Đề này hôm 18.03 mình mới thi nè 
1.2 

P = (a + b)(b + c)(c + a) – abc = (a+b+c)(ab+bc+ca) - 2abc

Vì a + b + c   $\vdots$ 4 nên có ít nhất 1 số chẵn $\Rightarrow$ 2abc $\vdots$ 4 $\Rightarrow$ dpcm

Kẻ 106 đường thẳng song song cách đều chia hình vuông  thành 107 hình chữ nhật có chiều rộng là $\frac{5}{107}$ .

Vì đường kính của mỗi hình tròn là $\frac{1}{20}$ lớn hơn $\frac{5}{107}$ nên mỗi đường tròn bị ít nhất một trong 106 đường thẳng vừa kẻ cắt.

Nếu mỗi đường thẳng chỉ cắt không quá 19 đường tròn thì số đường tròn không quá 19.106=2014 .

Vì có 2015 đường tròn nên ít nhất phải có một đường thẳng cắt 20 đường tròn.

Câu 2a:   (P): y = x²

Gọi tọa độ hai đỉnh (khác O) của tam giác là $A(x_{A};x_{A}^{2})$ và  $B(x_{B};x_{B}^{2})$

Vì $OA^{2}=OB^{2}$ $\Rightarrow$  $x_{A}^{2} + x_{A}^{4} = x_{B}^{2} + x_{B}^{4}$

Câu 2b:

Đặt $a = y - 2 \Leftrightarrow  y = a + 2$

PT $\Leftrightarrow$ $a(x+2)^{2} + x(a+2)^{2} + 26 = 0$

$\Leftrightarrow ax^{2} + 4ax + 4a + a^{2}x + 4ax + 4x + 26 = 0$

$\Leftrightarrow (ax + 4)(a + x + 8) = 6$

Giải phương trình tích, thu được nghiệm $(a;x) = (1;-3) ; (-3;1) ; (1;-10) ; (-10;1)$

$\Leftrightarrow$ $(x;y) = (3;-3) ; (1;-1) ; (1;-8) ; (-10;3)$

Bài 4: 1) Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R. M là một điểm di động trên cung nhỏ BC của đường tròn đó.
             a) Chứng minh MB + MC = MA
             b) Gọi H, I, K lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M xuống AB, BC, CA. Gọi S, S’ lần lượt là diện tích của tam giác ABC, MBC. Chứng minh rằng: Khi M di động ta luôn có đẳng thức $MH+MI+MK=\frac{2\sqrt{3}(S+2S')}{3R}$

 
4.1

a.Trên AM lấy điểm D sao cho AD = MC

Dễ dàng chứng minh được $\bigtriangleup$ADB=$\bigtriangleup$CMB (c.g.c)

$\Rightarrow$ BD = BM 

$\Rightarrow$  $\bigtriangleup$BDM cân tại B 

mà $\widehat{BMD}$ = $\widehat{BCA}$ = $60^{\circ}$ (cùng chắn cung AB)

$\Rightarrow$ $\bigtriangleup$BDM đều

$\Rightarrow$ MB = DM

$\Rightarrow$ MB + MC = DM + AD = MA (dpcm)

b. Ta có: $MH.AB + MI.BC + MK.CA$

bổ đề 1: đường dối trung góc $A$ cắt $BC$ tại $S$ thì ta có $TS$ vuông $BC$ (chứng minh bằng phép tỉ số đồng dạng ta let )

Bổ đề 1 chứng minh làm sao ạ? Cho em xin cách giải bổ đề 1 ạ!!

Cho ∆ABC vuông tại C , đường cao CD. Lấy X thuộc đoạn CD . Trên đoạn AX lấy điểm K sao cho BC bằng BK. Tương tự L là điểm trên đoạn BX sao cho AL=AC. M là giao của AL và BK. CMR : MK=ML

Xét $f(x)=\frac{1}{2}x^{2}-(cosB+cosC)x-cosA+1$

$\Delta _{x}=(cosB+cosC)^{2}+2(cosA-1)$$=4sin^{2}\frac{A}{2}cos^{2}\frac{B-C}{2}-4sin^{2}\frac{A}{2}=-4sin^{2}\frac{A}{2}sin^{2}\frac{B-C}{2}\leq 0$

Theo định lý tam thức bậc hai suy ra: $f(x)\geq 0$ với mọi x. Từ đó suy ra đpcm.

I.2 

Ta có: $f(x).f(x+1)=f(x)[(x+1)^2+p(x+1)+q]$
$=f(x)[(x^2+px+q)+2x+1+p]$ 

$=f(x)[f(x)+2x+1+p]$
$=f^2(x)+2.f(x).x+f(x)+p.f(x)$

$=f^2(x)+2.f(x).x+x^2+px+q+p.f(x)$

$=[f(x)+x]^2+p[f(x)+x]+q=f(f(x)+x)$

Với $x=2017$, ta chọn $k=f(2017)+2017$ thì được đpcm.

I.2 

Ta có: $f(x).f(x+1)=f(x)[(x+1)^2+p(x+1)+q]$
$=f(x)[(x^2+px+q)+2x+1+p]$ 

$=f(x)[f(x)+2x+1+p]$
$=f^2(x)+2.f(x).x+f(x)+p.f(x)$

$=f^2(x)+2.f(x).x+x^2+px+q+p.f(x)$

$=[f(x)+x]^2+p[f(x)+x]+q=f(f(x)+x)$

Với $x=20167$, ta chọn $k=f(2016)+2016$ thì được đpcm.

$sinA+sinB+sinC=1+cosA+cosB+cosC$

$\Leftrightarrow$ $2sin\frac{A+B}{2}cos\frac{A-B}{2}+2sin\frac{C}{2}cos\frac{C}{2}=2cos\frac{A+B}{2}cos\frac{A-B}{2}+2cos^2\frac{C}{2}$

$\Leftrightarrow$ $cos\frac{C}{2}cos\frac{A-B}{2}+sin\frac{C}{2}cos\frac{C}{2}=sin\frac{C}{2}cos\frac{A-B}{2}+cos^2\frac{C}{2}$

$\Leftrightarrow$ $cos\frac{A-B}{2}(cos\frac{C}{2}-sin\frac{C}{2})-cos\frac{C}{2}(cos\frac{C}{2}-sin\frac{C}{2})=0$

$\Leftrightarrow$ $(cos\frac{C}{2}-sin\frac{C}{2})(cos\frac{A-B}{2}-cos\frac{C}{2})=0$

$\Leftrightarrow$ $sin\frac{A-B+C}{4}sin\frac{A-B-C}{4}cos(\frac{C}{2}+\frac{\pi }{4})=0$

Đến đây bạn dễ dàng suy ra được rồi bạn. =))

Cho $a,b,c$ là 3 số nguyên dương. Chứng minh rằng $a^2+b^2+c^2$ không chia hết cho $3(ab+ac+bc).$

Bài 18 [Sưu tầm]: Cho $0<a<b<c$ thỏa mãn $a+b+c=6$ và $ab+bc+ca=9$. Chứng minh rằng: $0<a<1<b<3<c<4$

Bài 19 [Sưu tầm]: Tồn tại hay không một hàm $f$ : $N$ → $N$ sao cho $f(f(n-1))=f(n-1)-f(n)$ ,∀ $n$ ≥ $2$?

Bài 28[sáng tác] Cho $a,b,c,d$ là các số nguyên a khác 0. Giả sử đa thức$f(x)=ax^2+bx+c$ thỏa mãn $f_{2017}(d)=d$. Chứng minh $f(d)=d$

Bài 29[phỏng theo Korea 1997] Chứng minh rằng với $k \geq 2017, k \in Z$, luôn tồn tại hai dãy số $(a_{i})_{i=1}^{k}$ và $(b_{i})_{i=1}^{k}$ thỏa mãn 
(a) $a_{i}, b_{i}$ $\in$ ${1,2016,2016^2,...,}$ với $i=1,2,..,k$

(b) $a_{i} \neq b_{i}$ với $i=1,2,..,k$

(c) $a_{i} \leq a_{i+1}$ và  $b_{i} \leq b_{i+1}$ với $i=1,2,..,k-1$

(d) $\Sigma_{i=1}^{k}a_{i}=\Sigma_{i=1}^{k}b_{i}$

Bài 28: Ta có $f(d)-d=f_{2018}(d)-f_{2017}(d)=f(f_{2017}(d))-f(f_{2016}(d)) \vdots f_{2017}(d)-f_{2016}(d),$
$f_{2017}(d)-f_{2016}(d) = f(f_{2016}(d))-f(f_{2015}(d)) \vdots f_{2016}(d)-f_{2015}(d),$
Thực hiện tương tự, ta được :
$f_{2}(d)-f_{1}(d) = f(f(d))-f(d) \vdots f(d)-d.$

Từ đó, $\left | f(d)-d \right |=\left | f_{2}(d)-f(d) \right |=...=\left | f_{2017}(d)-f_{2016}(d) \right |$

Vì $0=f_{2017}(d)-d=\left\{\begin{matrix} k \\ 2017k \end{matrix}\right.$ nên k=0 suy ra $f(d)=d$

Bài 29:

Với $k \leq 2016$ giả sử tồn tại hai dãy $(a_{i})$ và $(b_{i})$ thỏa mãn đề bài. 
Khi đó do $a_{1} \neq b_{1}$ nên KMTTQ có thể giả sử $a_{1} < b_{1}$.
Từ điều kiện (a), tồn tại các số nguyên $0 \leq m < n$ sao cho: $a_{1}=2016^m,  b_{1}=2016^n$

Do  $b_{i} \geq  b_{1}$ với mọi $i$ nên tổng $\sum _{i=1}^{k}b_{i} \vdots 2016^n$
Gọi $l$ là số các chỉ số i sao cho $a_{i} =  a_{1} = 2016^m$, khi đó 
$\sum _{i=1}^{k}a_{i} \vdots 2016^n \equiv l.2016^m \equiv 0 (mod2016^n)$ 
Vì $n \geq m+1$ nên $l \vdots 2016$, suy ra $k \geq l \geq 2016$
Vậy ta phải có $k=l=2016$. Từ đó suy ra 

$\sum _{i=1}^{k}a_{i} = \sum _{i=1}^{2016}a_{i}  = 2016^{m+1}= \sum _{i=1}^{2016}b_{i} > 2016.b_{1}=2016^{n+1} > 2016^{m+1}$ (vô lý)

Suy ra dpcm

 

Sau đây mình xin gửi đến các tài liệu mà mình có. Các tài liệu này mình đã chọn riêng ra và nhìn chung phù hợp với đa số các bạn. 

Hi vọng các bạn đóng góp thêm các tài liệu hay để chúng ta có thể học tập hiệu quả.

 

Bất đẳng thức: http://www.mediafire...2gy6rgmo9ldi6zi

Dãy số: http://www.mediafire...i4m7rypjd9m5i8t

Giải tích: http://www.mediafire...dfmxcjmf93hlsdz

Hình học: http://www.mediafire...kwt5aa55c4w1tl5

Phươpng trình hàm: http://www.mediafire...e5cwc6704lcjwyd

Số học: http://www.mediafire...945dknp60hdafv2

Tài liệu ôn thi vào lớp 10 THPT http://www.mediafire...sb87c32uibp6ct9

 

Một số tài liệu khác:

http://www.mediafire...5b1fszbwgcgz15t

http://www.mediafire...ctsgkor91569jqx

http://www.mediafire...mo5zj0ko88f1pg8

http://www.mediafire...62mgxrrcug4ivug

http://www.mediafire...lmp45uznc69nkg2

http://www.mediafire...l3fng3qf93gl0x2 (toán cao cấp)

 

Anh/chị zipienie gì đó cho em xin lại link với! Link die hết rồi ạ. 

$a\sqrt{a}(x-2)^{2}+\frac{\sqrt{a}}{(x-2)^{2}}\leq \sqrt[4]{a}\left | cos\frac{x\pi}{2} \right |$

Tìm số hạng tổng quát của dãy số $\left\{\begin{matrix} y_{1}=7\\y_{n+1}=y_{n}^{4}-8y_{n}^{2}+1 ,\forall n=1,2 \end{matrix}\right.$

Topic hơi vắng Tổ hợp nhỉ:  
Bài 37:  (Mathematical Excaibur Vol.7, No.5): Hai mươi người cùng ngồi xung quanh một cái bàn và chơi một trò chơi với $n$ quân bài . Ban đầu một người giữ tất cả quân bài. Đến lượt mỗi người, nếu có ít nhất một người giữ ít nhất 2 quân bài, một trong số họ sẽ phải chuyển một quân bài cho mỗi người ngồi bên cạnh mình. Trò chơi kết thúc khi và chỉ khi mỗi người giữ nhiều nhất một quân bài.
a. chứng minh rằng nếu $n\geq 20$ thì trò chơi không thể kết thúc.
b. chứng minh rằng nếu $n<20$ thì trò chơi sẽ phải kết thúc.

Tìm cặp số nguyên dương (x,y)với x,y nguyên tố cùng nhau và thỏa mãn phương trình $2(x^{3}-x)=y^{3}-y$

Có bao nhiêu cách chọn từ 2018 số nguyên dương đầu tiên ra 1000 số nguyên đôi một khác nhau sao cho không có hai số nào là hai số nguyên liên tiếp?

(Bạn tự vẽ hình nhé)
Gọi $I=AM \cap B'D'$. Dễ thấy $S,O,I$ thẳng hàng( nằm trên giao tuyến của $(SAC)$ và $(SBD)$) và I là trọng tâm mặt $(SAC)$

Đặt $x=\frac{SB}{SB'},y=\frac{SC}{SC'}$.
Dễ chứng minh $x+y=2\frac{SO}{SI}=3$ (chứng minh bằng cách kẻ đường song song qua B cắt SO tại K và dùng định lý Thales suy ra tỷ số)
Từ đó ta cũng suy ra $x,y\in[1;2]$
Ta có $\frac{1}{x}+\frac{1}{y} \geq \frac{4}{x+y} \geq \frac{4}{3}$
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{x+y}{xy}=\frac{3}{xy}\leq\frac{3}{2}$
 

Vậy bài này thì mình gán bít 0 và 1 ntn ạ?

Cho tam giác ABC có a=BC, b=CA, c=AB, $min{A,B,C} \geq 15^{\circ}$. Chứng minh $\sqrt{ab}, \sqrt{bc}, \sqrt{ca}$ cũng là độ dài ba cạnh của một tam giác.

Cho ba số thực $a,b,c$ thay đổi . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
$P=3\sqrt[3]{\frac{c^2-3a^2}{6}}-2\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca}{3}}$