Cho hai số thực a,b sao cho$\left | a \right |\neq \left | b \right |$ và ab$\neq 0$ thỏa:

$\frac{a-b}{a^{2}+ab}+\frac{a+b}{a^{2}-ab}=\frac{3a-b}{a^{2}-b^{2}}$

Tính P: $\frac{a^{3}+2a^{2}b+3b^{2}}{2a^{3}+a^{2}b+b^{3}}$

$\frac{a-b}{a(a+b)}+\frac{a+b}{a(a-b)}= \frac{(a-b)^{2}}{a(a^{2}-b^{2})}+\frac{(a+b)^{2}}{a(a^{2}-b^{2})}= \frac{2(a^{2}+b^{2})}{a(a^{2}-b^{2})}= \frac{a(3a-b)}{a(a^{2}-b^{2})}$

$\rightarrow 2b^{2}=a^{2}-ab \rightarrow b^{2}+ab=a^{2}-b^{2} \rightarrow b(a+b)=(a-b)(a+b) \rightarrow a=2b$

Đến đây chắc dễ rồi

$\frac{361}{85}=4+\frac{21}{85}=4+\frac{1}{\frac{85}{21}}=4+\frac{1}{4+\frac{1}{21}}$

Tách vế trái ra như trên rồi đồng nhất với hệ phân số trên=>n=4

https://diendantoanh...2dfrac15y27x20/

https://diendantoanh...ố-chính-phương/

Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn$$\frac{1}{xy}+\frac{1}{xz}+\frac{1}{yz}= 1$$

 

tìm giá trị lớn nhất Q=$$\sum \frac{x}{cănyz\left ( x^{2}+1} \right )}$

ý cậu  là

 $\sum \frac{x}{\sqrt{yz}\left ( x^{2} +1\right )}$

Dạ cho em hỏi tại sao em vào mục nào thì em thấy chỗ nút '' Gửi bài mới'' nó lại hiện là '' Bạn không thể bắt đầu bằng một chủ đề mới ạ''

$8x^{2}+y^{2}-2xy-x^{2}y^{2}=0$

=> $8x^{2}+y^{2}-2xy-x^{2}y^{2}=0$

$\rightarrow x^{2}(y^{2}-7)=(x-y)^{2}$

TH1, $(x-y)^{2}=0 \rightarrow x=y=0$

TH2 $x-y\neq 0$,

ta có $(x-y)^{2}$ là số chính phương , $x^{2}$ là số chính phương

=> $y^{2}-7$ là scp

=> đặt $y^{2}-7=k^{2}$

$y^{2}-k^{2}=7 \Leftrightarrow (y-k)(y+k)=7$

sau đó bạn giải PT ra là được

Cho 1 đa giác có chu vi =1 . CMR có hình tròn có bán kính R=1/4 chứa toàn bộ đa giác đó

Làm lộn đề r bạn

Sai ở đâu vậy bạn ,mình thấy đúng mà

Chứng minh rằng: $xy(x^4-15y)-xy(y^4+15y)$ chia hết cho $30$ với mọi số nguyên $x,y$

$=x^{5}y-xy^{5}-15xy(x+y)=x^{5}y-xy-(xy^{5}-xy)-15xy(x+y)=xy(x^{4}-1)+...$

$=xy(x^{2}-4+5)(x-1)(x+1)+.....- 15xy(x+y)$

$=xy(x-2)(x+2)(x-1)(x+1)+5xy(x-1)(x+1)+... -15xy(x+y)$

Vì $x-2,x-1,x,x+1,x+2$ là 5 số nguyên liên tiếp->$xy(x-2)(x+2)(x+1)(x-1) \vdots 2 ,3,5 \rightarrow \vdots 30$

tương tự với $5xy(x-1)(x+1)$

$xy(x+y)$ luôn chẵn với mọi x,y

$\rightarrow 15xy(x+y)\vdots 30$

$\rightarrow Q.E.D$

$\sqrt{xy}\leq \frac{1}{2}$$\rightarrow x^{2}y^{2}\leq \frac{1}{16}$

$x^{2}+y^{2}\leq (1-y)^{2}+y^{2}=2y^{2}-2y+1=2(y-\frac{1}{2})^{2}+\frac{1}{2}\leq \frac{1}{2}$

=Q.E.D

dấu = xảy ra <=> $x=y=\frac{1}{2}$

 

 

Bài 2: Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $21ab+2bc+8ac \leq 12$. Tìm min của $ P=\frac 1 a + \frac 2 b +\frac 3 c$

https://diendantoanh...1afrac2bfrac3c/

Vì $n^{3}$ $\vdots$ n (1) ,

n lẻ và n$>$ 1 $\Rightarrow$ 1 không chia hết n (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow n^{3}$ +1 không chia hết cho n

cho f(x) là đa thức có hệ số nguyên 

Chứng minh không xảy ra đồng thời f(5)=7 và f(19)=15

cho $n \in N, n > 1$. Chứng minh rằng $n^6 + 2n^5 - n^4 + 2n^2$ không phải là số chính phương

Cái này phải là $2n^{3}$  thay cho $2n^{5}$ chứ bạn

cho a, b, c > 0, a+b=c=1. CMR;$\sqrt{\frac{a+b}{c+ab}}+\sqrt{\frac{b+c}{a+bc}}+\sqrt{\frac{a+c}{b+ac}}\geq \frac{3}{2}$

Cái này có phải là a+B+C=1 không bạn

mình vừa thi xong tuần trước đó , bạn muốn xem đề của huyện mình không , nhưng mà dễ lắm 

Từ giả thiết ta có $ xy \geq 4 ; x^2+y^2 \geq 8 $

 

Sao lại suy ra được như thế này vậy ạ

Cho x, y, z là ba số dương thoả mãn x + y + z = 3. Chứng minh rằng

$\frac{z^{3}}{z^{2}+x^{2}}+\frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}+\frac{y^{3}}{y^{2}+z^{2}}\geq \frac{3}{2}$

Mình sẽ làm ra nhé 

$z-\frac{z^{3}}{z^{2}+x^{2}} =\frac{zx^{2}}{x^{2}+z^{2}}$

$z^{2}+x^{2}\geq 2xz \rightarrow \frac{zx^{2}}{x^{2}+z^{2}}\leq \frac{x}{2}$

$x-\frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}=\frac{xy^{2}}{x^{2}+y^{2}}$

$x^{2}+y^{2}\geq 2xy \rightarrow \frac{xy^{2}}{x^{2}+y^{2}}\leq \frac{y}{2}$

$y-\frac{y^{3}}{y^{2}+z^{2}}=\frac{yz^{2}}{y^{2}+z^{2}}\leq \frac{z}{2}$

=>$-M\leq \frac{-3}{2} \rightarrow M\geq \frac{3}{2}$

=> Q.E.D

Cho x, y, z là ba số dương thoả mãn x + y + z = 3. Chứng minh rằng
$\frac{z}{z^{3}+x^{2}}+\frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}+\frac{y^{3}}{y^{2}+z^{2}}\geq \frac{3}{

Bạn xem lại xem 

Cho số tự nhiên có dạng $8946bbcc09$ tìm số đó biết $bbcc$ là số chính ph

 

đặt $bbcc= a^{2} \rightarrow 11(100a+b)=a^{2} \rightarrow a^{2}\vdots 11 \rightarrow a\vdots 11$(1)

Mặt khác , ta có $1000\leq a^{2}< 10000 \rightarrow 32\leq a\leq 100(2)$

Kết hợp (1)và (2) lại ta được a=88

->bbcc=7744

 cho f(x)=$x^{2}+bx+c(b,c\in Z)$ biết $x^{4}+6x^{2}+25$ và $3x^{4}+4x^{^{2}}+28x+5$ đều chia hết cho f(x).Tính f(-2)

dạng toán có a+b-c ,b+c-a , c+a-b này thì  có một cách giải hay được áp dụng là đặt chúng =2m,2n,2p rồi rút ra kết luận a=m+p chẳng hạn, đó là theo kinh nghiệm của mình 

Xét biểu thức 3-P=Q=$1-\frac{1}{a^{2}+1}+2-\frac{2}{b^{2}+1} =\frac{a^{2}}{a^{2}+1} + \frac{2b^{2}}{b^{2}+1}$

Vì $a^{2}+1 \geq 2a \Rightarrow \frac{a^{2}}{a^{2}+1}\leq \frac{a^{2}}{2a}= \frac{a}{2}$(1)

$\Rightarrow \frac{2b^{2}}{b^{2}+1}\leq \frac{2b^{2}}{2b}\doteq b(2)$

Cộng 2 vế (1)và (2) lại ta có 3-P $\leq \frac{a}{2}+b$

$\Rightarrow -P\leq a+2b-\frac{a}{2}-b=\frac{3}{2} \Rightarrow P\geq \frac{3}{2} \Rightarrow min p=\frac{3}{2} \Leftrightarrow a=b=1$

https://diendantoanh...2c21leq-frac34/