Bài toán. Giải hệ phương trình sau $$\left\{\begin{matrix} x^{4}+y^{4}+2x^{2}y^{2}-2(x^{2}+y^{2})+1=0 \\ \sqrt{2xy^{2}+9x^{2}+x-4y+1}+\sqrt{2xy^{2}+4y^{2}+8y-5x+9}=\sqrt{-2xy^{2}+\left ( 3x+2y \right )^{2}+29x+20y+16} \end{matrix}\right.$$

Bài toán. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, kẻ $AH$ vuông góc với $BC$ ($H\in BC$). Đường thẳng song song với $BC$ cắt $AB$ và $AH$ lần lượt tại $D$ và $E$. Qua $D$ kẻ đường thẳng vuông góc với $AB$ cắt $CE$ tại $F$. Chứng minh rằng $BF$ vuông góc với $BC$.

Bài toán. Giải hệ phương trình $$\left\{\begin{matrix} \left | x-1 \right |+\left | x-2 \right |+...+\left | x-2016 \right |=2031120 & \\ x^{3}-3x+2=y\sqrt{y}+3y & \end{matrix}\right.$$

Bài toán. Cho $a$, $b$, $c$, $d$ là các số thực thỏa mãn $2a+b-ab-4=0$ và $2c-d+2=0$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}-2\left ( ac+bd \right )$.

Bài toán: Cho tam giác $ABC$ với $M$, $N$ là hai điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác đó. Giả sử góc giữa hai đường thẳng $AM$ và $AN$ bằng $\alpha$ $(0^\circ\leq \alpha\leq 90^\circ)$. Gọi $d$ và $\Delta$ là hai đường thẳng Simson loại hai tương ứng với các điểm $M$, $N$ và góc tạo bởi $BC$ với $MP$, với $MQ$ ($P$, $Q$ thuộc $BC$ đều bằng góc $\alpha$. Khi đó góc giữa hai đường thẳng $d$ và $\Delta$ bằng bao nhiêu?

Bài toán. Giải phương trình $16x^{5}-20x^{3}+5x-2013=0$.

Bài toán. Cho $P$ là điểm nằm trong tam giác $ABC$ sao cho $ \widehat{APB}-\widehat{ACB}=\widehat{APC}-\widehat{ABC}$. Gọi $D$, $E$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác $APB$, $APC$. Chứng minh rằng $AP$, $DB$, $CE$ đồng quy.

Bài toán: Giải phương trình: $\sqrt{x^{2}-x-2}+3\sqrt{x}=\sqrt{5x^{2}-4x-6}$.

Bài toán. Giải hệ phương trình:

$$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x-3}+\sqrt[3]{y-8}=1 \\ \dfrac{3x^{2}-xy}{10x-3y}=\sqrt{\dfrac{7x-3y}{x}} \end{matrix}\right.$$

Bài toán: Cho tam giác $OAB$ vuông tại $O$. Đặt $OA=a$ và $OB=b$. Gọi $M$ và $N$ là hai điểm di động trên các đường thẳng $OA$ và $OB$ sao cho $\dfrac{\overline{OM}}{\overline{OA}}+\dfrac{\overline{ON}}{\overline{OB}}=2$ ($M\neq A,N\neq B$). Tìm quỹ tích giao điểm $I$ của $AN$ và $BM$.

Phương trình $8x(1-2x^2)(8x^4-8x^2+1)=1$ có bao nhiêu nghiệm nằm trong khoảng $\left[0;1\right]$

Giải với trường hợp tổng quát rồi chọn nghiệm nhé.

Lời giải.

Với $x\geq 1$ thì $\text{VT}>1$ do đó phương trình vô nghiệm.

Với $x\leq -1$ thì $\text{VT}<0$ do đó phương trình vô nghiệm.

Với $\left | x \right |<1$ đặt $x=\cos t$ với $t\in \left [ 0;\pi \right ]$.

Khi đó phương trình trở thành:

$$8\cos t\left ( 2\cos ^{2}t-1 \right )\left ( 8\cos ^{4}t-8\cos ^{2}t+1 \right )=1$$

Có hai chuồng thỏ thí nghiệm :chuồng 1 có 12 thỏ trắng và 3 thỏ nâu ;chuồng 2 có 16 thỏ trắng và 4 thỏ nâu .Tình cờ một con thỏ từ chuồng 2 nhảy sang chuồng 1.Từ chuồng 1 người ta bắt ngẫu nhiên 1 con .tính xác xuất để thỏ bắt được là thỏ trắng

Hướng giải của mình như thế này không biết có đúng không nữa dạng này lần đầu gặp :-s

- Bước 1: Một con thỏ từ chuồng $2$ nhảy sang chuồng $1$ sẽ có hai khả năng xảy ra. Khả năng thứ nhất là chuồng $1$ có $13$ thỏ trắng và $3$ thỏ nâu. Khả năng thứ hai là chuồng $1$ có $12$ thỏ trắng và $4$ thỏ nâu.

- Bước 2: Bắt $1$ con từ chuồng $1$ thì ta có thể bắt ở khả năng thứ nhất hoặc khả năng thứ hai. Ở mỗi trường hợp ta cần tìm xác suất để thỏ bắt được là thỏ trắng.

Tóm lại đáp số mình tính được là:

$$\dfrac{16}{20}.\dfrac{13}{16}+\dfrac{4}{20}.\dfrac{12}{16}=\dfrac{4}{5}$$

Cho các số dương a,b,c thỏa mạn abc +1.Chứng minh:

 

$2(a^{2}+b^{2}+c^{2})+12\geq 3(a+b+c)+3(ab+bc+ca)$

Lời giải.

$$2\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )+12\geq 3\left ( a+b+c \right )+3\left ( ab+bc+ca \right )$$

Giải phương trình

$b)  sinx+2sin2x=3+sin3x$

$$\sin x+2\sin 2x=3+\sin 3x$$

$$\Leftrightarrow \sin x+2\sin 2x-\left ( 3\sin x-4\sin ^{3}x \right )=3$$

$$\Leftrightarrow 2\sin 2x-2\sin x+4\sin ^{3}x=3$$

$$\Leftrightarrow -2\sin x\left [ \left ( 1-2\sin ^{2}x \right )-\cos x \right ]=3$$

$$\Leftrightarrow -2\sin x\left ( \cos 2x-\cos x \right )=3$$

$$\Leftrightarrow 2\sin x\cos 2x-2\sin 2x=-3\qquad \left ( * \right )$$

$\left ( * \right )$ là phương trình bậc nhất với $\cos 2x$ và $\sin 2x$ nên suy ra:

$$2\sin ^{2}x+\left ( -1 \right )^{2}<\left ( -3 \right )^{2}$$

Nên phương trình vô nghiệm, tức là do không cùng điểm mút.

 

Bài toán: Cho hình bình hành ABCD, biết trực tâm BCD là $H(4;0)$, tâm đường tròn ngoại tiếp ABD là $I(2;\dfrac{3}{2})$. $B \in d: x=2y; x_B>0; M(0;5) \in BC$. Tìm tọa độ $A,B,C,D$

Lời giải.

Mấu chốt của bài này là thấy và chứng minh tứ giác $ABHD$ nội tiếp.

Ta có $DC$ vuông góc với $BH$, $DC$ song song với $AB$ nên $AB$ vuông góc với $BH$.

Tương tự ta có $AD$ vuông góc với $DH$.

Do đó tứ giác $ABHD$ nội tiếp.

Mặt khác $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABD$ nên $I$ cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABHD$.

Do đó ta có $IH=IB$.

Từ đây ta tìm được điểm $B$ và sau đó viết được phương trình đường thẳng $AB$ (qua $B$ và vuông góc với $BH$).

Tìm điểm $A$ bằng $IA=IB$

Từ $B$ và $M$ viết được phương trình $BC$ và lại dùng $IB=IC$ tìm được $C$.

Dùng vecto để tìm điểm $D$.

$2.$ Tìm hàm $f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ thoả mãn $f(f(m)+f(n))=m+n \forall m,n\in \mathbb{N}$

 

(nếu được thì mọi người có thể giải bằng cách khai thác tính chất của ánh xạ như đơn ánh, toàn ánh và song ánh giùm mình/ em cái ạ)

Bạn xem ở đây.

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm A(-1;-1) và đường tròn (T) có phương trình: $ (x-3)^{2}+(y-2)^{2}=25 $. Gọi B,C là hai điểm thuộc đường tròn (T) và khác điểm A. VIết phương trình đường thẳng BC biết I(1;1) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Gợi ý.

Để ý $A\in \left ( T \right )$ nên $\left ( T \right )$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Gọi $J$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Gọi $D$ là giao điểm của $AI$ với đường tròn $\left ( T \right )$ khi đó $D$ là điểm chính giữa cung $BC$ và $DJ$ vuông góc với $BC$.

Lấy $A'$ đối xứng với $A$ qua $J$.

Gọi $C$ có tọa độ $\left ( x;y \right )$ thì ta có $AJ=CJ$ và $AC$ vuông góc với $A'C$ từ đó tìm được $C$.

Viết phương trình $BC$ bằng điểm $C$ và $DJ$.

CMR nếu tổng bình phương của các cạnh đối diện của 1 tứ giác lồi bằng nhau thì 2 đường chéo của tứ giác vuông góc với nhau.

Đây là định lý Pythagoras mở rộng cho $4$ điểm hay còn gọi là định lý $4$ điểm, bạn xem thêm ở đây nhé.

Giúp mình 2 bài sau với !
1)
Cho $a+b+c=2010 và \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2010}$ .
CMR một trong 3 số a,b,c phải có 1 số = 2010
2)Cho p là tích n số nguyên tố đầu tiên . CMR P+1 không thể là số chính phương

Bạn đã gửi bài ở đây, mình xin phép khóa topic.

Bài toán: Chứng minh rằng nếu $x_{1}$ và $x_{2}$ là các nghiệm của phương trình $x^{2}-6x+1=0$ thì với mọi số nguyên $n$, số $x_{1}^{n}+x_{2}^{n}$ là một số nguyên không chia hết cho $5$.

Cho $\Delta ABC$ cân tại A có $\hat{BAC}=108^o$. Chứng minh : $\frac{BC}{AC}$ là số vô tỉ.
P/s : Mod xoá hộ em bài này, em post nhầm chỗ.

Bạn đã gửi chủ đề ở đây, xin phép khóa topic

Bạn đã post ở đây, chú ý tiêu đề, khóa topic.

cho $x^{2}+y^{2}=2$,chứng minh $-2\leq x+y\leq 2$ và $-1\leq xy\leq 1$

Lời giải.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:

$$\left ( x+y \right )^{2}\leq \left ( 1^{2}+1^{2} \right )\left ( x^{2}+y^{2} \right )=4$$

 

Giải PT:
$4x^{2} + 12 + \sqrt{x-1} = 4(x\sqrt{5x-1}+\sqrt{9-5x})$

Lời giải.

Điều kiện xác định $1\leq x\leq \frac{9}{5}$.

$4x^{2}+12+\sqrt{x-1}=4\left ( x\sqrt{5x-1}+\sqrt{9-5x} \right )$

Giải phương trình : $x^3+\frac{1}{x^3}=6(x+\frac{1}{x})$

Lời giải.

Điều kiện xác định: $x\neq 0$.

$$x^{3}+\dfrac{1}{x^{3}}=6\left ( x+\dfrac{1}{x} \right )$$