dùng phép lặp
có $\sqrt{2}=1.414213562......$
Đặt $\sqrt{2}=1.414213562+x$
Ta có phương trình
$x^2+2. 1,414213562.x+1,414213562^2-2=0$
Dùng phép lặp giải phương trình này để tìm chữ số thứ 18 sau dấu phảy.
ChuDong2008's Content
There have been 119 items by ChuDong2008 (Search limited from 04-06-2020)
#280064 Tìm chữ số thứ 18 sau dấu phẩy của $\sqrt{2}$ .
Posted by
on 25-10-2011 - 12:12
in
Số học
#389152 Tìm số nguyên tố $p$ để $4p+1$ là số chính phương?
Posted by
on 22-01-2013 - 21:45
in
Số học
Tìm số nguyên tố $p$ để $4p+1$ là số chính phương?
Có 4p+1 là 1 số chính phương lẻ nên $4p + 1 = 8k+1$ suy ra $p=2k$, p nguyên tố, suy ra p = 2.
#287551 CMR: $n(n+1)(n+2)(n+3)+1$ là số chính phương với mọi số nguyên dươn...
Posted by
on 10-12-2011 - 19:02
in
Số học
Các ban tổng quát luôn nhá:\Bài này dễ mà ank, còn có trong Toán Nâng Cao 8 của bác VŨ HỮU BÌNH mà
C/M với các số nguyên x;a ta có: $x(x+a)(x+2a)(x+3a)+a^4$ là số chính phương?
lặt vặt khó chịu!
#282495 Tìm x, y nguyên dương để $\dfrac{x^3+x}{xy-1}$ nguyên dương.
Posted by
on 10-11-2011 - 07:41
in
Số học
Tìm cặp số nguyên dương x, y sao cho $\dfrac{x^3+x}{xy-1}$ là số nguyên dương.
#286481 [CASIO] Tính 3 +33 + 333 +3333 + ... + 333...33333 ( 15 chữ số 3)
Posted by
on 04-12-2011 - 08:01
in
Các dạng toán khác
1. Đặt $g(x)=x^2.f(x)-1$.
Dễ thấy $g(x)=0,\forall x=\overline{1;2011}$
Mà g(x) có bậc là 2011 nên suy ra $g(x)=(x-1)(x-2)...(x-2011)$
\[ \Rightarrow f(x)=\dfrac{(x-1)(x-2)...(x-2011)+1}{x^2} \]
\[ \Rightarrow f\left( {2012} \right) = \frac{{2011! + 1}}{{{{2012}^2}}}\]
2. Công thức:
\[a + \overline {aa} + \overline {aaa} + ... + \underbrace {\overline {aa..aa} }_{n{\text{ chu so a}}} = a.\frac{{{{10}^{n + 1}} - 9n - 10}}{{81}}\]
3. Mình không hiểu đề lắm.
Đề bài là f(x) có bậc là 2009 mà Perfectstrong ?
#284818 [Toán 7] Số thập phân vô hạn tuần hoàn
Posted by
on 24-11-2011 - 10:02
in
Đại số
Có công thức đây:
Người ta chia số thập phân VHTH ra làm 2 loại: Đơn và Tạp
- Đơn là loai số tp mà ngay sau dấu phảy là chu kì. VD: 3,(651)
- Tạp là loại số TP mà sau dấu phảy chưa đến chu kì. VD: 1,234(56)
Cách chuyển đổi ra phân số
+ Số TPVHTH Đơn:$a,(bcde)=a+\dfrac{bcde}{9999}$
" tử là số trong chu kỳ, mẫu toàn là 9, số chữ số 9 bằng số chữ số trong chu kì."
+ Số TPVHTH tạp: $a,bc(defgh)=a+\dfrac{\overline{bcdefg}-\overline{bc}}{9999900}$
" Tử là số lập từ các chữ số sau dấu phẩy, mẫu toàn là 9, sau đó toàn là 0. Số chữ số 9 bằng số chữ số trong chu kì, số chữ số 0 bằng số chứ số đứng trước chu kì. "
Người ta chia số thập phân VHTH ra làm 2 loại: Đơn và Tạp
- Đơn là loai số tp mà ngay sau dấu phảy là chu kì. VD: 3,(651)
- Tạp là loại số TP mà sau dấu phảy chưa đến chu kì. VD: 1,234(56)
Cách chuyển đổi ra phân số
+ Số TPVHTH Đơn:$a,(bcde)=a+\dfrac{bcde}{9999}$
" tử là số trong chu kỳ, mẫu toàn là 9, số chữ số 9 bằng số chữ số trong chu kì."
+ Số TPVHTH tạp: $a,bc(defgh)=a+\dfrac{\overline{bcdefg}-\overline{bc}}{9999900}$
" Tử là số lập từ các chữ số sau dấu phẩy, mẫu toàn là 9, sau đó toàn là 0. Số chữ số 9 bằng số chữ số trong chu kì, số chữ số 0 bằng số chứ số đứng trước chu kì. "
#294406 Tìm số nguyên a lớn nhất sao cho $T=4^{27}+4^{1016}+4^{a}$ là số c...
Posted by
on 17-01-2012 - 22:33
in
Số học
Tìm số nguyên a lớn nhất sao cho $T=4^{27}+4^{1016}+4^{a}$ là số chính phương !
Nếu $x\geq 27$ thì $T=4^{27}(1+4^{989}+4^{a-27})$
Do $4^27$ chính phương nên T chính phương khi $1+4^{989}+4^{a-27}$ chính phương.
Đặt $1+4^{989}+4^{a-27}=n^2$
Có $ n^2 > 4^{a-27} = (2^{a-27})^2$ nên $ n^2 \geq (2^{a-27}+1)^2$
Suy ra $1+4^{989}+4^{a-27} \geq (2^{a-27}+1)^2 = (2^{a-27})^2+2^{a-26}+1 $
Vạy $4^{989} \geq 2^{a-26} $
HAy $ 989.2 \geq a-26 $
vậy $ a \leq 2004$
Thay a =2004 có $ T = 4^{27}+4^{1016}+4^{2004} = 4^{27}.(1+2^{1977})^2 $ là số chính phương.
Vậy a lớn nhất bằng 2004.
#286072 CMR $d: y = (m - 2)x + 2m - 1$ luôn đi qua một điểm cố định với mọi...
Posted by
on 01-12-2011 - 10:30
in
Đại số
Từ $ y = (m-2)x+2m-1$
ta có: $(x+2).m = y+2x+1(*)$
Giả sử có điểm K(x;y) mà đồ thị hàm số
$ y = (m-2)x+2m-1$ luôn đi qua với mọi m. Khi đó cặp số (x;y) phải thoả mãn (*) với mọi m.
Suy ra $(x+2) =0$ và $(y+2x+1) = 0$
vậy (x;y) = (-2;3);
Hay K(-2;3) là điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua.
ta có: $(x+2).m = y+2x+1(*)$
Giả sử có điểm K(x;y) mà đồ thị hàm số
$ y = (m-2)x+2m-1$ luôn đi qua với mọi m. Khi đó cặp số (x;y) phải thoả mãn (*) với mọi m.
Suy ra $(x+2) =0$ và $(y+2x+1) = 0$
vậy (x;y) = (-2;3);
Hay K(-2;3) là điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua.
#363090 Tìm số dư của phép chia $x^{100}$ cho $(x-1)^{2...
Posted by
on 19-10-2012 - 20:12
in
Đại số
Đặt $ x - 1 =t $ có $ x = t +1$
Suy ra: $ x^{100} = (t+1)^{100}$
Theo công thức khai triển nhị thúc Newton có:
$ (t+1)^{100} = 1^{100}+ 100.1^{99}.t + 100.99/2. t^2 + ......$ chia $t^2$ dư $1+100t$
vậy chia $x^{100}$ cho $(x-1)^{2}$ dư $100x - 99$
Suy ra: $ x^{100} = (t+1)^{100}$
Theo công thức khai triển nhị thúc Newton có:
$ (t+1)^{100} = 1^{100}+ 100.1^{99}.t + 100.99/2. t^2 + ......$ chia $t^2$ dư $1+100t$
vậy chia $x^{100}$ cho $(x-1)^{2}$ dư $100x - 99$
#280221 Cho $p,q$ là hai số nguyên tố lớn hơn $3$ và $p-q=2...
Posted by
on 26-10-2011 - 15:31
in
Số học
một số nguyên tố lớn hơn 3 được biểu diễn dưới dạng 6k+1 hoặc 6k - 1. Lập luận như trên có KQ.
#286525 Tìm p,q nguyên tố để $p^2+3pq+q^2$ chính phương.
Posted by
on 04-12-2011 - 14:25
in
Số học
Tìm p,q nguyên tố để $p^2+3pq+q^2$ chính phương.
#289886 Giải phương trình sau: $x^{4}+\sqrt{x^{2}+1999}=1999$
Posted by
on 24-12-2011 - 15:38
in
Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
Giải phương trình sau:
$x^{4}+\sqrt{x^{2}+1999}=1999$
Cộng thêm $x^2+ \dfrac{1}{4}$ vào 2 vế có:
$x^{4}+x^2+\dfrac{1}{4}=x^2+1999-\sqrt{x^{2}+1999}+\dfrac{1}{4}$
Hay $(x^2+\dfrac{1}{2})^2=(\sqrt{x^2+1999}-\dfrac{1}{2})^2;$
Giải tiếp có kết quả.
#284816 Tìm điều kiện để BCNE là hình thang cân
Posted by
on 24-11-2011 - 09:47
in
Hình học
Đề của bạn sai rồi? Nên xem kỹ trước khi gửi.
#285809 Chứng minh đường thẳng luôn đi qua 1 điểm cố định
Posted by
on 29-11-2011 - 20:27
in
Hình học
M ở đau vậy hả Chit_in?
#297691 Tìm giá trị nhỏ nhất $ sin ^{4} x + cos^{4} x $
Posted by
on 01-02-2012 - 17:08
in
Bất đẳng thức và cực trị
Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức: ( Lấy trên Violympic)
a) $ sin ^{4} x + cos^{4} x $;
b) $ sin ^{6} x + cos^{6} x $;
a) $ sin ^{4} x + cos^{4} x $;
b) $ sin ^{6} x + cos^{6} x $;
#286681 Cho $b^{2}-4ac$ và $b^{2}+4ac$ là số chính phuong. CMR...
Posted by
on 05-12-2011 - 19:08
in
Số học
Bạn ơi, tui nghĩ cho a,b,c là các số tự nhiên chứ.Nếu a,b,c là các số tự nhiên thì tui giải cho nè:
Đặt $b^{2}-4ac=x^{2};b^{2}+4ac=y^{2}\Rightarrow b^{2}-x^{2}=4ac(1);b^{2}-y^{2}=4ac(2)$.Ta có (1)-(2)=$y^{2}-x^{2}=(x+y)(x-y)=0\Rightarrow x-y=0,(x+y)=0\Rightarrow x=y=0.Suy ra abc=0\vdots 30.Đpcm$
P/s: Các bạn ơi!có j sai sót mog chỉ bảo nha
Cái (2) Sai
$ b^2 - y^2 = -4ac$
#315589 CMR: $\frac{10a}{1+a^{2}} + \frac{10b}{1+b^{2}} +\frac{1...
Posted by
on 10-05-2012 - 13:47
in
Bất đẳng thức và cực trị
Bài 4 Cho a,b,x,y là những số thực thỏa mãn
$\left\{\begin{matrix} & \frac{x^{4}}{a} +\frac{y^{4}}{b} &=\frac{1}{a+b} \\ & x^{2} +y^{2}&=1 \end{matrix}\right.$
Chứng minh rằng:
$\frac{x^{2012}}{a^{1006}}+\frac{y^{2012}}{y^{1006}}=\frac{2}{(a+b)^{1006}}$
Ta có: $ (x^2+y^2)^2 = 1$ nên $\frac{x^{4}}{a} +\frac{y^{4}}{b} = \frac{x^4+2x^2y^2+y^4}{a+b} $
Chuyển vế và quy đồng, khử mẫu ta được:
$(bx^2-ay^2)^2 = 0$
Suy ra: $ bx^2 = ay^2$ hay $\frac{x^2}{a}=\frac{y^2}{b}=\frac{x^2 +y^2}{a+b}=\frac{1}{a+b}$
Suy ra:
$\frac{x^{2012}}{a^{1006}}=\frac{y^{2012}}{y^{1006}}=\frac{1}{(a+b)^{1006}}$
Suy ra ĐPCM.
$\left\{\begin{matrix} & \frac{x^{4}}{a} +\frac{y^{4}}{b} &=\frac{1}{a+b} \\ & x^{2} +y^{2}&=1 \end{matrix}\right.$
Chứng minh rằng:
$\frac{x^{2012}}{a^{1006}}+\frac{y^{2012}}{y^{1006}}=\frac{2}{(a+b)^{1006}}$
Ta có: $ (x^2+y^2)^2 = 1$ nên $\frac{x^{4}}{a} +\frac{y^{4}}{b} = \frac{x^4+2x^2y^2+y^4}{a+b} $
Chuyển vế và quy đồng, khử mẫu ta được:
$(bx^2-ay^2)^2 = 0$
Suy ra: $ bx^2 = ay^2$ hay $\frac{x^2}{a}=\frac{y^2}{b}=\frac{x^2 +y^2}{a+b}=\frac{1}{a+b}$
Suy ra:
$\frac{x^{2012}}{a^{1006}}=\frac{y^{2012}}{y^{1006}}=\frac{1}{(a+b)^{1006}}$
Suy ra ĐPCM.
#294425 Tìm cặp số (x;y) nguyên dương nghiệm đúng: $ 3x^5 - 19(72x-y)^2 = 240677...
Posted by
on 18-01-2012 - 07:15
in
Số học
Giải phương trình nghiệm nguyên dương:
$ 3x^5 - 19(72x-y)^2 = 240677 $
$ 3x^5 - 19(72x-y)^2 = 240677 $
#285806 Cho (O;5dm); OM=3dm.TÍnh độ dài dây dài nhất và dây ngắn nhất đi qua M
Posted by
on 29-11-2011 - 20:22
in
Hình học
1. Gọi dây đi qua M là AB. Kẻ OH vuông góc AB tại H.
Có $ AB \leq 2R = 10 $ (1)
và $ OM \geq OH $ quan hệ đường vuông góc và đường xiên.
vậy OH có giá trị lớn nhất bằng OM, khi đó độ dài dây AB nhỏ nhất = 8dm (liên hệ dây cung và khoảng cách đến tâm)
....... Từ đó suy ra kết quả.
2. Kẻ đường cao CG, hạ ME vuông góc với AB tại E.
Do ME = 8, nên CG = 10( tính chất đường trung bình tam giác)
Xét tam giác ACG vuông tại G, áp dụng định lý Pitago có kết quả AG = 12. Từ đó suy ra G là trung điểm của AB, nên CG vừa là đường cao, vừa là trung tuyến. Vậy tam giác ACB cân tại C.
Có $ AB \leq 2R = 10 $ (1)
và $ OM \geq OH $ quan hệ đường vuông góc và đường xiên.
vậy OH có giá trị lớn nhất bằng OM, khi đó độ dài dây AB nhỏ nhất = 8dm (liên hệ dây cung và khoảng cách đến tâm)
....... Từ đó suy ra kết quả.
2. Kẻ đường cao CG, hạ ME vuông góc với AB tại E.
Do ME = 8, nên CG = 10( tính chất đường trung bình tam giác)
Xét tam giác ACG vuông tại G, áp dụng định lý Pitago có kết quả AG = 12. Từ đó suy ra G là trung điểm của AB, nên CG vừa là đường cao, vừa là trung tuyến. Vậy tam giác ACB cân tại C.
#285313 Tìm $x,y$ thỏa $|x-1|+|x-2|+|y-3|+|x-4|=3$
Posted by
on 26-11-2011 - 22:31
in
Đại số
Ta có $|x-1|+|x-4|=|x-1|+|4-x| \geq 3$ với $1 \leq x \leq 4$.Tìm $x,y,z$ thỏa mãn :
$|x-1|+|x-2|+|y-3|+|x-4|=3$
Từ đó suy ra $|x-1|+|x-2|+|y-3|+|x-4|=3$ chỉ khi:
$|x-2|=0$ và $|y-3|=0$
Suy ra $x = 2$ và $y = 3$ thoả mãn.
---------------------------------------------------
MOD: Bạn gõ dấu lớn hơn hoặc bằng là
$\ge$và dấu bé hơn hoặc bằng là
S\le$
#278701 Số chính phương thi HSG
Posted by
on 12-10-2011 - 20:20
in
Số học
1. Tìm các số nguyên dương x và y để: $x^2+8y$ và $y^2+8x$ đều là số chính phương.
2. Tìm các số nguyên x để:
$x^4+2x^3+2x^2+x+5$
là số chính phương.
2. Tìm các số nguyên x để:
$x^4+2x^3+2x^2+x+5$
là số chính phương.
#278888 Số chính phương thi HSG
Posted by
on 13-10-2011 - 20:29
in
Số học
Ta có: $x^4+2x^3+x^2+x^2+x+5=(x^2+x)^2+(x^2+x)+5$
Đặt $x^2+x=t$
có $t^2+t+5=k^2;$
suy ra: $4t^2+4t+1-4k^2=-19$
hay: $(2t+2k+1)(2t-2k+1)=-19$
giải tiếp ta có kết quả.
Giả sử x $\geq$ y
Khi đó: $x^2< x^2+8y\leq x^2+8x< x^2+8x+16$ = $ (x+4)^2 $
Suy ra: $x^2+8y=(x+1)^2$ Hoặc $x^2+8y=(x+2)^2$ hoặc $x^2+8y=(x+3)^2$
. Nếu $x^2+8y=(x+1)^2$ thì $8y=2x+1$ (lại vì VT chẵn, VT lẻ)
. Nếu $x^2+8y=(x+3)^2$ thì $8y=6x+9$ (lại vì VT chẵn, VT lẻ)
. Nếu $x^2+8y=(x+2)^2$ thì: $8y=4x+4 \Rightarrow 2y=x+1\Rightarrow$ x lẻ,
đặt x = 2k + 1. Khi đó y=k+1.
Ta có: $y^2+8x=(k+1)^2+8(2k+1)=k^2+18k+9=$
= $(k+9)^2-72=m^2, m\in Z$
Khi đó: $(k+9+m)(k+9-m)=72$
Giải tiếp ta có kết quả.
Trường hợp x < y, lấy hoán vị các kết quả tìm đc ở trên.
Đặt $x^2+x=t$
có $t^2+t+5=k^2;$
suy ra: $4t^2+4t+1-4k^2=-19$
hay: $(2t+2k+1)(2t-2k+1)=-19$
giải tiếp ta có kết quả.
Giả sử x $\geq$ y
Khi đó: $x^2< x^2+8y\leq x^2+8x< x^2+8x+16$ = $ (x+4)^2 $
Suy ra: $x^2+8y=(x+1)^2$ Hoặc $x^2+8y=(x+2)^2$ hoặc $x^2+8y=(x+3)^2$
. Nếu $x^2+8y=(x+1)^2$ thì $8y=2x+1$ (lại vì VT chẵn, VT lẻ)
. Nếu $x^2+8y=(x+3)^2$ thì $8y=6x+9$ (lại vì VT chẵn, VT lẻ)
. Nếu $x^2+8y=(x+2)^2$ thì: $8y=4x+4 \Rightarrow 2y=x+1\Rightarrow$ x lẻ,
đặt x = 2k + 1. Khi đó y=k+1.
Ta có: $y^2+8x=(k+1)^2+8(2k+1)=k^2+18k+9=$
= $(k+9)^2-72=m^2, m\in Z$
Khi đó: $(k+9+m)(k+9-m)=72$
Giải tiếp ta có kết quả.
Trường hợp x < y, lấy hoán vị các kết quả tìm đc ở trên.
#286114 CM:$\dfrac{BF}{CE}=\dfrac{AB^{3}}{AC^{3}}$
Posted by
on 01-12-2011 - 15:25
in
Hình học
Đặt $\widehat{ACB}=\alpha$
Khi đó $\widehat{ACB}=\widehat{BDF}=\widehat{FED}=\alpha$
và $ \frac{AB}{AC}=tan\alpha$
Ta viết: $\frac{BF}{CE}=\frac{BF}{FD}.\frac{FD}{ED}.\frac{ED}{EC}=tan\alpha.tan\alpha.tan\alpha=(tan\alpha)^3$
Suy ra ĐPCM
Khi đó $\widehat{ACB}=\widehat{BDF}=\widehat{FED}=\alpha$
và $ \frac{AB}{AC}=tan\alpha$
Ta viết: $\frac{BF}{CE}=\frac{BF}{FD}.\frac{FD}{ED}.\frac{ED}{EC}=tan\alpha.tan\alpha.tan\alpha=(tan\alpha)^3$
Suy ra ĐPCM
#293922 tính BC biết AB=5cm, IC= 6cm
Posted by
on 14-01-2012 - 23:05
in
Hình học
Cho tam giác ABC vuông tại A, gọi I là giao điểm của 3 đường phân giác . Biết AB = 5cm, IC = 6cm.Tính BC?
Do I là giao của 3 đường phân giác trong tam giác nên I là tâm đường tròn nội tiếp. Gọi tiếp đ của (I) với AB, AC, BC lần lượt là M,N,P.
Đặt AN = x, NC = y. Sử dụng tính chất tiếp tuyến cắt nhau có BP = 5-x; CP = y;
Khi đó: $ x^2+y^2 = 36$ và $ 5^2+(x+y)^2 = (5-x+y)^2$
Khai triển đẳng thức thứ hai có $ -2xy = 5(x-y)$, suy ra x < y.
Kết hợp $ x^2+y^2 = 36$ có: $(x-y)^2-5(x-y)-36=0$, suy ra x-y = -4.
Khi đó $BC = 5-x+y = 9$.
#501847 CMR: AO vuông góc với ED
Posted by
on 26-05-2014 - 21:36
in
Hình học
Gọi I, K thứ tự là các điểm đối xứng của trực tâm H của tam giác ABC qua các cạnh AB, AC.
Có I, K thuộc (O) và DE là đường trung bình của tam giác HIK $\Rightarrow DE//IK$.
Có tứ giác BCDE nội tiếp, suy ra $\measuredangle DBE=\measuredangle DCE$
Xét (O), có $\measuredangle DBE=\measuredangle DCE$, suy ra 2 cung AI; AK bằng nhau.
suy ra OA vuông góc với IK. suy ra OA vuông góc với DE.
