Cho $3$ đống sỏi $49,5,51$ viên. Mỗi lần ta chọn $1$ trong $2$ bước sau thực hiện:

+ Bước $1$: Dồn $2$ đống sỏi bất kì thành $1$ đống

+ Bước $2$: Chia đống sỏi có số sỏi là số chẳn thành $2$ đống có số sỏi bằng nhau

Hỏi sau số số bước có thể chia thành $150$ đống sỏi mà mỗi đống chỉ có duy nhất một viên sỏi?

 

*) Cũng hỏi như trên nhưng các đống lần lượt là $49,50,51$

Bài này chú xem lại đề cái. Ý 1 chắc chắn ko đc.

Ý 2 : để tồn tại đống 1 thì phải tồn tại đống 2, để có đống 2 thì phải có 4,...

Vậy ta xem liệu có thể chia các đống trên thành các cấp số nhân của 2 được không.

Ở đây nếu ta thực hiện bước nhóm thì tổng luôn đưa về 75. Vậy ta chỉ có thể chia 50 thành 25,25 và nhóm 2 số còn lại và nhóm được 74 và 76. Và nhóm lại hay tách ra đếu chỉ được 75 nên không thể thực hiện được.

P/S nếu cần tui sẽ post lời giải chi tiết hơn vào sáng mai. Giờ bận rùi 

$\boxed{\text{Đề đúng. Lời giải sai rồi}}$

$\boxed{\text{Bài 7}}$ tại đây - [TOPIC] ôn hình học chuyên 2018-2019

Rút gọn

$(\sqrt{\sqrt{13}-3}+\sqrt{\sqrt{13}+3}):\sqrt{\sqrt{13}+2}$

Bình phương $VT$ ta có: $\sqrt{13}-3+\sqrt{13}+3+2\sqrt{(\sqrt{13}-3)(\sqrt{13}+3)}=2\sqrt{13}+4$

suy ra: $P=\frac{\sqrt{2(\sqrt{13}+2)}}{\sqrt{13}+2}=\sqrt{2}$

 

p/s: Chú đừng rảnh lắm

Chứng minh rằng với mọi số thực không âm $a,b,c$ ta luôn có:

$\frac{3a^3+abc}{b^3+c^3}+\frac{3b^3+abc}{c^3+a^3}+\frac{3c^3+abc}{a^3+b^3}$ $\geq 6$

GIẢI PT

a)  $\sqrt[4]{x-\sqrt{x^{2}-1}}+\sqrt{x+\sqrt{x^{2}-1}}=2$

b)   $\sqrt{4x+3}+\sqrt{2x+1}=6x+\sqrt{8x^{2}+10x+3}-16$

c)   $18x^{2}-18x+5=3\sqrt[3]{9x^{2}-9x+2}$

a)$\sqrt[4]{x-\sqrt{x^2-1}} =a, \sqrt[]{x+\sqrt{x^2-1}} =b \Rightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=2\\ a^4+b^2=x \end{matrix}\right. ......$

 

Cho x>0 ; tìm GTNN của biểu thức: A= $\frac{3x^{4}+16}{x^{2}}$ 

Cái chèn công thức vào khó quá à (.

 

Ta có: $\frac{3x^4+16}{x^2}=3x^2+\frac{16}{x^2}\geq 2\sqrt{3x^2.\frac{16}{x^2}}=8\sqrt{3}$

Dấu "=" xảy ra khi: $3x^2=\frac{16}{x^2}\Rightarrow x=\sqrt[4]{\frac{16}{3}}$

 

p/s:

Nguồn: Nhóm Giáo Viên THCS Hà Tĩnh

Cho $a, b, c> 1$ . Tìm  $Min: P=\frac{a^{2}}{a-1}+\frac{2b^{2}}{b-1}+\frac{3c^{2}}{c-1}$

Một cách giải khác: 

Ta có: $\frac{x^2}{x-1}+4(x-1)\geq 4x\Rightarrow \frac{x^2}{x-1}\geq 4$

Dấu "=" xảy ra khi $\frac{x^2}{x-1}=4(x-1)\Leftrightarrow x=2$

Áp dụng BĐT trên ta sẽ có: $P\geq 4+2.4+3.4=20$

Dấu "=" xảy ra khi:  $a=b=c=2$

 

Cho dãy số 1; 11; 21; 1211; 111221.

Hỏi, số tiếp theo đằng sau số 111221 là số bao nhiêu?

Cái này theo cách đọc và mặt chữ căn cứ vào số phía trước

Ban đầu ta có: 1

Số thứ 2 viết là: một 1 (tức có một con số 1 ở số thứ 1)

Số thứ 3 viết là: hai 1 (tức có hai con số 1 ở số thứ 2)

Số thứ 4 viết là: một 2 một 1 (tức có một con số 2 và một số 1 ở số thứ 3)

.......................

Số tiếp theo sẽ là: ba 3 hai 2 một 1 = 312211 

Vậy số cần tìm là $\boxed{\text{312211}}$

 

p/s: hack não :v

Có đây bạn nha. https://diendantoanh...endmatrixright/

Đang on=đt nên ko trình bày được

Trong một đường tròn cho 16 điểm phân biệt dùng 3 màu xanh, đỏ, vàng để tô các điểm ấy. Mỗi đoạn thẳng để nối 2 điểm bất kì trong 16 điểm trên được tô bằng 2 màu nâu và tím. CMR luôn tồn tại 1 tam giác có các đỉnh cùng màu và các cạnh cũng cùng màu.

Bản $LATEX$

Ta có: $\widehat{ABQ}=90^0-\frac{\widehat{A}}{2}$ mà $\widehat{EOQ}=\frac{1}{2}\widehat{BOC}=\frac{1}{2}(180^0-\widehat{A})=90^0-\frac{\widehat{A}}{2}$

Suy ra : $\widehat{ABQ}=\widehat{EOQ}\Rightarrow t/g BEOQ$ nt $\Rightarrow EQ$ vuông góc với $OF$

Tương tự $FP$ vuông góc với $OE$

=> $\Delta OPQ\sim \Delta OFE(c.g.c)\Rightarrow \frac{PQ}{EF}=\frac{OP}{OF}=sin \widehat{PFO}=sin{\frac{\widehat{A}}{2}}$ (Không đổi)

Suy ra đpcm

 

p/s: Gõ $LATEX$ vẫn sướng hơn

Gọi 100 số tự nhiên liên tiếp bất kỳ là n, n+1,...,n+99.
Gọi x là số số nguyên tố trong 100 số trên.
+, xét n=0 => x=...
+, xét n=1 => x=...
+, xét n=2 => x=...
+, xét n>2
•n chia hết cho 3 ta đi tìm được max(x)
•n chia cho 3 dư 1 ta đi tìm được max(x)
•n chia cho 3 dư 2 ta đi tìm được max(x)
So sánh các x và max của x vừa tìm được.
Nếu mik không nhầm thì n bằng 2 thì x đạt gtln.

Bạn có cách giải nào ngắn hơn ko???

Bn tự vẽ hình nha:
Ta có: $\widehat{DBC}=\widehat{KDC}$(cùng chắn cung CD)

mà $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ suy ra: $\widehat{KDC}=\widehat{ACB}$$\Rightarrow \widehat{OAC}=\widehat{ODC}$

hay t/g $ADOC nt$ mà t/g$OCKD nt$ suy ra 5 điểm A,D,O,C,K thuộc cùng một đường tròn

=> (đpcm)

 

Không cần vẽ thêm đường phụ     

Mình xin góp thêm bài:

Cho (O,R) và (O',R') cắt nhau tại A và B. Từ C trên tia đối của tia AB vẽ tt CD, CE đến (O) điểm E nằm trong (O') AD,AE cắt (O') tại M,N. DE cắt MN tại I.

CMR: a, NI.BE=BI.AE

          b, C/m I là trung điểm của MN

          c, Khi C thay đổi thì DE luôn đi qua một điểm cố định.

Đây, mình giải quyết cho.

Bạn tự vẽ hình nha.

Vẽ (O₁ ) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE. Gọi giao của (O1) vs AB là K.

Ta có: T/g HEAK nt (O1) =>  $\widehat{HKA}=\widehat{AEG} (1)$

Mà $\Delta AEG\sim \Delta ACB(g.g) \Rightarrow \widehat{AEG}=\widehat{ABC} (2)$

Từ (1) (2) suy ra: 

$\widehat{HKA} = \widehat{HKG} \Rightarrow \Delta KHB$ cân tại H

Mà HG vuông góc với KB => GB = GK => K cố định.

hay tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta HAE$ luôn nằm trên một đường cố định(là đường trung trực của AK)

Gọi $ABC$ là tam giác bất kì nội tiếp $(O,R)
$D$ là điểm chính giữa cung $BC$ chứa $A$ và $E$ là trung điểm $BC$
Đặt $OE=x\Rightarrow CE=\sqrt{R^2-x^2}$
Dễ thấy
$$S_{ABC}\leq S_{DBC}=CE\cdot DE=\sqrt{R^2-x^2}\cdot (R+x)=\sqrt{(R+x)^3(R-x)}$$
$$=\frac1{\sqrt3}\sqrt{(R+x)(R+x)(R+x)(3R-3x)}\leq\frac1{\sqrt3}\sqrt{\left(\frac{R+x+R+x+R+x+3R-3x}4\right)^4}$$
$$=\frac1{\sqrt3}\sqrt{\left(\frac{3R}2\right)^4}=\frac{3\sqrt3 R^2}4$$
Vậy
$$Max\;S_{ABC}=\frac{3\sqrt3 R^2}4\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}A\equiv D\\R+x=3R-3x\end{matrix} \right.\Leftrightarrow AB=BC=AC$$
 

*** Cannot compile formula:
\definecolor{uuuuuu}{rgb}{0.26666666666666666,0.26666666666666666,0.26666666666666666}\definecolor{xdxdff}{rgb}{0.49019607843137253,0.49019607843137253,1.}\definecolor{ududff}{rgb}{0.30196078431372547,0.30196078431372547,1.}\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]\clip(-0.28,-2.36) rectangle (5.74,3.78);\draw [line width=2.pt] (2.72,0.58) circle (2.6461292485439936cm);\draw [line width=2.pt] (1.28,2.8)-- (0.8148927000958486,-1.2564547845922895);\draw [line width=2.pt] (0.8148927000958486,-1.2564547845922895)-- (4.639419939222375,-1.2414903504865396);\draw [line width=2.pt] (1.28,2.8)-- (4.639419939222375,-1.2414903504865396);\draw [line width=2.pt] (2.70964642655458,3.2261089931287614)-- (0.8148927000958486,-1.2564547845922895);\draw [line width=2.pt] (2.70964642655458,3.2261089931287614)-- (4.639419939222375,-1.2414903504865396);\draw [line width=2.pt] (2.70964642655458,3.2261089931287614)-- (2.7271563196591115,-1.2489725675394145);\draw (2.24,0.04) node[anchor=north west] {$x$};\begin{scriptsize}\draw [fill=ududff] (1.28,2.8) circle (2.5pt);\draw[color=ududff] (1.42,3.17) node {$A$};\draw [fill=ududff] (2.72,0.58) circle (2.5pt);\draw[color=ududff] (2.44,0.65) node {$O$};\draw [fill=xdxdff] (0.8148927000958486,-1.2564547845922895) circle (2.5pt);\draw[color=xdxdff] (0.38,-1.13) node {$B$};\draw [fill=xdxdff] (4.639419939222375,-1.2414903504865396) circle (2.5pt);\draw[color=xdxdff] (4.88,-1.29) node {$C$};\draw [fill=uuuuuu] (2.70964642655458,3.2261089931287614) circle (2.0pt);\draw[color=uuuuuu] (2.84,3.55) node {$D$};\draw [fill=uuuuuu] (2.7271563196591115,-1.2489725675394145) circle (2.0pt);\draw[color=uuuuuu] (2.86,-0.91) node {$E$};\end{scriptsize}\end{tikzpicture}

*** Error message:
Cannot connect to QuickLaTeX server: 
Please make sure your server/PHP settings allow HTTP requests to external resources ("allow_url_fopen", etc.)

Bạn có cách phân tích nào ngắn hơn không?

Mọi người giúp mình với ạ. Thanks <3

Câu mấy bn?

Ta có:

Từ điểm A nằm ngoài (O) kẻ 2 tiếp tuyên AB và AC. Gọi M là điểm chuyển động trên cung BC nhỏ. Tiếp tuyến tại M của (O) cắt AB, AC tại E, F. BC cắt OE và OF ở P và Q. CM $\frac{PQ}{EF}$ không đổi khi M chuyển động

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x^2=y+1\\ y^2=z+1\\ z^2=x+1 \end{matrix}\right.$

1.$\sqrt{x^2-5x+4}\leq x+1$

2.$\sqrt{x+4}+1> \sqrt{2x-6}$

3.$\left | x^2-x \right |\leq 2$

1.

Bình phương 2 vế ta có:

$x^2-5x+4\leq x^2+2x+1\Rightarrow 7x-3\geq 0\Leftrightarrow x\geq \frac{3}{7}$

1.$\sqrt{x^2-5x+4}\leq x+1$

2.$\sqrt{x+4}+1> \sqrt{2x-6}$

3.$\left | x^2-x \right |\leq 2$

3. 

$\left | x^2-x \right |\leq 2\Rightarrow \begin{bmatrix} x^2-x\leq 2\\ x^2-x\geq -2 \end{bmatrix} \Rightarrow \begin{bmatrix} x^2-x-2\leq 0\\ x^2-x+2\geq 0 \end{bmatrix} \Rightarrow 2\geq x\geq -1$

Ta có: a+b+c=0 nên a+b=-c => a^2+b^2+2ab=c^2 => a^2+b^2-c^2=-2ab
Tương tự: b^2+c^2-a^2=-2bc; c^2+a^2-b^2=-2ca.
Thay vào đề bài ta có :
P= -1/2+-1/2+-1/2=-3/2
Vậy P=-3/2