Tìm tất cả các số tự nhiên $a,b,c,d$ thỏa mãn $11^{a}.5^{b}=1+3^{c}.2^{d}$

Tìm các cặp số nguyên dương $x,y$ thỏa mãn 

$125.2^{x}=271+3^{y}$

Giải : 

Dễ thấy $x\geq 3$ 

Với $x=3 \Rightarrow y=6$

Với $x> 3 \Rightarrow y> 6$

$125.2^{x}\vdots 1000 \Rightarrow 3^{y}\equiv 729 (\mod 1000) \Rightarrow y=6n (n> 1)$

$3^{y}+271\equiv 0 (\mod 16) \Rightarrow 3^{y}\equiv 1 (\mod 16) \Rightarrow y=4m (m>1)$

$\Rightarrow y=12l (l> 0)$

$\Rightarrow 3^{y}+271=3^{12l}+271= \left ( 3^{6l} \right )^{2}+271 \equiv 1+271 \left ( \mod 5 \right )$

Mà $VT\equiv 0 (\mod 5)$ $\Rightarrow$ mâu thuẫn 
Vậy $x=3,y=6$

Viết $\sqrt{2}=\overline{a_{o}a_{1}a_{2}...}$ với $a_{i} \in \left \{ 0,1,2...,9 \right \}$ . Chứng minh rằng trong các số từ $a_{1000000}$ đến $a_{2000000}$ có ít nhất 1 số khác $0$

Tìm tất cả các hàm số $f:N^{*}\rightarrow N^{*}$ thỏa mãn 
$gcd(x,f(y)).lcm(f(x),y)=gcd(x,y).lcm(f(x),f(y)); \forall x,y\in N^{*}$

Tìm tất cả hàm số $f:N^{*}\rightarrow N^{*}$ thỏa mãn : 

$x+f(y)\mid f(x)+xf(y) ; \forall x,y\in N^{*}$

Cho tam giác ABC có D thuộc phân giác góc A và nằm trong tam giác. Lấy E trên AC,F trên AB sao cho $\angle ADE=\angle DCB$ và $\angle ADF=\angle DBC.$ Trung trực BC cắt AC tại X. Gọi $O_1,O_2$ lần lượt là tâm (ACD) và (XDE). (AEF) cắt (ABC) tại G. Chứng minh: 

a) Tứ giác BFCE nội tiếp   

b) (DEF) tiếp xúc với (BCD)   

c) EF, BC, AG đồng quy   

d) GEBX nội tiếp   

e) AC, BG, PD đồng quy     

f) (PGA) tiếp xúc (PBC)       

g) $EF,O_1O_2,BC$ đồng quy

Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn $abc=1$ . Chứng minh $\left ( \frac{5}{2} +\frac{a}{b+1} \right )\left ( \frac{5}{2} +\frac{b}{c+1}\right )\left ( \frac{5}{2}+\frac{c}{b+1} \right )\geq 27$

$\Delta ABC$, biết rằng tồn tại $X$ trên $AB$ sao cho $2BX=BA+BC$. Lấy $Y$ đối xứng với tâm nội tiếp $I$ của $\Delta ABC$ qua $X$.

Gọi $L$ là tâm bàng tiếp ứng với đỉnh $B$ của $\Delta ABC$ . CMR $YL$ vuông góc với $BA$

Tìm tất cả các hàm số $f:N^{*}\rightarrow N^{*}$ thỏa mãn 

$f(a)+f(b)-ab \mid af(a)+bf(b); \forall a,b\in N^{*}$

Cho tam giác ABC nội tiếp (O), ngoại tiếp (I) . Gọi M,N là trung điểm CA,AB . Các điểm D,E thuộc CA,CB sao cho BD//IM , CE//IN .  Gọi K là giao điểm của AI với (O), L là giao của BC với đường thẳng qua K vuông góc AK . Chứng minh IL//DE

Đường tròn (O) nội tiếp tứ giác ABCD tiếp xúc với các cạnh AB,BC,CD,DA lần lượt tại E,F,G,H. Gọi I,J là trung điểm AC, BD. IB,ID,JA.JC theo thứ tự cắt EF,GH,HE,GF tại M,N,P,Q .

a) Chứng minh IJ, MN,PQ đồng quy tại S 
b) Các tia đối của tia JA,JB,JC,JD lần lượt cắt (O) tại A',B',C',D' . A'C', B'D' lần lượt cắt PQ,MN tại U,V . Gọi K là hình chiếu của S lên UV. Chứng minh góc AKB= góc CKD 

Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) , AB cắt CD tại E, AD cắt BC tại F , AC cắt BD tại G . Gọi M,N lần lượt là trung điểm AC,BD. Giả sử AC và BD cắt EF lần lượt tại P,Q. Gọi OK cắt EF tại L , MN giao EF tại H và GL cắt (O) tại S,T . Chứng minh rằng HS,HT tiếp xúc với (O)

Cho tam giác ABC nội tiếp (O) với AB<AC. Một đường tròn tâm (K) đi qua B,C cắt AC, AB lần lượt tại E,F. Gọi H là giao điểm của BE,CF. Gọi S là giao điểm của EF và BC. G là hình chiếu của S lên OH. Đường thẳng AK cắt (O) tại D. Chứng minh A,G,D,S cùng thuộc 1 đường tròn

Tìm các số nguyên dương $x,y$ thỏa mãn $2^{3^{x}}+1 =19.3^{y}$

Cho hàm số $f:Z\rightarrow N^{* }$ thỏa mãn $f(m-n)\mid f(m)-f(n); \forall m,n\in Z$

Chứng minh rằng : với $m,n\in Z$, nếu $f(m)\leq f(n)$ thì $f(m)\mid f(n)$

Cho tam giác ABC nội tiếp (O) với AB<AC. Một đường tròn tâm K đi qua B,C cắt AC,AB tại E,F. Gọi H là giao của BE và CF. S là giao điểm giữa EF và BC. Gọi G là hình chiếu của S lên OH. Đường thẳng AK cắt (O) tại D. CMR: A,G,D,S đồng viên

Cho tam giác ABC, P,Q là 2 điểm nằm trong tam giác ABC sao cho PQ//BC đồng thời BQ cắt CP tại R. Các đoạn thẳng AR và PQ cắt nhau tại S . (APQ) cắt CA,AB tại E,F . FP cắt QE tại T. Các đường thẳng qua S lần lượt song song với AB,AC thứ tự cắt FP,QE tại X,Y. Chứng minh (TXY) tiếp xúc với (APQ)

Cho $\Delta ABC$ vuông tại $A$ . Các điểm $M,N \in BC$ và các điểm $P,Q$ thứ tự $\in CA,AB$ sao cho $MNPQ$ là hình vuông. Gọi $K=BP\cap CQ$, gọi $H$ là hình chiếu của $K$ lên $BC$ . CMR $\left ( KBC \right )$ đi qua trung điểm $AH$

Cho số tự nhiên $n\geq 2$, xét các số dương $a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{2n}$ thỏa mãn 
$a_{1}a_{n+1}=a_{2}a_{n+2}=...=a_{n}a_{2n}=1$

Chứng mình rằng tồn tại $k,l$ sao cho $1\leq k< l\leq 2n$ thỏa mãn $\left | a_{k}-a_{l} \right |< \frac{1}{n-1}$

Cho tam giác ABC nội tiếp (O), tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại T. Trung trực CA,AB cắt đường thẳng qua T song song với OA tại E,F. Chứng minh AT đi qua trực tâm tam giác OEF

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi XY là một dây cung của đường tròn (O). Giả sử đường thẳng XY cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại P và Q. Gọi M, N, I, J theo thứ tự là trung điểm các đoạn BQ, CP, XY, PQ. Chứng minh rằng tứ giác MNIJ nội tiếp.

$\Delta ABC$ , các điểm $E,F$ thuộc $AC,AB$ sao cho $EF//AB$ . $P,Q$ thuộc $BC$ sao cho $\angle PAB=\angle QAC$. Gọi $M,N$ lần lượt là hình chiếu của $C,B$ lên $QE,PF$ . $(AME)$ cắt $(ANF)$ tại $R$. Chứng minh rằng $AR$ chia đôi $EF$

BN,CM lần lượt cắt (AFN), (AME) tại G,D. EF cắt (AME),(AFN) tại H,K . DH,GK cắt BC tại J,L .AR cắt EF tại I 
FG và ED lần lượt là đường kính của (AFN) và (AME) => DJ và GL vuông góc với BC 
Ta có : $BF.BA=BN.BG=BP.BL \Rightarrow PFAL$ nội tiếp , tương tự QEAJ nội tiếp 

=> FAP=FLP và EAQ=EJQ mà FAP=EAQ => FLP=EJQ => FLJ=EJL , lại có EF//JL => JFEL là hình thang cân => JF=EL => FH=EK 
Theo phương tích thì có : IE.IH=IA.IR=IF.IK 
=> IE/IK=IF/IH <=> EK/IK=HF/IH => IK=IH => IE=IF => đpcm 

$\Delta ABC$ nội tiếp $(O)$. Gọi $M,N$ là trung điểm $AB,AC$ , $E$ là điểm chính giữa của cung $BC$ ko chứa $A$ . $(AME)$ cắt trung trực $AC$ tại $P$ , $(ANE)$ cắt trung trực $AB$ tại $Q$, trong đó $P$ và $Q$ nằm trong $\Delta ABC$. $PQ \cap MN=\left \{ K \right \}$ . Chứng minh $KA=KE$

Cho tam giác ABC có tâm nội tiếp (I). (I) tiếp xúc BC,CA,AB tại D,E,F. EF cắt (ABC) tại P,Q. DQ cắt (ABC) tại H. Chứng minh AH vuông IP