1/ Cho tam giác $ABC$ nhọn có $O,I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp. $(I)$ tiếp xúc $BC,CA,AB$ lần lượt tại $D,E,F.H,Z,T$ lần lượt là hình chiếu của $D,E,F$ lên $EF,FD,DE.S$ là giao điểm của $EF$ và $ZT.$

a) Chứng minh $H$ là trực tâm tam giác $ASI.$

b) $M$ là giao điểm thứ hai của $AI$ và $(O).$ Đường tròn tâm $M$ qua $E,F$ cắt $(O)$ tại $X,Y.$ Chứng minh $\overline{S,X,Y,Z,T}.$

2/ Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O),$ ngoại tiếp $(I).H,D$ là hình chiếu của $A,I$ lên $BC.AI$ cắt lại $(O)$ tại $E,DE$ cắt lại $(O)$ tại $F,BC$ cắt $AF$ tại $K.$

a) Chứng minh $FI \perp FA$ và $A,I,K,H$ đồng viên.

b) $EH$ cắt $(O)$ tại điểm thứ hai $L,FL$ cắt $BC$ tại $J.$ Chứng minh tiếp tuyến tại $F$ của $(O)$ đi qua trung điểm của $JK.$

Viết lộn. Mình sửa lại rồi

HPT 

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x(x+y)+2y^2=8x-2\\ x(x+y)^2-2y^2=7x+2 \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow x(x+y)^2+2x(x+y)-15x=0$

$\Leftrightarrow x((x+y)^2+2(x+y)-15)=0$

* TH1: x=0: Thế vào phương trình thứ nhất ta suy ra: $y^2=-1$ (vô lí)

* TH2: $(x+y)^2+2(x+y)-15=0\Leftrightarrow (x+y-3)(x+y+5)=0$ $\Leftrightarrow$ x+y=3 hoặc x+y=-5

+) x+y=3 $\Leftrightarrow y=3-x$

Thế vào phương trình thứ nhất: 

$3x+(3-x)^2=4x-1 \Leftrightarrow 3x+9-6x+x^2=4x-1\Leftrightarrow x^2-7x+10=0$

$\Leftrightarrow$ x=2; y=1 hoặc x=5; y=-2

+) x+y=-5 $\Leftrightarrow y=-5-x$

Thế vào phương trình thứ nhất:

$-5x+(5+x)^2=4x-1\Leftrightarrow -5x+25+10x+x^2=4x-1\Leftrightarrow x^2+x+26=0$

(vô lí vì $x^2+x+26=(x+\frac{1}{2})^2+\frac{103}{4}>0$)

Hệ phương trình có nghiệm (x;y) = (2;1) hoặc (x;y) = (5; -2)

Cho x, y, z, t là các số thực dương thỏa x+y+z+t = 4. Chứng minh rằng:

$\frac{xy}{z+t+4}+\frac{yz}{t+x+4}+\frac{zt}{x+y+4}+\frac{tx}{y+z+4}+\frac{\sqrt{xyzt}}{3}\leq 1$

a) Cho x, y, z > 0. Chứng minh: $\sqrt{xy(x+y)}+\sqrt{yz(y+z)}+\sqrt{zx(z+x)}\geq \sqrt{2xyz}+\sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)}$

b) Cho a, b, c > 0 thỏa a+b+c=3. Chứng minh rằng: $\frac{5-3bc}{1+a}+\frac{5-3ca}{1+b}+\frac{5-3ab}{1+c}\geq ab+bc+ca$

Cho tam giác $ABC$ nhọn $(AB<AC)$ nội tiếp đường tròn $(O).$ Hai đường cao $BE,CF$ cắt nhau tại $H.$ Một điểm $M$ thay đổi trên đoạn thẳng $AB.$ Đường thẳng qua $M$ vuông góc với $AC$ cắt $AO$ tại $I,IH$ cắt $CM$ tại $D,BD$ cắt $AC$ tại $N,AD$ cắt $BC$ tại $P.$ Chứng minh:

$a)B,C,N,M$ đồng viên.

$b)(MNP)$ luôn đi qua một điểm cố định.

a) Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{N}^*\rightarrow \mathbb{N}^*$ sao cho với mọi số nguyên dương n thì: $(f(1))^3+(f(2))^3+...+(f(n))^3=(f(1)+f(2)+...+f(n))^2$

b) Cho hàm số $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa: $f(x^2+f(y))=4y+\frac{1}{2}f^2(x),\forall x,y \in \mathbb{R}$

1) Chứng minh f là hàm lẻ trên $\mathbb {R}$

2) Tìm tất cả các hàm số f thỏa mãn yêu cầu bài toán

a) Cho các số hữu tỉ x, y, z thỏa $x^2+y^2+z,\: y^2+z^2+x,\: z^2+x^2+y$ là các số nguyên. Chứng minh 2x là số nguyên

b) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho tồn tại các số nguyên dương x, y, z sao cho: $7^n=xy(z^2+1)+(x^2+y^2)z$

c) Cho a, b là các số thực thỏa $a^p-b^p \in \mathbb{N}^*$ với mọi số nguyên tố p

i/ Chứng minh ab là số hữu tỉ

ii/ Chứng minh a, b là số nguyên

Cho a, b, c không âm thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh rằng $\sqrt{a+b^2}+\sqrt{b+c^2}+\sqrt{c+a^2}\geq 2$

1) Cho tam giác $ABC$ nhọn ngoại tiếp đường tròn $(I).(IBC)$ cắt $(I)$ tại $D,E$ sao cho $D$ ở gần $B,E$ ở gần $C.K$ là giao điểm thứ hai của $(I)$ và $BE,CD$ cắt $BI$ tại $T,CD$ cắt $(I)$ tại $L \neq D.$ Đường thẳng qua $T$ vuông góc với $BI$ cắt $(I)$ tại $P$ nằm trong $\Delta IBC.$ Chứng minh tiếp tuyến tại $P$ của $(I),KL,BI$ đồng quy.

2) Cho tam giác $ABC$ nhọn có $AB<AC$ nội tiếp $(O, R).$ Các đường cao $AD,BE,CF$ cắt nhau tại $H.K$ là hình chiếu của $O$ lên $BC,J$ nằm trên $OK$ sao cho $OK.OJ=R^2.HK,EF$ cắt nhau tại $I.BC$ cắt $EF$ tại $P.AP$ cắt lại $(O)$ tại $Q.$ Chứng minh:

a) $\overline{H,K,I,Q}$ và $ID \perp OP.$

b) $\overline{I,J,D}.$

Cho a, b, c không âm có nhiều nhất một số bằng 0. Chứng minh rằng:

a) $\sum \frac{a^2(b+c)^2}{b^2+c^2}\geq2(\sum ab)$

b) $\sum \frac{a^2+2bc}{b+c}\geq\frac{3}{2}(\sum a)$

1) Cho các số thực a, b thỏa mãn $3(a+b)\geq 2\left | ab+1 \right |$. Chứng minh: $9(a^3+b^3)\geq \left | a^3b^3+1 \right |$

2) Cho a, b > 0. Chứng minh: $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{4}{a^2+b^2}\geq \frac{32(a^2+b^2)}{(a+b)^4}$

3) Cho các số thực không âm a, b thỏa mãn $a^3+b^3=2$. Chứng minh: $3(a^4+b^4)+2a^4b^4\leq 8$

4) Cho số thực x, y thỏa mãn $y\geq 0; y(y+1)\leq(x+1)^2$. Chứng minh: $y(y-1)\leq x^2$

Cho tứ giác ABCD có $\widehat{A}=\widehat{D}$. Gọi E là giao điểm của AC và BD. M, N, L là trung điểm của AD, DC, AB. Gọi F nằm trên tia ME sao cho $MA^2=ME\cdot MF$. Chứng minh EF là phân giác góc LFN

1) Cho a, b, c > 0 thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng: $\sum \frac{1}{(1+a)^3}+\frac{5}{(1+a)(1+b)(1+c)}\geq 1$

2) Cho a, b, c không âm sao cho không có hai số nào đồng thời bằng 0. Chứng minh rằng:

a) $\sum \frac{a(b+c)}{b^2+bc+c^2}\geq 2$

b) $\sum \frac{1}{2a^2+bc}\geq \frac{6}{(\sum a^2)+(\sum ab)}$

1) Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a+b+c=3. Chứng minh rằng: $\frac{a}{a+bc}+\frac{b}{b+ca}+\frac{c}{c+ab}\geq\frac{3}{2}$

2) Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh rằng: $\frac{1}{a^2+ab}+\frac{1}{b^2+bc}+\frac{1}{c^2+cd}+\frac{1}{d^2+da}\geq\frac{4}{ac+bd}$

3) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: $\frac{1}{a\sqrt{3a+2b}}+\frac{1}{b\sqrt{3b+2c}}+\frac{1}{c\sqrt{3c+2a}}\geq\frac{3}{\sqrt{5abc}}$

4) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: $\sqrt{(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})}\geq 1+\sqrt{1+\sqrt{(a^2+b^2+c^2)(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})}}$

Cho tam giác $ABC$ cố định, nhọn, không cân, nội tiếp $(O).D$ nằm trên đoạn $BC$ sao cho $AD$ là phân giác $\widehat{BAC}.P$ di chuyển trên $AD,Q$ thuộc đoạn $AD$ sao cho $\widehat{PBC}=\widehat{QBA},R$ là hình chiếu của $Q$ lên $BC,d$ là đường thẳng đi qua $R$ và vuông góc với đoạn $OP.$ Chứng minh $d$ luôn đi qua một điểm cố định.

Cho tam giác $ABC$ ngoại tiếp đường tròn $(I),$ đường cao $AH,D$ là hình chiếu của $I$ lên $BC.AI$ cắt $BC$ tại $E,M$ là trung điểm của $BC.$

Chứng minh $\overline{MD}^2=\overline{MH}\cdot \overline{ME}.$

1) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (a; b) sao cho $(a^2+b)(b^2+a)$ là một lũy thừa của 2

2) Cho b, n là các số nguyên lớn hơn 1. Giả sử với mọi số nguyên k>1, tồn tại $a_k\in \mathbb{Z}$ sao cho $b\equiv (a_k)^n\: (mod k)$. Chứng minh tồn tại số nguyên dương c sao cho $b=c^n$

3) Tìm số nguyên tố p sao cho $\frac{3^{p-1}-1}{p}$ là một số chính phương

1) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (a; b) sao cho $(a^2+b)(b^2+a)$ là một lũy thừa của 2

2) Cho b, n là các số nguyên lớn hơn 1. Giả sử với mọi số nguyên k>1, tồn tại $a_k\in \mathbb{Z}$ sao cho $b\equiv (a_k)^n\: (mod k)$. Chứng minh tồn tại số nguyên dương c sao cho $b=c^n$

1) Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O). GỌi E là giao điểm của AB và CD, F là giao điểm của AC và BD. Đoạn EF cắt (O) tại X, BX cắt EC tại M, CX cắt BE tại N. Chứng minh BC, MN và tiếp tuyến của (O) tại X đồng quy

2) Cho đường tròn (O) và P nằm ngoài (O). Vẽ tiếp tuyến PB, PD (B, D là các tiếp điểm), cát tuyến PCA (C nằm giữa A và P). Tiếp tuyến của (O) tại C cắt DP tại Q, cắt AD tại R; AQ cắt lại (O) tại E. Chứng minh B, E, R thẳng hàng

3) Cho tam giác ABC nhọn có AB<AC ngoại tiếp (I), K là tiếp điểm của (I) với BC. Vẽ đường cao AD. Gọi M là trung điểm AD, KM cắt (I) tại N. Chứng minh (I) tiếp xúc đường tròn ngoại tiếp tam giác BCN

Cho tam giác ABC nhọn và điểm P bất kì nằm trong tam giác ABC. Gọi $A_1,B_1,C_1$ là hình chiếu của P lên BC, CA, AB. $A_2, B_2,C_2$ là trung điểm của PA, PB, PC. O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác $A_1B_1C_1$. Giả sử $OA_1, OB_1,OC_1$ cắt $B_2C_2, C_2A_2,A_2B_2$ tại $A_3,B_3,C_3$. Chứng minh $A_2A_3,B_2B_3,C_2C_3$ đồng quy

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O),$ phân giác $AD,BE,CF$ đồng quy tại $I.AI,BI,CI$ cắt $(O)$ tại $X,Y,Z.K,L,N$ lần lượt là các điểm chia $IX,IY,IZ$ cùng một tỉ số $k.$ Chứng minh rằng các đường thẳng qua $K,L,N$ vuông góc với $EF,FD,DE$ đồng quy trên $OI.$

Tìm tất cả các hàm số f: $\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện:

$(f(x+y))^2=f(x)f(x+2y)+yf(y),\: \forall x,y\in \mathbb{R}$

1) Cho số nguyên tố p có dạng p=4k+3, các số $a_1,a_2,...,a_{p-1}$ là các số nguyên dương liên tiếp. Chứng minh rằng: Không tồn tại các tập hợp A, B thỏa mãn:

i/ $A\, \cap \, B=\varnothing , A\neq \varnothing ,B\neq \varnothing$

ii/ $A\cup B=\left \{ a_1,a_2,...,a_{p-1} \right \}$

iii/ $\prod_{x\in A} x=\prod_{y\in B}y$

2) Cho $n\in \mathbb{N}^*$. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương có n chữ số lẻ chia hết cho $5^n$

3) a) Cho $a,b \in \mathbb{N}^*$ thỏa (a, b)=1. Chứng minh với mọi số nguyên n, n>ab thì tồn tại $x,y \in \mathbb{N}^*$ sao cho n=ax+by

b) Cho $a,b,c \in \mathbb{N}^*$ thỏa (a, b,c)=1. Chứng minh với mọi số nguyên n, n>ac+b thì tồn tại $x,y,z \in \mathbb{N}^*$ sao cho n=ax+by+cz

1) Tìm các số nguyên tố p, q sao cho $pq\: |\: p^p+q^q+1$

2) Cho p là số nguyên tố lẻ và $Q(x)=(p-1)x^p-x-1$. Chứng minh tồn tại vô hạn các số nguyên dương a sao cho $p^p\: |\: Q(a)$

3) Chứng minh với mọi số nguyên dương s, luôn tồn tại số nguyên n có tổng các chữ số bằng s, đồng thời s | n

4) Tồn tại hay không số nguyên n>1 sao cho $n\: |\: 2^n-1$?

5) Cho số nguyên tố p>3 và $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{p-1}=\frac{m}{n}$ $(m,n\in \mathbb{N}^*, (m,n)=1)$. Chứng minh $p^2\, |\, m$

6) Cho $n\in \mathbb{N}^*$ và $k\in \left \{0;1;2;...;n \right \}$. Đặt$a_k=(n+1)C^k_n$. Chứng minh $[a_0,a_1,...,a_n]=[1;2;...;n+1]$