$x^{4}+1\geq 2x^{2}=> x^{4}+8x+7\geq 2x^{2}+8x+6 =>\frac{x}{x^{4}+8x+7}\leq \frac{x}{2x^{2}+8x+6}\leq \frac{1}{4}\left (\frac{x}{2x^{2}+6}+\frac{x}{8x}\right)=\frac{1}{4}\left ( \frac{x}{2(x^{2}+3)}+\frac{1}{8} \right )=\frac{1}{4}\left ( \frac{x}{2(x+y)(x+z)}+\frac{1}{8} \right ) => P \leq \frac{1}{4}\left ( \sum \frac{x}{2(x+y)(x+z)}+\frac{3}{8} \right ).We have : \sum \frac{x}{(x+y)(x+z)}=\frac{2\sum xy}{(x+y)(y+z)(z+x)} \leq \frac{2\sum xy}{\frac{8}{9}(xy+yz+xz)(x+y+z)}\leq \frac{3}{4} =>P\leq 3/16 .The equality occurs when x=y=z=1$

Cho mình hỏi chút kết quả cuối cùng là P ≤ 3/16 chứ bạn nhỉ?

đúng r bạn ạ, mình gõ nhầm cảm ơn bạn nhé

Chứng minh rằng : Với mỗi số nguyên dương $n$, luôn tồn tại số nguyên dương $m$ sao cho $\phi(m)=n!$

$\Leftrightarrow \frac{a+ab^2 + b+ a^2b}{(a+b)^{2}(a+c)(b+c)}\leq \frac{1}{\sqrt{(c+a)(c+b)}}$

$\Leftrightarrow \left (\frac{ab+1}{(a+b)(b+c)(c+a)} \right )^{2}\leq \frac{1}{(c+a)(c+b)}$

$\Leftrightarrow (ab+1)^{2}\leq (a+b)(a+c)(b+a)(b+c)$

$\Leftrightarrow (ab+1)^{2}\leq (a^2+1)(b^2+1)$

Điều này luôn đúng 

Viết $\sqrt{2}=\overline{a_{o}a_{1}a_{2}...}$ với $a_{i} \in \left \{ 0,1,2...,9 \right \}$ . Chứng minh rằng trong các số từ $a_{1000000}$ đến $a_{2000000}$ có ít nhất 1 số khác $0$

Cho $p$ là 1 số nguyên tố lớn hơn 3 

$a)$ Tìm tất cả số nguyên $n$ thỏa mãn 

$n(n+1)...(n+p-3)\equiv 1 (\mod p)$

$b)$ Xác định số số nguyên dương $n \leq p^{2}$ thỏa mãn 

$n(n+1)...(n+p-3)\equiv 1 (\mod p^{2})$

Cho ba thức $f(x)=x^{2}-3x-7,g(x)=x^{2}-ax+2,h(x)=x^{2}+bx+c$ với $a,b,c$ là các số thực. Xét các phương trình sau 
$f(x)+g(x)=0 ;g(x)+h(x)=0;f(x)+h(x)=0$

Biết rằng mỗi cặp phương trình đều có 1 nghiệm thực chung và các nghiệm chung này đôi một khác nhau . Tìm tất cả giá trị của $c$

Tìm tất cả các số tự nhiên $a,b,c,d$ thỏa mãn $11^{a}.5^{b}=1+3^{c}.2^{d}$

Cho số nguyên dương $a$. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $b>a$ sao cho : 

$1+2^{a}+3^{a}\mid 1+2^{b}+3^{b}$

1/Tìm tất cả các số nguyên dương $(m;n)$ sao cho: $m\mid 2^{\varphi (n)}+1$ và $n\mid 2^{\varphi (m)}+1$

3/Tìm tất cả số nguyên dương $n$ để tồn tại duy nhất số nguyên dương $a$ sao cho : $n! \mid a^{n}-1$

4/ Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$, tồn tại số nguyên dương m sao cho : $n \mid 2^{m}+m$

5/ Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số nguyên dương $n$ thỏa mãn : $\varphi(n)<\varphi(n+1)<\varphi(n+2)$

6/ Giải phương trình nghiệm nguyên dương $(a;n;p)$ trong đó $p$ là số nguyên tố thỏa mãn : 

$a^{2}(a^{2}+1)=5^{n}(5^{n+1}-p^{3})$

Dễ thấy $m,n$ lẻ

Với $m=1 \Rightarrow n\in \left \{ 1;3 \right \}$. Ta có $3$ cặp $(1;1),(1;3),(3;1)$ thỏa mãn 
Xét $m,n\geq 3$, ta đặt: 

$m=\prod_{k=1}^{N}p_k^{a_k},n=\prod_{k=1}^{M}q_k^{b_k}$

Với $1\leq i\leq N,1\leq j\leq M$, ta có : 

$v_2(p_i-1)=\underset{1\leq k\leq N}{min} v_2(p_k-1)$

$v_2(q_j-1)=\underset{1\leq k\leq M}{min} v_2(q_k-1)$

Ta có : $m|2^{\varphi(n)}+1 \Rightarrow 2^{\varphi(n)}\equiv -1(\mod p_i^{a_i}) \Rightarrow 2^{2\varphi(n)}\equiv 1 (\mod p_i^{a_i})$

Đặt: $d_i=ord_{p_i^{a_i}}(2)$ thì ta được $d_i \nmid \varphi(n)$ và $d_i \mid 2\varphi(n)$

$\Rightarrow v_2(d_i)=v_2\left ( \varphi(n) \right )+1$

Lại có theo định lí Euler, ta thu được : $2^{\varphi(p_i^{a_i})}\equiv 1 (\mod p_i^{a_i})$

$\Rightarrow d_i \mid \varphi(p_i^{a_i})\Rightarrow d_i \mid p_i^{a_i -1}(p_i-1)$

$\Rightarrow v_2(d_i)\leq v_2(p_i -1)$

$\Rightarrow v_2(p_i -1)\geq 1+ v_2(\varphi(n))\geq 1+ v_2(q_j -1)$
Tương tự đối với $q_j^{b_j}$ ta có được $v_2(q_j -1)\geq 1+ v_2(p_i -1)$

Từ hai điều trên, ta suy ra điều mâu thuẫn. Như vậy, không tồn tại các giá trị $m,n\geq 3$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Tìm số nguyên dương $a,b$ thỏa $a^{4}+b^2$ chia hết cho $7^a -3^b$

Cho $a,b,c > 0$ thỏa mãn $a+b+c=3$

Chứng minh rằng 
$\sum \frac{1}{a^{2}+a} + \frac{9}{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c}}\geq \frac{9}{2}$

$(a+1)^{2} + \left (\frac{a^{2}}{a+1} +2 \right )^{2} = \left ( a+1 \right )^{2} + \left ( a+1 +\frac{1}{a+1} \right )^{2}$

Đặt x= a+1 ( x khác 0) 
$x^{2} + \left ( x+\frac{1}{x} \right )^{2} = 2x^{2} + \frac{1}{x^{2}} + 2 \geq 2\sqrt{2} + 2 $
Dấu bằng xảy ra khi $2x^{4}=1 <=> x^{2}=\sqrt{\frac{1}{2}} <=> x= \pm \sqrt[4]{\frac{1}{2}} <=> a=\pm \sqrt[4]{\frac{1}{2}}-1$

Tìm min $(a+1)^{2} + \left (\frac{a^{2}}{a+1} +2 \right )^{2}$ với x khác -1 

$a^{2}-a+1=\left ( a-\frac{1}{2} \right )^{2}+\frac{3}{4}$

$x=2a-1,y=2b-1,z=2c-1$

$P=\frac{32(x+y+z-1)}{\prod (x^{2}+3)}$

Ta đi chứng minh : $\left ( y^{2}+3 \right )(z^{2}+3)\geq 4\left ( 1+\frac{\left ( y+z+1 \right )^{2}}{3} \right )$

$\Leftrightarrow 3(y-z)^{2}+3(yz-1)^{2}+2(y+z-2)^{2}\geq 0$

$\Rightarrow \prod (x^2+3)\geq 4\left ( x^2+3 \right )\left ( 1+\frac{(y+z+1)^{2}}{3} \right )\geq 4(x+y+z+1)^{2}$

Đặt : $t=x+y+z+1$

$t<2 \Rightarrow P<0$

$t\geq 2$

$0\leq P\leq \frac{32(t-2)}{4t^{2}}=\frac{8}{t}-\frac{16}{t^{2}}=-\left ( \frac{4}{t}-1 \right )^{2}+1\leq 1$

Dấu $"="\Leftrightarrow a=b=c=1$

Cho a,b,c là các số thực không âm thay đổi thỏa mãn a+b+c=4. Tìm GTLN của P=$\sqrt{a^{3}b+b^{3}c+c^{3}a+abc^{2}}+\sqrt{ab^{3}+bc^{3}+ca^{3}+bca^{2}}$

$a,b,c \geq 0: \, a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc=4$.Tìm gtnn và gtln của  $P=3a+2b+c$

Cho $a,b,c \geq 0$ và không có 2 số nào đồng thời bằng $0$. Tìm GTLN
$\sum \frac{x^2}{5x^2 +(y+z)^2}$

Tìm bộ số nguyên dương $x,y,z$ thỏa mãn: $(x+y)^4+5z=63x$

Tìm các số nguyên dương $x,y$ thỏa mãn $2^{3^{x}}+1 =19.3^{y}$

Cho $\Delta ABC$, $(I_a)$ là đường tròn bàng tiếp góc $A$ của $\Delta ABC$. $(I_a)$ tiếp xúc với $BC,CA,AB$ tại $D,E,F$. $(AEF)$ cắt $BC$ tại $P,Q$. Gọi $M$ là trung điểm $AD$. Chứng minh $(I_a)$ tiếp xúc với $(MPQ)$

Bài 4:

Bình phương hai vế ta được bất đẳng thức cần CM như sau:

$\sum \sqrt{a^{2}+b^{2}}+2\sum \sqrt{(a+\sqrt{b^{2}+c^{2}})(b+\sqrt{c^{2}+a^{2}})} \geq 9\sqrt{2}+6$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta được:

$2\sum \sqrt{(a+\sqrt{b^{2}+c^{2}})(b+\sqrt{c^{2}+a^{2}})}\geq 2\sum \sqrt{\left(a+\frac{b+c}{\sqrt{2}}\right)\left(b+\frac{a+c}{\sqrt{2}}\right)}$

$\Leftrightarrow 2\sum \sqrt{(a+\sqrt{b^{2}+c^{2}})(b+\sqrt{c^{2}+a^{2}})}\geq\sqrt{2}\sum \sqrt{((\sqrt{2}-1)a+3)((\sqrt{2}-1)b+3)}$

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta được:

$2\sum \sqrt{(a+\sqrt{b^{2}+c^{2}})(b+\sqrt{c^{2}+a^{2}})}\geq\sqrt{2}\sum ((\sqrt{2}-1)\sqrt{ab}+3)$

hay $2\sum \sqrt{(a+\sqrt{b^{2}+c^{2}})(b+\sqrt{c^{2}+a^{2}})}\geq(2-\sqrt{2})\sum \sqrt{ab}+9\sqrt{2}$

Xét với $x,y\geq 0$ và ta sẽ chứng minh bất đẳng thức tổng quát sau:

$\sqrt{x^{4}+y^{4}}+(2-\sqrt{2})xy\geq x^{2}+y^{2}$

Xét hiệu:

$\sqrt{2}LHS-RHS$=$(x-y)^{2}\left(\frac{(x+y)^{2}}{\sqrt{2(x^{4}+y^{4})}+x^{2}+y^{2}}-\sqrt{2}+1\right)$

$\Leftrightarrow (x-y)^{2}\left(\frac{(x+y)^{2}}{\sqrt{2(x^{4}+y^{4})}+x^{2}+y^{2}}-\sqrt{2}+1\right)\geq (x-y)^{2}\left(\frac{(x+y)^{2}}{(\sqrt{2}+1)(x^{2}+y^{2})}-\sqrt{2}+1\right)= \frac{(\sqrt{2}-1)xy(x-y)^{2}}{x^{2}+y^{2}}\geq 0$

Với a,b,c ta sẽ chứng minh tương tự

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ $a=b=c=1$  

khúc cuối bị ngược dấu rồi bạn $\sqrt{2(x^4+y^4)}\geq x^2+y^2$

$\ 4C=4x+\frac{1}{x}+\frac{4x}{4x^{2}+4x+1}=4x+\frac{1}{x}+\frac{4}{4x+\frac{1}{x}+4}=4x+\frac{1}{x}+4+\frac{64}{4x+\frac{1}{x}+4}-\frac{60}{4x+\frac{1}{x}+4}-4\geq 16-\frac{60}{4+4}-4=12-7.5=4.5=>C\geq \frac{4.5}{4}$