Sao lại cần điều kiện đôi một khác nhau nhỉ?

 

Thay $c = -a-b$ bất đẳng thức trên trở thành

\[\frac{a^2}{b^2} + \frac{b^2}{(a+b)^2} + \frac{(a+b)^2}{a^2} + \frac{a}{b} - \frac{b}{a+b} - \frac{a+b}{a} \geqslant \frac{15}{4}.\]

Đặt $a=kb$ bất đẳng thức trên tương đương với

\[k^2 + \frac{1}{(k+1)^2} + \frac{(k+1)^2}{k^2} + k - \frac{1}{k+1} - \frac{k+1}{k} \geqslant \frac{15}{4},\]

hoặc

\[\frac{(k-1)^2(2k+1)^2(k+2)^2}{4k^2(k+1)^2} \geqslant 0.\]

Hiển nhiên đúng.

Không có cách " đẹp " hơn à ?

Có 7 cách.

Làm vài cách khác đi anh

Nếu 2 tam giác đồng dạng có 2 cặp cạnh tương ứng vuông góc thì cặp cạnh còn lại cũng vuông góc với nhau

Xét hàm: $f(t)=t-\frac{1}{t^3}$.

Ta có: $f'(t)=1+\frac{3}{t^4}> 0$.

Nên $f(t)$ đồng biến.

Lại có $f(x)=f(y)$.

Nên $x=y$.

Đây là toán THCS má ???

*** Cannot compile formula:
left

*** Error message:
Error: Nothing to show, formula is empty

$Ta có :x , y phải khác 0 (vì là mẫu) . Nhân 2 vế của pt đầu cho x^{3}y^{3}đc \rightarrow x_{4}y_{3}-y_{3}=x^{3}y^{4}-x^{3} \Leftrightarrow (x-y)(x^{3}y^{3}+x^{2}+y^{2}-xy)=0 Đến đây tự giải đc r nhé !$

không biết viết dấu căn vs phân số

@@ bó tay 

1.Cho số nguyên  $a > 1$ .Cmr tập hợp $X=\left \{ a^{2}-a+1,a^{3}-a^{2}+1.... \right \}$ chứa $1$ tập con $A$ có vô số phần tử sao cho $2$ phần tử bất kì thuộc $A$ thì nguyên tố cùng nhau

2.Cho số nguyên dương $n$ , kí hiệu $\varphi n$ là số các ước nguyên tố của $n$ . Cmr nếu $\varphi n$ chia hết $n-1$ và $\varphi n \leq 3$ thì $n$ là số nguyên tố .

3.Cmr với mỗi số nguyên dương $k$ , tồn tại số tự nhiên $n$ sao cho tổng các chữ số của $ n $ bằng $ k$ và $n$ chia hết cho $k$

Cho $1251$ số tự nhiên phân biệt $a_{1} , a_{2},.....,a_{1251}$ không vượt quá $2014$ . Chứng minh luôn tồn tại m , n $\in \mathbb{N}$ sao cho $\left | \sqrt{ma_{m}} -\sqrt{na_{n}}\right | \geq 5$

Giả sử $\left | \sqrt{ma_{m}} -\sqrt{na_{n}}\right | \leq 5$ $\forall m,n= \overline{1,2014}, m \neq n$. Lúc đó sẽ tồn tại $a \in \mathbb{R}$ để $a \leq \sqrt{ma_{m}} \leq a+5$ $\forall m= \overline{1,2014}$.Vì vậy tồn tại $c \in \mathbb{N}$ để $c \leq \sqrt{ma_{m}} \leq c+6$ $\forall m= \overline{1,2014}$, hay $c^2 \leq ma_m \leq (c+6)^2$. Ta có $2014 \geq a_1 \geq c^2$ và $(c+6)^2 \geq max\left ( 1251a_{1251},1250a_{1250},1249a_{1249} \right )\geq 1249\times 3= 3747$. Dễ thấy không tồn tại $c$ thỏa mãn nên giả sử sai $\Rightarrow Q.E.D

Chỗ $(c+6)^{2}$ đấy là sao ? Mình chưa hiểu lắm

Đúng rồi . Ta có nhân tử chung là x-y . Đây là hệ đối xứng lại I

Bài này dễ

$Ta có nhận xét : 4y-1 : 4 dư -1 , tức dư 3 . Mà 1 số chính phương không có dạng 4k+3 . Do đó 4y-1=0 \Leftrightarrow y = \frac{1}{4}\Rightarrow ko phải số nguyên Vậy pt vô nghiệm$

Cho a, b ,c là các số thực . Chứng minh rằng 

$(\frac{a^{2}}{b-c})^{2}+ (\frac{b^{2}}{c-a})^{2} + (\frac{c^{2}}{a-b})^{2}\geq 2.$

Cho a , b , c là 3 số thực . Chứng minh BĐT sau 

$\sum (\frac{a+2016b}{a-b})^{2} \geq 2016^{2}+1$

$\sqrt{15x-x^{3}}$ thì dễ rồi . Vậy ms hóc

Giải phương trình 

  $x^{2}-2(\sqrt{15-x^{2}}+x)=15-3\sqrt{15x-x^{2}}-4\sqrt{x}$

theo 4 cách khác nhau

Cmr không tồn tại đường đi khép kín của con mã ( qua mỗi ô chỉ 1 lần và quay về ô ban đầu ) trên bàn cờ 4*n

Chuwngd minh rằng không tồn tại $1$ đường đi khép kín của con mã trên bàn kích thước $4\ast n$

$1$ . Có $36$ vận động viên thi đấu bóng bàn theo thể thức vòng tròn ( mỗi vận động viên đều đấu với tất cả các vđv còn lại ) . Cmr có thể sắp xếp tất cả 36 vđv theo thứ tự sao cho người đứng trc thắng người đứng kề ngay sau đó 

$2$ . Trên mp cho n điểm sao cho khoảng cách giữa 2 điểm bất kì đôi một khác nhau . Người ta nối mỗi điểm với điểm gần nhất đvs nó . Cmr qua mỗi điểm k có quá $5$ đoạn thẳng 

$3$ . Cho $7$ số nguyên dương khác nhau mà mỗi số không vượt quá $1706$ . Cmr tồn tại ba số a , b , c trong chúng sao cho $a < b + c < 4a$

1. Trên mặt phẳng cho $2012$ điểm . Chứng minh rằng có một hình vuông chứa đúng $1006$ điểm ( còn $1006$ điểm còn lại nằm ngoài hình vuông )

2.Trên đường thẳng cho $50$ đoạn thẳng . Chừng minh rằng hoặc có $8$ đoạn thẳng có điểm chung hoặc có $8$ đoạn thẳng mà hai đoạn thẳng bất kì không có điểm chung

TLS à

1.Cho số nguyên  a>1a>1 .Cmr tập hợp X={a2−a+1,a3−a2+1....}X={a2−a+1,a3−a2+1....} chứa 11 tập con AA có vô số phần tử sao cho 22 phần tử bất kì thuộc AA thì nguyên tố cùng nhau

2.Cho số nguyên dương nn , kí hiệu φnφn là số các ước nguyên tố của nn . Cmr nếu φnφn chia hết n−1n−1 và φn≤3φn≤3 thì nn là số nguyên tố .

3.Cmr với mỗi số nguyên dương kk , tồn tại số tự nhiên nn sao cho tổng các chữ số của nn bằng kk và nn chia hết cho k

Giải phương trình 

$1 - 2x\sqrt{x^{2}+x+1}=2x^{2}-x$

theo 6 cách khác nhau

Mình làm đc 1 cách nhân lien hợp và bình phương 2 vế r