éc em ko rành lắm nên mới để câu ko chắc lắm ở dưới

Chỉ sợ bài trên xét nhiều trường hợp quá thôi à ) 

$27x^3-y^3=1-27x^3<=>(3x-y)(9x^2+3x+y)=(1-3x)(1+3x+9x^2)$

TH₁: $3x-y=1-3x=>6x=1+y=>y=6x-1$

$9x^2+3xy+y=1+3x+9x^2=>3x(y-1)+y-1=0<=>(y-1)(3x+1)=0=>y=1=>x=\frac{-1}{3}(loai)$

TH₂: $3x-y=1+3x+9x^2=>-y-1=9x^2=>y=-1-9x^2............. 9x^2+3xy+y=1-3x=>9x^2+3xy+y-3x-1=0=>9x^2+3x(-1-9x^2)-1-9x^2+3x-1=0<=>-27x^3-2=0(loại)$

=>pt vô nghiệm

ko chắc lắm hehe  

 

$27x^3-y^3=1-27x^3<=>(3x-y)(9x^2+3x+y)=(1-3x)(1+3x+9x^2)$

TH₁: $3x-y=1-3x=>6x=1+y=>y=6x-1$

$9x^2+3xy+y=1+3x+9x^2=>3x(y-1)+y-1=0<=>(y-1)(3x+1)=0=>y=1=>x=\frac{-1}{3}(loai)$

TH₂: $3x-y=1+3x+9x^2=>-y-1=9x^2=>y=-1-9x^2............. 9x^2+3xy+y=1-3x=>9x^2+3xy+y-3x-1=0=>9x^2+3x(-1-9x^2)-1-9x^2+3x-1=0<=>-27x^3-2=0(loại)$

=>pt vô nghiệm

ko chắc lắm hehe  

Vì sao lại chỉ có xét 2 trường hợp vậy boy XD

Với $x=0$ thì ta có $y= -1$ => ta có nghiệm (-1:0)
$x\neq 0$ thì ta có => $54= \frac{1}{x^3} + y^3$
=> $54 = (1/x + y)( \frac{1}{x^2} + y/x + y^2)$
=>$54= (xy+1)( \frac{1}{x} +y+xy^2)$
còn lại làm nốt mình chỉ làm đến đây ) 

Với $a=b=c=1$ thì dễ thấy $VT<VP$. Mình thay lại đề:
Cho $a+b+c=3$. Chứng minh
$$\frac{a^2+b^2+c^2}{3} \geq \sum \frac{1}{a^2+2}$$
Biến đổi BĐT, ta được:
$$\frac{2(a^2+b^2+c^2)}{3}+\sum \frac{a^2}{a^2+2} \geq 3$$
Áp dụng Cauchy-Schwarz: $\sum \frac{a^2}{a^2+2} \geq \frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+6}=\frac{9}{a^2+b^2+c^2+9}$
Áp dụng AM-GM: $\frac{9}{a^2+b^2+c^2+9}+\frac{a^2+b^2+c^2+6}{9} \geq 2$.
Ta có $\frac{5(a^2+b^2+c^2)}{9} \geq \frac{5(a+b+c)^2}{27}=\frac{5}{3}$.
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta được đpcm.

1) Làm như sau (phân tích): $x^3-2x^2+x-mx+m=0 <=> $x(x-1)^2 -m(x-1)=0 <=>(x-1)(x^2-x-m)=0$
2) Đặt: $x^2=a; a\geq 0$ 
Cả 2 bài còn lại xét nốt delta là ra

$\sum \frac{\sqrt{5x^{2}+6xy+5y}}{x+y+2z}=\sum \frac{\sqrt{5(x+y)^{2}-4xy}}{x+y+2z}\geq \sum \frac{\sqrt{4(x+y)^{2}}}{x+y+2z}=\sum \frac{2(x+y)}{x+y+2z}=6-\sum \frac{4z}{x+y+2z}\geq 6-\sum \frac{z}{x+y}-\sum \frac{z}{z+x}=6-3=3$

90−∠OCB=∠BAC

 

90−∠OCB=∠BAC

vì sao lại có điều này thế bạn

 

dạ thôi mình vừa mới nhìn lại ạ

Phần c và d nhé ...

Cho a,b,c >0 . Chứng minh rằng 
$(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)\geq 3(a^2b+b^2c+c^2a)$

Cho $abc\geq 1$  và a,b,c > 0
Chứng minh rằng: 
$a + b+c \geq ab+bc+ac$

Biết $a,b,c>0$ và $abc=1$ . Chứng minh rằng:
$ a+b+c \geq ab +bc+ ac$

Không nha bạn

Dùng AM-GM có :

$\frac{x^2}{y-2}+4(y-2) \geq 4x$ 

$\frac{y^2}{x-2}+4(y-2) \geq 4y$

Cộng lại có đpcm

Còn 1 cách khác ( Bonus):
Dùng AM-GM:
$\frac{x^2}{y-2}+\frac{y^2}{x-2}\geq 2\sqrt{\frac{x^2}{x-2}\frac{y^2}{x-2}}$
Ta có BĐT sau: $\frac{x^2}{x-2}\geq 8$ tương tự như $\frac{y^2}{y-2}\geq 8$
BĐT tự chứng minh theo cách quy đồng
=> $\frac{x^2}{y-2}+\frac{y^2}{x-2}\geq 2\sqrt{\frac{x^2}{x-2}\frac{y^2}{x-2}}\geq 2.8=16$
Dấu bằng xảy ra khi x=y=4

 

$x^{2}y^{2} - x^{2} - 4xy - 4y^{2} - 3y^{2}$ = 0
$\left ( x+2y \right )^{2} = x^{2}y^{2} - 3y^{2} = y^{2}\left ( x^{2} - 3 \right )$  (1)

Để $x;y\epsilon Z$ thì $x^{2}y^{2} - 3y^{2}$ là số chính phương 
=> $y^{2} = x^{2} - 3$

$\sqrt{a+b^2}$

Gọi $\sqrt{1+x}=a$ , $\sqrt{1-x}=b$ ta có:
$4a -1 = \frac{3(a^2 - b^2)}{2} + 2b + ab$
$<=> 8a -2 = 3(a^2 - b^2) + 4b +2ab$
$<=> 4a^2 - 8a +4 -2b^2 +4b - 2 -a^2 +2ab - b^2=0$
$<=>4(a-1)^2= 2(b-1)^2 + (a-b)^2$
Vì $(a-1)^2\geq 0$ và $(b-1)^2\geq 0$ và $(a-b)^2\geq 0$
dấu bằng xảy ra khi $a=b=1$ => $x=0$ thỏa mãn ông tự tìm điều kiện nhé
mà tôi hỏi facebook ông với... thấy ông làm bấy đẳng thức tốt thế muốn học hỏi 1 tí được không mà tôi thấy con phương trình này không quá khó mà, nói chung ông tốt bất đẳng thức và tôi muốn học hỏi, sry vì cái tính tôi nó dài dòng ý mà 

$\sqrt{\frac{6}{3-x}} + \sqrt{\frac{8}{2-x}}=6$
$\sqrt{\frac{6}{3-x}} - 2 + \sqrt{\frac{8}{2-x}} - 4 = 0$
 
Sau đó dùng biểu thức liên hợp là ra thôi nhé XD  
 

$b^{3}-a^{3}=\left ( b-a \right )\left ( b^{2}+ab+a^{2} \right )$ (1)
Thay $a=b-2$ ta có phương trình (1)
=> $\left ( b-b+2 \right )\left ( b^2+ab+a^2 \right )=2b^{2}+2ab+2a^{2} =a^{2}+2ab+b^{2}+a^{2}+b^{2}=\left ( a+b \right )^{2}+a^{2}+b^{2}$
Ba số trên là 3 số chính phương => Điều phải chứng minh
 

Bác chứng 

Xin chém câu cuối

Sử dụng bất đẳng thức phụ: $(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)\geqslant 3(a^2b+b^2c+c^2a)$ (chứng minh bằng BĐT $AM-GM$)

Khi đó: $P\leqslant \dfrac{a+b+c}{3}-\dfrac{1}{3}(a^2+b^2+c^2)\leqslant \dfrac{a+b+c}{3}-\dfrac{1}{9}(a+b+c)^2\\=\dfrac{1}{4} -\left ( \dfrac{1}{3}(a+b+c)-\dfrac{1}{2} \right )^2\leqslant \dfrac{1}{4}$

Dấu "=" xảy ra: $\iff a=b=c=\dfrac{1}{2}\square$
 
Bác có thể chứng minh lại bđt phụ được không ạ

Bác chứng

Không biết gì cả cứ chém em bất trước
$A=\frac{8a^2+b}{4a}+b^2=\frac{4a^2+a+b-a+4a^2}{4a}+b^2=\frac{4a^2+a+b}{4a}-\frac{1}{4}+a+b^2\geq \frac{4a^2+1}{4a}+a+b+b^2-b-\frac{1}{4}\geq 1+1+(b-\frac{1}{2})^2-\frac{1}{2}\geq 2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$
Dấu bằng xảy ra khi: $a=b=\frac{1}{2}$

Câu 7: 
Ta có: $(a+b)(b+c)=b^2 +1$
=> $(a+c)(b+c)=c^2 +1$
=> $(a+b)(a+c)=a^2 +1$
=> $[(a+b)(b+c)(c+a)]^2=(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)$ (đpcm)

Xin chém câu bất đẳng thức:
Đề: $S=a+b+c+\frac{3}{a}+\frac{9}{2b}+\frac{4}{c}$
=> $S=\frac{3a}{4}+\frac{3}{a}+\frac{b}{2}+\frac{9}{2b}+\frac{c}{4}+\frac{4}{c}+\frac{a}{4}+\frac{2b}{4}+\frac{3c}{4}$
=> $S=\frac{3a}{4}+\frac{3}{a}+\frac{b}{2}+\frac{9}{2b}+\frac{c}{4}+\frac{4}{c}+\frac{a}{4}+\frac{2b}{4}+\frac{3c}{4} \geq 3+3+2+5=13$ (BĐT AM-GM)
Dấu bằng xảy ra khi $a=2;b=3;c=4$

Mình không vẽ hình được nên mình chỉ nói cách giải của mình thôi nhé:
Lấy một điểm A' sao cho $A{A}'=AC$ => $\Delta ACA'$ là tam giác cân
Ta có: $\widehat{CA{A}'}= 180^{\circ} -2\widehat{A{A}'C}$
và ta có $MB=ME$=> $\Delta MBE$ là tam giác cân
=>$\widehat{BME}= 180^{\circ} -2\widehat{BEM}$
Ta lại có tứ giác ACMB là tứ giác nội tiếp => $\widehat{CA{A}'}=\widehat{BME}$
Từ tất cả điều trên => $\widehat{A{A}'C}=\widehat{BEM}$
=> Tứ giác BEMA' là tứ giác nội tiếp => Đường tròn ngoại tiếp tam giác BME sẽ đi qua điểm A' mà điểm A' chắc chắn cố định vì A,C,B cố định