Bài 1:  Tồn tại hay không một số chính phương có 2017 chữ số đầu từ bên phải đều à 9? Nếu thêm yêu cầu chữ số thứ 2018 khác 9?

 

Bài 2:   Số A=$1000^{1000}+1001^{1001}+...+2002^{2002}$ có phải là số chính phương không

 

Bài 3:   CMR với mọi k thuộc N đều tồn tại số n thuộc N sao cho $n*2^{k}-7$ là số chính phương

Bài 1

Không tồn tại vì số gồm 2017 chữ số đầu tiên từ bên phải đều là 9 chia 4 dư 3

Chứng minh rằng với mọi $n \in Z^+$ ta đều có:

$A = \frac{1}{2\sqrt{1}} + \frac{1}{3\sqrt{2}} + \frac{1}{4\sqrt{3}} + ... + \frac{1}{(n + 1)\sqrt{n}} < 2$.

 

Thầy có chỉ cho mình hướng giải như sau:

Với $k \in Z^+$, xét: $\frac{1}{(k + 1)\sqrt{k}} = \sqrt{k}(\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1}) = \sqrt{k}(\frac{1}{\sqrt{k}} + \frac{1}{\sqrt{k + 1}})(\frac{1}{\sqrt{k}} - \frac{1}{\sqrt{k + 1}}) < \sqrt{k}(\frac{1}{\sqrt{k}} + \frac{1}{\sqrt{k}})(\frac{1}{\sqrt{k}} - \frac{1}{\sqrt{k + 1}}) = \frac{2}{\sqrt{k}} - \frac{2}{\sqrt{k + 1}}$.

Suy ra: $\frac{1}{(k + 1)\sqrt{k}} < \frac{2}{\sqrt{k}} - \frac{2}{\sqrt{k + 1}}$.

Áp dụng công thức trên vào bài toán cần chứng minh, ta sẽ được:

$A = \frac{1}{2\sqrt{1}} + \frac{1}{3\sqrt{2}} + \frac{1}{4\sqrt{3}} + ... + \frac{1}{(n + 1)\sqrt{n}} < 2 - \frac{2}{\sqrt{n + 1}}$.

Tới đây thì mình không biết phải giải quyết thêm như thế nào? Nếu ai biết thì chỉ dẫn giúp mình nhé.

 

Thanks.

Ta có

$A< 2-\frac{2}{\sqrt{n+1}}$

Do $\frac{2}{\sqrt{n+1}}> 0\Rightarrow -\frac{2}{\sqrt{n+1}}< 0\Rightarrow A< 2-\frac{2}{\sqrt{n+1}}< 2$

bạn tham khảo tại đây:

https://diendantoanh...chia-hết-cho-x/

Giải pt:  $\sqrt{1-\sqrt{x^2-x}}=\sqrt{x}-1$

ĐK $1\leq x\leq \frac{1+\sqrt{5}}{2}$

Bình phương 2 vế ta được

$1-\sqrt{x^{2}-x}=x-2\sqrt{x}+1\Rightarrow -\sqrt{x-1}=\sqrt{x}-2\Rightarrow x-1=x-4\sqrt{x}+4\Leftrightarrow x=\frac{25}{16}$

Cho $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}$.CMR:

$\frac{1}{a^{2015}}+\frac{1}{b^{2015}}+\frac{1}{c^{2015}}=\frac{1}{a^{2015}+b^{2015}+c^{2015}}$

Ta có 

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}$

$\Rightarrow (a+b+c)(ab+bc+ca)=abc\Leftrightarrow (a+b)(b+c)(c+a)=0$

$\begin{bmatrix} a=-b\\ b=-c\\ c=-a \end{bmatrix}$

Đến đây thay và là ra 

Cho a,b,c >0. CMR: $\frac{a^{3}}{b^{4}}+\frac{b^{3}}{c^{4}}+\frac{c^{3}}{a^{4}}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Ta có

$\frac{a^{3}}{b^{4}}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a}\geq \frac{4}{b}$

Tương tự rồi cộng vế ta được

$VT+3(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 4(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$ suy ra đpcm

bạn tham khảo tại đây:https://diendantoanh...ố-chính-phương/

Giải phương trình:

 

${x^2} - 2\left( {x + 1} \right)\sqrt {3x + 1}  = 2\sqrt {2{x^2} + 5x + 2}  - 8x - 5$

ĐK $x\geq \frac{-1}{3}$

PT $\Leftrightarrow (x+1)^{2}-2(x+1)\sqrt{3x+1}=2\sqrt{(2x+1)(x+2)}-6x-4\Leftrightarrow (x+1-\sqrt{3x+1})^{2}=-(\sqrt{2x+1}-\sqrt{x+2})^{2}$

$\Leftrightarrow x+1-\sqrt{3x+1}=\sqrt{2x+1}-\sqrt{x+2}=0\Leftrightarrow x=0$

 

Anh chị giúp em bài này với

Chứng minh rằng:

$\frac{1}{{{{\left( {1 + a} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {1 + b} \right)}^2}}} \ge \frac{1}{{1 + ab}},\forall a,b > 0$

 

BĐT $\Leftrightarrow (1+a)^{2}(1+ab)+(1+b)^{2}(1+ab)-(1+a)^{2}(1+b)^{2}\geq 0$

$\Leftrightarrow a^{3}b+ab^{3}-a^{2}b^{2}-2ab+1\geq 0$

Áp dụng BĐT AM-GM ta có

$a^{3}b+ab^{3}-a^{2}b^{2}-2ab+1\geq 2a^{2}b^{2}-a^{2}b^{2}-2ab+1=(ab-1)^{2}\geq 0$

Vậy bt được cm

cho a,b,c>0 thỏa mãn $\sum a^{2}=1$. Tìm Min $P=\sum \frac{a^{2}}{b+c}$

Ta có

$(a^{2}+b^{2}+c^{2})(a+b+c)=\sum a^{3}+\sum ab(a+b)\geq \sum \frac{a^{3}+b^{3}}{2}+\sum ab(a+b)\geq \frac{3}{2}\sum ab(a+b)\Rightarrow \sum ab(a+b)\leq \frac{2\sqrt{3}}{3}$

$P=\sum \frac{a^{2}}{b+c}=\sum \frac{a^{4}}{a^{2}(b+c)}\geq \frac{(\sum a^{2})^{2}}{\sum ab(a+b)}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}$

bạn tham khảo tại đây https://vn.answers.y...30043522AAawq8A

Cho a,b,c dương thỏa mãn $\sum a^3$=3. CMR: 4 $\sum \frac{1}{a}$ + 5$\sum a^2$ >= 27

Do $\sum a^{3}=3\Rightarrow max(a,b,c)\leq \sqrt[3]{3}$

Ta sẽ cm bđt sau 

$\frac{4}{a}+5a^{2}\geq 9+2(a^{3}-1)\Leftrightarrow 2(a-1)^{2}(a-\frac{1+\sqrt{33}}{4})(a+\frac{\sqrt{33}-1}{4})\leq 0$(đúng do $a\leq \sqrt[3]{3}$)

Tương tự ta được $VT\leq 27+2(\sum a^{3}-3)=27$

bạn tham khảo ở đây: http://k2pi.net.vn/s...trong-mat-phang

Tìm số dư khi chia $2007^{2007}$ cho 11.

Ta có:

$2007^{2007}\equiv 5^{2007}(mod11)$

$5^{2007}=5^{2005}.5^{2}$

$5^{5}\equiv 1 (mod11)$$\Rightarrow 5^{2005}.5^{2}\equiv 1^{2005}.25\equiv 3(mod11)$

$\Rightarrow 2007^{2007}\equiv 3(mod11)$

+) x lẻ

VT chia 4 dư 2;3

VP chia 4 dư 1

vô lý

+) x chẵn

Đặt x=2k $(k\in N)$

PT trở thành

$(y-2^{k})(y+2^{k})=153$

Đây là pt ước số

Tại đây:https://vn.answers.y...01212751AARlf1k

Giả sử tồn tại SCP có tận cùng là 4 hoặc các chữ số lẻ 1;5;9 có chữ số hàng chục là số lẻ 

thì nếu có tận cùng là 4 thì không chia hết cho 4

còn nếu có tận cùng là 1;5;9 thì chia 4 dư 3

$\Rightarrow$ vô lý

Vậy ta có đpcm

Xét 2004 số $2002;2002^{2};...;2002^{2004}$

Một số khi chia cho 2003 sẽ có 2003 khả năng dư nên theo nguyên lý Dirichlet tồn tại 2 số có cùng số dư khi chia cho 2003

Giả sử là $2003^{m};2003^{n}(m;n\in N;1\leq m< n\leq 2004)$

Khi đó

$2002^{n}-2002^{m}=2002^{m}(2002^{n-m}-1)\vdots 2003$

Mà $(2002^{m},2003)=1$

nên $2002^{n-m}-1\vdots 2003$

suy ra đpcm

Giả sử n là số hạng đầu dãy $(n\in Z)$ (n lẻ)

Ta có

$n+(n+2)+(n+4)+...+(n+2k)=2017 (k\in Z)$

$\Rightarrow (k+1)(n+k)=2017$

Đây là pt ước số bạn tự giải tiếp nha

bạn tham khảo tại đây:https://diendantoanh...-nghiệm-nguyên/

bạn tham khảo tại đây:http://lazi.vn/edu/e...ri-tuong-doi-ac

Chứng minh bất đẳng thức sau là đúng: x+y+z> |z-x|+|x-y|+|y-z| (x,y,z là các số nguyên không âm và x,y,z đôi một khác nhau)

BĐT sai khi a=0;b=1;c=2

giải phương trình 

 $\sqrt{x+3}=\sqrt{2x-8}+\sqrt{7-x}$

ĐK $4\leq x\leq 7$

Bình phương 2 vế ta được

$x+3=x-1+2\sqrt{(2x-8)(7-x)}\Leftrightarrow 2=\sqrt{(2x-8)(7-x)}\Leftrightarrow 2=(x-4)(7-x)$

Bạn tự giải tiếp nha

Cho các số thực dương $x, y$ thoả mãn $(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{y}+1) \geq 4$

Tìm GTNN của biểu thức $P=\frac{x^2}{y} +\frac{y^2}{x}$

 

Bạn nào gợi ý giúp mình cách giải bài này với!

Mình có cách như sau

$4\leq (\sqrt{x}+1)(\sqrt{y}+1)\leq \frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y}+2)^{2}}{4}$

$\Rightarrow 2\leq \sqrt{x}+\sqrt{y}\leq \sqrt{2(x+y)}\Rightarrow x+y\geq 2$

$P=\frac{x^{2}}{y}+\frac{y^{2}}{x}\geq x+y\geq 2$

b1Lũy thừa của 7 trong 1000! là

$\left [ \frac{1000}{7} \right ]+\left [ \frac{1000}{7^{2}} \right ]+\left [ \frac{1000}{7^{3}}\right ]=164$

nên $n_{max}=164$