$

$\Leftrightarrow x=3$ hoặc $x=0$

Cho x,y,z không âm t/m: $ x^{2}+y^{2}+z^{2}=2$ . Cm:  x+y+z $ \leq$ xyz+2

$x+y+z\leq xyz+2 \Leftrightarrow x+y+z(1-xy)\leq 2$ 

Ta có: $(x+y+z(1-xy))^{2}\leq \left [ (x+y)^{2}+z^{2} \right ]\left [ 1+(1-xy)^{2} \right ]=(2+2xy)(2-2xy+x^{2}y^{2})\leq 4$ 

$\Leftrightarrow 2x^{2}y^{2}(xy-1)\leq 0$ 

Mà $xy\leq \frac{x^{2}+y^{2}}{2}=\frac{2-z^{2}}{2}\leq 1$ 

$\Rightarrow$ đpcm

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow x=y=1, z=0$

Cho n $\in \mathbb{Z}$ và n>0. Cm nếu $A=2+2\sqrt{28n^{2}+1} \in \mathbb{Z}$ thì A là số chính phương

Bạn tham khảo đây nhé

http://diendantoanho...ố-chính-phương/

GPT nghiệm nguyên:

d,$9x+2=y^2+y$

Ta có: $9x+2=y^{2}+y \Leftrightarrow 9x=(y-1)(y+2)\vdots 3$

$\Rightarrow y-1$ và $y+2$ phải $\vdots 3\Rightarrow y=3k+1$

$\Rightarrow x=k^{2}+k$

Vậy $(x;y)=(k^{2}+k;3k+1)$ với $k\in \mathbb{Z}$

GPT nghiệm nguyên:

c,$x^2=2y^2-8y+3$

$x^{2}=2y^{2}-8y+3\Rightarrow x$ lẻ$\Rightarrow x=2k+1$

$\Rightarrow 4k^{2}+4k=2y^{2}-8y+2$

$\Leftrightarrow 2k^{2}+2k=y^{2}-4y+1\vdots 2 \Rightarrow y$ lẻ

$\Rightarrow y=2m+1 \Rightarrow 2k^{2}+2k=4m^{2}+4m+1-8m-4+1$

$\Leftrightarrow k(k+1)=2m^{2}-2m-1$

Vì $VT\vdots 2$ và $VP$ không $\vdots 2\Rightarrow$ Vô nghiệm

Đã có ở đây

http://diendantoanho...b-geq-fracabc4/

giải phương trình 

             $\sqrt{2x-1}+x^2-3x+1=0$

ĐK: $x\geq \frac{1}{2}$

Pt$\Leftrightarrow x-\sqrt{2x-1}=x^{2}-2x+1$

$\Leftrightarrow \frac{x^{2}-2x+1}{x+\sqrt{2x-1}}=x^{2}-2x+1$

$\Leftrightarrow x=1$ hoặc $\frac{1}{x+\sqrt{2x-1}}=1$

Đến đây dễ rồi

Tham khảo tại đây nhé

http://diendantoanho...frac72sqrtabc1/

$2, a,b,c >0; a^2+b^2+c^2=4\sqrt{abc}.$ Chứng minh $a+b+c>2\sqrt{abc}$

Ta có: $4\sqrt{abc}=a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 3\sqrt[3]{(abc)^{2}}$

           $a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}$

Nhân 2 bđt trên vế theo vế ta có:

$4\sqrt{abc}(a+b+c)\geq 9abc> 8abc \Rightarrow$ đpcm

Giải pt:$4\sqrt{1+x}-1=3x+2\sqrt{1-x}+\sqrt{1-x^2}$

ĐK: $-1\leq x\leq 1$

Đặt $\sqrt{1+x}=a; \sqrt{1-x}=b$

Khi đó ta có:

$4a-1=3(a^{2}-1)+2b+ab \Leftrightarrow 3a^{2}-2+2b+ab-4a=0$

Mà $a^{2}+b^{2}=2\Rightarrow 3a^{2}-a^{2}-b^{2}+2b+ab-4a=0$

$\Leftrightarrow (2a-b)(a+b-2)=0$ Đến đây thì dễ rồi

Giải hệ pt:

 

$\begin{cases} &  x^3+3xy^2=-49 \\  &  x^2-8xy+y^2=8y-17x \end{cases}$

Ta có: $x^{3}+3xy^{2}+49+3(x^{2}-8xy+y^{2}-8y+17x)=0$

$\Leftrightarrow (x^{3}+3x^{2}+3x+1)+3y^{2}(x+1)-24y(x+1)+48(x+1)=0$

$\Leftrightarrow (x+1)^{3}+(x+1)(3y^{2}-24y+48)=0$

$\Leftrightarrow (x+1)\left [ (x+1)^{2}+3(y-4)^{2} \right ]=0$

Đến đây dễ rồi

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} 3x^3-y^3=\dfrac{1}{x+y} & & \\ x^2+y^2=1 & & \end{matrix}\right.$

Ta có:$(3x^{3}-y^{3})(x+y)=(x^{2}+y^{2})^{2}$

$\Leftrightarrow 3x^{4}-xy^{3}+3x^{3}y-y^{4}=x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4}$

$\Leftrightarrow 2x^{4}-xy^{3}-2x^{2}y^{2}+3x^{3}y-2y^{4}=0$(*)

+) $y=0$ thì hệ vô nghiệm

+) $y\neq 0$

Chia 2 vế của (*) cho $y^{4}$ ta có:

$2(\frac{x}{y})^{4}-\frac{x}{y}-2(\frac{x}{y})^{2}+3(\frac{x}{y})^{3}-2=0$

Đặt $\frac{x}{y}=t$

$\Rightarrow 2t^{4}+3t^{3}-2t^{2}-t-2=0$

$\Leftrightarrow (t-1)(t+2)(2t^{2}+t+1)=0$

Đến đây dễ rồi

giải phương trình $\sqrt{3x^2-5x+1}-\sqrt{x^2-2}=\sqrt{3(x^2-x-1)}-\sqrt{x^2-3x+4}$