Bài 5a

 Giả sử m chẵn và n chẵn => m+1 và n+1 lẻ

ta tô màu giao lộ A(1;1) có màu trắng

Tô màu tất cả (m+1)(n+1) giao lộ theo quy tắc

Giao lộ (a;b) tô màu trắng nếu a và b cùng tính chẵn lẻ

                 tô màu đen nếu a và b khác tính chẵn lẻ

Xuất phát từ điểm A đi theo các cạnh song song với các cạnh của HCN  => đi qua giao lộ trắng rồi sẽ qua giao lộ đen rồi qua giao lộ trắng v..v

mà người đó đi qua giao qua tất cả (m+1)(n+1)+1 giao lộ ( vì tính A đi và A về 2 lần)

khi đó (m+1)(n+1)+1 chắn mà xuất phát từ giao lộ trắng qua chẵn giao lộ thì cập bến phải ở giao lộ đen ( mà A trắng )=> vô lý

m lẻ hoặc n lẻ thì chỉ cần chỉ ra cách đi thỏa mãn là đc

Bài 2

a, Xét bảng 2^k  x k mỗi hàng chứa một xâu nhị phân có độ dài bằng k khác nhau sau đó bổ sung vào bảng 2018-k cột mà không có ô nào được đánh số

Khi đó ta sẽ có đc bảng tm bài

có ngắn quá không nhỉ ??

có 1995¹⁹⁹⁵ chc 3 và là số lẻ => 1995¹⁹⁹⁵ chia 6 dư 3

phân tích số trên thành tổng của nhiều số tự nhiên gs là a[1],a[2],a[3],....,a[n]

xét M= a[1]³+a[2]³+....+a[n]³

M - 1995¹⁹⁹⁵ =( a[1]³+a[2]³+....+a[n]³) - ( a[1]+a[2]+....+a[n])

mà với x là STN thì x³ - x chc 6   => M - 1995¹⁹⁹⁵ chc 6 => M chia 6 dư 3

viết 9 chữ số từ 1 đến 9 lên 9 tấm bìa . Lấy ngẫu nhiên 1 tấm bìa , ghi số được viết trên đó rồi hoàn lại tiếp tục như thế đến lần thứ 3 thì dừng lại , ta được 3 chữ số . xếp 3 chữ số theo thứ tự lấy ra từ trái sang phải ta được 1 số tự nhiên . Tính xác suất để số tự nhiên đó là chẵn

m làm thế này ko biết đúng ko

nếu 2 cs trên đều chẵn có 4 cách chọn cs trăm 3 cách chọn cs chục và 2 cách chọn cs đơn vị

nếu có 1 cs chẵn 1 cs lẻ

hàng trăm lẻ hàng chục chẵn có 5 cách chọn cs trăm 4 cách chọn cs chục và 3 cách chọn hàng đơn vị

hàng trăm chẵn hàng chục lẻ có 4 cách chọn cs trăm 5 cách chọn cs chục và 3 cách chọn hàng đơn vị

hàng trăm lẻ hàng chục lẻ  => có 5 cách chọn cs trăm 4 cách chọn cs chục và 4 cách chọn cs đơn vị

=> có tất cả 4.3.2+5.4.3+4.5.3+5.4.4=224 số

có tất cả 9.8.7=504 số

xác suất là 4/9

(RMN_MO 201Bài 3 : Cho tập hợp khác rỗng $S\subset \mathbb{Z}$ thoả mãn :

(i) Tồn tại 2 phần tử $a,b\in S$ : $(a,b)=(a-2,b-2)=1$.

(ii) Nếu $x,y\in S$ thì $x^2-y\in S$ (x,y không nhất thiết phân biệt ).

Chứng minh rằng $S=\mathbb{Z}$

$

Cm $1\in S$

=> $1^{2}-1=0\in S$

=> $0^{2}-1=-1\in S$

=> $1^{2}-(-1)=2\in S$

=> $0^{2}-2=-2\in S$

.......

Làm liên tiếp nhiều lần như vậy tạo ra được tất cả các số vét hết tập $\mathbb{Z}$

ai giúp mình bài toán này với ?

có P(x) lẻ và Q(x) lẻ=> p lẻ

trừ 2 b thức cho nhau => 2x³+10x²+2 chc p => x³+5x²+1 chc p (1)

=> x⁵+5x⁴+4x³ chc p => x³(x+1)(x+4) chc p => x hoặc x+1 hoặc x+4 chia hết cho p

kết hợp đk (1) kia là tìm đc p thôi mà

có x³(x+1) chc 2, x(x+1) chc 2

=> x⁴+x³+x²+x+1 lẻ => 2^y lẻ => y=0

thay vào => x⁴+x³+x²+x=0

=> x=0 or x³+x²+x+1=0

=> x=0 or x=-1

P/s : nhìn có vẻ đáng sợ nhưng nhìn kĩ thì  thật đáng yêu

$\left\{\begin{matrix} u_{1}=2 & \\ u_{1}+u_{2}+u_{3}+.....+u_{n}=n^{2}u_{n} & \end{matrix}\right.$

Tìm Lim $n^{2}.u_{n}$

có u₁+u₂+u₃+...+u_n=n²u_n

u₁+u₂+u₃+...+u_n-1=(n-1)²u_n-1

=> (n-1)²u_n-1=(n²-1)u_n vm n

=> (n+1)u_n-1=(n-1)u_n  vm n khác 1

=> u_n-1/u_n=(n-1)/(n+1) vm n khác 1

tương tự u_n-2/u_n-1=(n-2)/n vm n khác 1

             ..............

             u₁/u₂=1/2 vm n khác 1

nhân tất cả vào là tính đc u_n theo u₁ => tính đc công thức tổng quát rồi tìm lim

Tìm hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn

1.$f(x+f(y+f(x)))=f(x+y)+x$

P/s: Đây là $2$ câu riêng biệt mk chế ra ko biết có bị trùng ở đâu ko

Cho a,b,c là các số thực thõa mãn a>=4, b>=5, c>=6 và a²+b²+c²=90. Tìm GTNN của P=a+b+c

a=x+4, b=y+5 , c=z+6  (x,y,z >=0)

=> (x+4)²+(y+5)²+(z+6)²=90

=> x²+y²+z²+8x+10y+12z=13

co x,y,z >=0

x²+y²+z²<= (x+y+z)² 

8x+10y+12z <= 12(x+y+z)

=> 13 <= (x+y+z)²+12(x+y+z)

=> 1<= x+y+z

=> a+b+c>=16

AD BĐT bunhia co A² =< (4²+3²)*(3-x+x+1)

  => A =< 10

A²=16*(3-x)+9*(x+1)+ 24*căn(3-x)*căn(x+1)

A²=57 -7x+24*căn(3-x)*căn(x+1)

theo đkxđ x=<3; 24*căn(3-x)*căn(x+1)>=0 

=>A²>=36 mà A>=0

=> A>=6

    a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = $13x^{2}+y^{2}+4xy-2y-16x+2015$

    b) Cho hai số a ,b thoả mãn điều kiện a+b=1 . Chứng minh : $a^{3}+b^{3}+ab\geq \frac{1}{2}$

b, a³+b³+ab=(a+b)(a²-ab+ b²)+ab

=a²-ab+b²+ab=a²+b²>=(a+b)²/2=1/2

A=(4x²+4xy+y²)-2(2x+y)+9x²-12x+4+2011

=(2x+y)²-2(2x+y)+1+(3x-2)²+2010

=(2x+y-1)²+(3x-2)²+2010

=> A>=2010

Đề bài là x²+3y và y²+3x là số chính phương nhé

 vai trò như nhau không mất TTQ giả sử x>=y

=>x²<x²+3y<(x+2)²

=> x²+3y=(x+1)²

=> 3y=2x+1

y²+3x là SCP => y²+3x=a²  (a là STN)

                     => (2x+1)²/9+3x=a²

                     => 4x²+31x+1=9a²

                    => 64x²+496x+16=144a²

                    => (8x+31)²-144a²=945

                    => (8x+12a+31)(8x-12a+31)=945

Phân tích 945 thành tích 2 số nguyên dương chia 4 dư 3 tìm đc x và a

còn lại tự làm nhé

    Tìm các số nguyên x;y biết :

          $x^{2}+y^{2}=

có x²+y² chc 11 mà x² và y² chia 11 dư 0,1,3,4,5,9 => x² ,y² chc 11=> x,y chc 11

=> x²và y² chc 121 => 9900 chc 121=> vô lý

Cho điểm I làm gì vậy bn

Kéo dài AO cắt BC tại K

có MA+MC=MA+MK+KC

có MA+MK>AK => MA+MK

=> MA+MC=MA+MK+KC > KA+KC=AO+OK+KC>AO+OC

Trong không gian cho $2n$ điểm phân biệt ($n>4$), $n \in \mathbb{N}$, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng và trong 2n điểm đó có đúng n điểm cùng nằm trên 1 mặt phẳng. Tìm n sao cho từ 2n điểm đã cho tạo ra đúng 505 mặt phẳng phân biệt

Dễ thấy cứ $3$ điểm bất kì tạo thánh $1$ mặt phẳng

Chia $2n$ điểm trên thành $2$ nhóm

Nhóm $1$ :$n$ điểm cùng thuộc cùng $1$ mặt phẳng

Nhóm $2$: $n$ điểm còn lại nghĩa là trong $n$ điểm này không có $4$ điểm nào cùng $\in$ $1$ nửa mặt phẳng

Vì có đúng $n$ điểm cùng nằm trên $1$ mặt phẳng ( nên nếu chọn ra $3$ điểm từ $n$ điểm đó thì sẽ trùng với mặt phẳng mà $n$ điểm đó cùng thuộc nên sẽ chỉ tính là $1$ mặt phẳng

Như vậy số mặt phẳng được tạo ra từ $3$ điểm bao gồm

+) $1$ điểm thuộc nhóm $1$ và $2$ điểm thuộc nhóm $2$

+) $2$ điểm thuộc nhóm $1$ và $3$ điểm thuộc nhóm $2$

+) $3$ điểm thuộc nhóm $2$

Vậy tổng số mặt phẳng được tạo thành là $\binom{n}{1}.\binom{n}{2}+\binom{n}{2}.\binom{n}{1}+\binom{n}{3}+1$

Thay vào giải phương trình

ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI THANH HÓA:

 

Tìm các số nguyên dương x;y thỏa mãn : 

                                             x³ - y³ = 95(x² +y²)

chc là chia hết cho, còn  koch là ko chia hết nhé

có (x-y)(x²+xy+y²)=95(x²+y²)

mà x²+xy+y²>x²+y² >0 => 0<x-y<95

có x²+xy+y² =< 3/2(x²+y²) => x-y> 2/3 * 95 => x-y>=64

giả sử x-y koch 5 => x²+xy+y² chc 5  (2)

nếu x chc 5 => y chc 5 => x-y chc 5

nếu x koch 5 => y koch 5 => xy koch 5 => x²+y² koch 5 (1)

vì x,y koch 5 => x²,y² chia cho 5 có số dư là 1 hoặc 4 kết hợp (1) => x²-y² chc 5 mà x-y koch 5 => x+y chc 5

=> x²+2xy+y² chc 5  kết hợp (2) => xy chc 5 vô lý

=> x- y chc 5 => x-y =65 ; 70 ; 75 ; 80 ; 85 ; 90

P/s: cách này m nghĩ chưa tối ưu ai có cách hay hơn thì đăng nhé

Góp cho topic bài này:

$7x^2y^2+x^2+y^2=9xy$

có x²+y²>=2xy

=> 7xy>=7x²y² => xy(1-xy) =< 0

=> 0=<xy =< 1 => xy=0 or xy=1

tự tìm x,y nhé

Tìm n nguyên dương sao cho căn bậc n của n đạt GTLN

Khởi động lạị topic nào

Bài 35.(Sáng tác)

Tìm các hàm: $\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả:

$f(x+f(y))=yf(x)+xf(y)$

Bài 36: (nguồn Aops) Cho $a,b,c>0$ thoả: abc=1. Chứng minh rằng:

$\sum \frac{1}{a^{7}+a^{5}+2}\geq 1$

 Kí hiệu P(x₀,y₀) là hàm khi thay x bởi x₀, y bởi y₀

     với mọi là vm nhé

TH1 : Nếu f(0)=0

Có P(x;0) : f(x+f(0))=xf(0) vm x

       => f(x)=0 vm x

TH2 Nếu f(0) khác 0

Ta chứng minh f là đơn ánh

P(0;x) : f(f(x))=xf(0)  vm x

Ta cm nếu f(a)=f(b) thì a=b

có P(0;a) : f(f(a))=af(0)

     P(0;b) : f(f(b))=bf(0)

có f(a)=f(b) => af(0)=bf(0) mà f(0) khác 0 => a=b

vậy hàm f là hàm đơn ánh

có P(0;1) : f(f(1))=f(0)

=> f(1)=0;

có P(1;x) : f(1+f(x))=xf(1)+f(x) vm x

             => f(1+f(x)) =f(x) vm x

             => 1+f(x)=x vm x

              => f(x) =x-1 vm x

              Thử lại thấy ko tm

Vậy  f(x)=0 vm x

P.s:chả biết có đúng ko

Đóng góp bài này cho topic

Cho a,b,c,d  thỏa mãn a+b+c+d=6 và a²+b²+c²+d²=12

cmr 48 >= 4(a³+b³+c³+d³) -(a⁴+b⁴+c⁴+d⁴) >= 36

Cho $\frac{1}{2}< x< 4$. Tìm GTLN của $M=\frac{4x-3}{2x-1}+\frac{2-x}{4-x}$

M=$2-(\frac{1}{2x-1}+\frac{2}{4-x})=2-(\frac{1}{2x-1}+\frac{4}{8-2x})<=2-(\frac{(1+2)^{2}}{2x-1+8-2x})=\frac{5}{7}$

tim tat ca cac cap so nguyen ko am tm  dang thuc

$(1+x^{2})(1+y^{^{2}})+4xy+2(x+y)(1+xy)=25$

có 4xy chẵn, 2(x+y)(1+xy) chẵn => (x²+1)(y²+1) lẻ

=> x chẵn , y chẵn

giả sử trong 2 số x,y ko có số  nào =0

=> x>=2; y>=2 => VT>VP => vô lý

=> 1 trong 2 số x, y =0

giả sử x=0 khi đó thay vào tìm đc y

tam giác ABC có độ dài các cạnh là a, b, c

CM:

$\frac{a}{2b+2c-a}+\frac{b}{2c+2a-b}+\frac{c}{2a+2b-c}\geq 1$

Đặt M= biểu thức cần cm

=> M=$\sum \frac{a^{2}}{2ab+2ac-a^{2}}$

AD swarch M>=$\frac{(a+b+c)^{2}}{4ab+4bc+4ca-a^{2}-b^{2}-c^{2}}$

easy chứng minh 4ab+4bc+4ca-a²-b²-c²<=(a+b+c)²

=> M>=1