c) $ab+bc+ca=3$.CMR:

$\frac{1}{1+a^2(b+c)}+\frac{1}{1+b^2(c+a)}+\frac{1}{1+c^2(a+b)}\leq \frac{1}{abc}$

BĐT $\Leftrightarrow \sum \frac{abc}{1+a^2(b+c)}\leqslant 1$

Áp dung AM-GM ta có $3=ab+bc+ca\geqslant 3\sqrt[3]{(abc)^2}\Rightarrow abc\leqslant 1$

Khi đó $\frac{abc}{1+a^2(b+c)}=\frac{abc}{1+a(3-bc)}=\frac{abc}{3a+1-abc}\leqslant \frac{bc}{3}$

Tương tự 2 bất đẳng thức còn lại rồi cộng vào ta được

          $\sum \frac{abc}{1+a^2(b+c)} \leqslant \frac{bc+ab+ca}{3}=1$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$

Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa

a) a+b+c=3. Chứng minh rằng:

$\frac{a^3}{a+bc}+\frac{b^3}{b+ca}+\frac{c^3}{c+ab}\geq \frac{3}{2}$

b) $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=4$. CMR:

$\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\leq 1$

 

a, Áp dụng AM-GM ta có

             $\frac{a^3}{a+bc}+\frac{a+bc}{4}+\frac{a+bc}{4}\geqslant \frac{3a}{2}$

             $\frac{b^3}{b+ac}+\frac{b+ac}{4}+\frac{b+ac}{4}\geqslant \frac{3b}{2}$

             $\frac{c^3}{c+ab}+\frac{c+ab}{4}+\frac{c+ab}{4}\geqslant \frac{3c}{2}$

Cộng 3 bất đẳng thức lại, để ý $ab+bc+ca \leqslant \frac{(a+b+c)^2}{3}=3$, ta có ngay

             $\sum \frac{a^3}{a+bc}\geqslant a+b+c-\frac{ab+bc+ca}{2}\geqslant \frac{3}{2}$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$

b, Sử dụng $\frac{16}{2x+y+z}\leqslant \frac{2}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$

Tương tự 2 bất đẳng thức còn lại ta có ngay đpcm

Cho $x, $y, $z $> 0. CMR

$\frac{2x^2+xy}{y+\sqrt{zx}+z}+\frac{2y^2+yz}{z+\sqrt{xy}+x}+\frac{2z^2+zx}{x+\sqrt{yz}+y}\geq 1$

BĐT không đồng bậc không có điều kiện ắt sẽ có vấn đề.

Có thể cho $x=y=z=\frac{1}{4}$ bất đẳng thức sai 

Giải phương trình: $$5^{x+1}-5^x=2^{x+1}+2^{x+3}$$

Phương trình tương đương với 

                 $4.5^x=9.2^x\Leftrightarrow \frac{4}{9}=(\frac{2}{5})^x$

$\Rightarrow x= \log _\frac{2}{5}\frac{4}{9}$

 Cho a, b, c dương thoả mãn $a+b+c=1$;CMR

 

$\left( {a + \frac{1}{b}} \right)\left( {b + \frac{1}{c}} \right)\left( {c + \frac{1}{a}} \right) \ge {\left( {\frac{{10}}{3}} \right)^3}$

Xét $a+\frac{1}{b}=a+\frac{1}{9b}+\frac{1}{9b}+...+\frac{1}{9b}\geqslant 10\sqrt[10]{\frac{a}{(9b)^9}}$

Tương tự $b+\frac{1}{c}=b+\frac{1}{9c}+\frac{1}{9c}+...+\frac{1}{9c}\geqslant 10\sqrt[10]{\frac{b}{(9c)^9}}$

                $c+\frac{1}{a}=c+\frac{1}{9a}+\frac{1}{9a}+...+\frac{1}{9a}\geqslant 10\sqrt[10]{\frac{c}{(9a)^9}}$

$\Rightarrow \prod (a+\frac{1}{b})\geqslant 10^3\sqrt[10]{\frac{abc}{(9a.9b.9c)^9}}=10^3\sqrt[10]{\frac{1}{9^{27}(abc)^8}}$

Sử dụng AM-GM ta có $abc\leqslant \frac{(a+b+c)^3}{27}=\frac{1}{27}$ ta có ngay đpcm

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

$\left\{\begin{matrix} log_{2}\sqrt{x+y)}=3log_{8}(\sqrt{x-y}+2)\\ \sqrt{x^{2}+y^{2}+1}-\sqrt{x^{2}-y^{2}}=3 \end{matrix}\right.$

Phương trình đầu tiên tương đương với 

                          $\sqrt{x+2}=\sqrt{x-y}+2$

Đặt $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+y}=a\\\sqrt{x-y}=b \end{matrix}\right.\Rightarrow x^2+y^2=\frac{a^4+b^4}{2}$

Hệ phương trình đã cho trở thành

                   $\left\{\begin{matrix} a=b+2\\\sqrt{\frac{a^4+b^4}{2}+1}=ab+3 \end{matrix}\right.$

           $\Rightarrow \frac{a^4+b^4+2}{2}=(ab+3)^2$

Thay $a=b+2$ vào ta được $(b+2)^4+b^4+2=2\left [ (b+2)^2.b^2+6(b+2).b+9 \right ]$

                             $\Rightarrow b=0\Rightarrow a=2$

                             $\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt{x+y}=2\\\sqrt{x-y}=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=2$

Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a^2 + b^2 +c^2 =1$. Chứng minh:

 

$\frac{1}{1-ab}+\frac{1}{1-bc}+ \frac{1}{1-ac}\leq \frac{9}{2}$

Tham khải tại đây

Cho $a,b,c>0$ & $a^2+b^2+c^2=1$. CMR:

 

$T=\frac{a}{b^2+c^2}+\frac{b}{c^2+a^2}+\frac{c}{a^2+b^2}\leq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

BĐT bị ngược dấu rồi

Ta có $\frac{a}{b^2+c^2}=\frac{a}{1-a^2}\geqslant \frac{3\sqrt{3}a^2}{2}$

Tương tự 2 bất đẳng thức còn lại rồi cộng vào ta có

                     $\sum \frac{a}{b^2+c^2} \geqslant \sum \frac{3\sqrt{3}a^2}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Ta lại có: $\frac{1}{x^4+7x^2+1} \geq \frac{1}{x^2+x+1}$ <=> $2x(x-1)^2 \geq 0$ (đúng)

Xem lại chỗ này 

Cho $x,y,z>0; xyz=1$

Chứng minh rằng : $\frac{x}{x^2+2}+\frac{y}{y^2+2}+\frac{z}{z^2+2}\leq 1$

Đã có ở đây

Giải bất phương trình: $$3^{x+1}+5^{x+2}\geq3^{x+2}+5^{x+1}$$

BPT $\Leftrightarrow 5^{x+2}-5^{x+1}\geqslant 3^{x+2}-3^{x+1}$

        $\Leftrightarrow 4.5^{x+1}\geqslant 2.3^{x+1}$

        $\Leftrightarrow 2\geqslant (\frac{3}{5})^{x+1}$

        $\Leftrightarrow x \leqslant \log_\frac{3}{5}2-1$

Kết luận : 

Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng

              $\frac{a}{\sqrt{a^2+7ab+b^2}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+7bc+c^2}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+7ca+a^2}}\geqslant 1$

Cho x là số thực dương và y là số thực tùy ý. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức $A=\frac{xy^{2}}{(x^{2}+3y^{2})(x+\sqrt{x^{2}+12y^{2}})}$

Bài này dùng kiến thức THCS thật khó để đánh giá $A$, khi lên THPT có thể dùng đạo hàm

Tham khảo cách đạo hàm tại đây

Cho $a,b,c>0$ đôi một khác nhau

Chứng minh rằng $\frac{a^4(a-b-c)}{bc(a-b)(a-c)}+\frac{b^4(b-a-c)}{ca(b-a)(b-c)}+\frac{c^4(c-a-b)}{(c-a)(c-b)}>0$

P/S: Đề thi giữa kì trường mình và nói thật mình không đủ thời gian để làm bài này, huhu

2.$\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}+\frac{2xy}{x+y}=1\\ \sqrt{x+y}=x^{2}-y \end{matrix}\right.$

ĐK : $x+y>0$

Phương trình đâu tương đương với $(x+y)^2-1+\frac{2xy}{x+y}-2xy=0\Leftrightarrow (x+y-1)(x^2+y^2+x+y)=0$

TH1: $x+y-1=0$

Khi đó thay vào phương trình 2 ta được 

                   $1=x^2-(1-x)\Leftrightarrow x=1,x=-2\Rightarrow y=0,y=3$

TH2: $x^2+y^2+x+y=0$ vô nghiệm

Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm $(x,y)=(1,0)=(-2,3)$

Bài 1: Cho các số thực a,b,c không âm. Chứng minh:

$4(\sqrt{a^{3}b^{3}}+\sqrt{b^{3}c^{3}}+\sqrt{c^{3}a^{3}})\geq 4c^{3}+(a+b)^{3}$

Bài 2: Cho các số thực dương x;y. Chứng minh:

c,     $\frac{a}{\sqrt{4a+5b}}+\frac{2b}{\sqrt{4b^{2}+5ab}}\leq 1$

d,     $\frac{a^{2}}{2b}+\frac{2b^{2}}{a+b}\geq \frac{3}{2}\sqrt{\frac{a^{3}+2b^{3}}{a+2b}}$

Bài 3: Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh:

$a^{2}b(a-b)+b^{2}c(b-c)+c^{2}a(c-a)\geq 0$

Bài 1: Có vẻ không ổn lắm khi cho $a=b=0$ và $c=1$

Bài 2: câu c có thể tham khảo tại đây

          câu d: Đặt $b=c$, bất đẳng thức đã cho trở thành

               $\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\geqslant \frac{3}{2}\sqrt{\frac{a^3+b^3+c^3}{a+b+c}}$

Đến đây ta có 1 bất đẳng thức mạnh hơn như sau 

               $\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\geqslant \frac{3}{2}.\frac{a^3+b^3+c^3}{a^2+b^2+c^2}$

  $\Leftrightarrow \frac{a^2}{b+c}-\frac{a}{2}+\frac{b^2}{a+c}-\frac{b}{2}+\frac{c^2}{a+b}-\frac{c}{2}\geqslant \frac{3}{2}.\frac{a^3+b^3+c^3}{a^2+b^2+c^2}-\frac{a+b+c}{2}$

 $\Leftrightarrow \sum \frac{a(a-b)+a(a-c)}{b+c}\geqslant \frac{\sum a^2\left [ (a-b)+(a-c) \right ]}{a^2+b^2+c^2}$

 $\Leftrightarrow \sum (a-b)(\frac{a}{b+c}-\frac{b}{c+a})\geqslant \frac{\sum (a-b)(a^2-b^2)}{a^2+b^2+c^2}$

 $\Leftrightarrow \sum (a-b)\frac{(a^2-b^2)+c(a-b)}{(a+c)(b+c)}\geqslant \frac{\sum (a-b)(a^2-b^2)}{a^2+b^2+c^2}$

 $\Leftrightarrow \sum (a-b)^2\left [ \frac{a+b+c}{(a+b)(b+c)}-\frac{a+b}{a^2+b^2+c^2} \right ]\geqslant 0$

Rõ ràng bất đẳng thức trên luôn đúng

Do đó ta chỉ cần chứng minh $\frac{3}{2}.\frac{a^3+b^3+c^3}{a^2+b^2+c^2}\geqslant \frac{3}{2}\sqrt{\frac{a^3+b^3+c^3}{a+b+c}}$

                           $\Leftrightarrow (a^3+b^3+c^3)(a+b+c)\geqslant (a^2+b^2+c^2)^2$

Nhưng bất đẳng thức trên cũng luôn đúng theo Cauchy-Schwarzt

Vậy ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$ hay $a=b$

Bài 3: Tham khảo tại đây

Cho a,b,c>0 và a+b+c=3.CMR:

  $\sum a\sqrt{\frac{b+c}{a^{2}+bc}}\leq \frac{3}{abc}$

Tham khảo tại đây

cho xyz=1 $\frac{x}{x^2+2}+\frac{y}{y^2+2}+\frac{z}{z^2+2}\leq 1$

Áp dụng AM-GM ta có 

                     $\frac{x}{x^2+2}\leqslant \frac{x}{2x+1}=\frac{1}{2}-\frac{1}{4x+2}$

$\Rightarrow \sum \frac{x}{x^2+1}\leqslant \frac{3}{2}-(\frac{1}{4x+2}+\frac{1}{4y+2}+\frac{1}{4z+2})$

Do đó ta chỉ cần chứng minh $\frac{1}{4x+2}+\frac{1}{4y+2}+\frac{1}{4z+2}\geqslant \frac{1}{2}$

                        $\Leftrightarrow \frac{1}{2x+1}+\frac{1}{2y+1}+\frac{1}{2z+1}\geqslant 1$

Đặt $(x,y,z)=(\frac{a}{b},\frac{b}{c},\frac{c}{a})\Rightarrow \frac{1}{2x+1}=\frac{1}{\frac{2a}{b}+1}=\frac{b}{2a+b}=\frac{b^2}{2ab+b^2}$

$\Rightarrow \sum \frac{1}{2x+1}=\sum \frac{b^2}{2ab+b^2}$

Áp dụng Cauchy-Schwarzt ta có ngay

                $\Rightarrow \sum \frac{1}{2x+1}=\sum \frac{b^2}{2ab+b^2}\geqslant \frac{(a+b+c)^2}{2ab+b^2+2bc+c^2+2ca+a^2}=1$

Vậy ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=1$

 

Góp vui:Chứng minh rằng:

$\frac{27}{4}(x+y)(y+z)(z+x)\geq (\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+{\sqrt{z+x}})^{2}$

 với mọi $x,y,z> 0;xy+yz+zx=1$

Sử dụng bất đảng thức cơ bản sau $(x+y)(y+z)(z+x)\geqslant \frac{8}{9}(x+y+z)(xy+yz+zx)=\frac{8}{9}(x+y+z)$

               $\Rightarrow \frac{27}{4}(x+y)(y+z)(z+x)\geqslant 6(x+y+z)$

Do đó ta chỉ cần chứng minh $6(x+y+z)\geqslant (\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x})^2$

Chuyển $(\sqrt{x+y},...)\rightarrow (a,b,c)$, ta được bất đằng thức tương đương

                       $3(a^2+b^2+c^2) \geqslant (a+b+c)^2$

Vậy ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Cho các số dương $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+1=z$

Tìm giá trị lớn nhất của :

$$P=\frac{x^{3}y^{3}}{(x+yz)(y+zx)(z+xy)^2}$$

Ta có $P=\frac{x^3y^3}{\left [ 2a+b(a+b+2) \right ]\left [ 2b+a(a+b+2) \right ]\left [ 2(a+b+2)+ab \right ]^2}$

$\Rightarrow P=\frac{a^3b^3}{(2+b)(a+b)(2+a)(a+b)\left [ (2+a)(2+b) \right ]^2}=\frac{a^3b^3}{(2+a)^3(2+b)^3(a+b)^2}$

Áp dụng AM-GM ta có $(a+b)^2 \geqslant 4ab$

$\Rightarrow P\leqslant \frac{a^2b^2}{4(2+a)^3(2+b)^3}$

$\Rightarrow 4P\leqslant \frac{a^2b^2}{(2+a)^3(2+b)^3}$

Áp dụng tiếp AM-GM ta có 

          $(2+a)(2+b)\geqslant (2+\sqrt{ab})^2=(2+\frac{\sqrt{ab}}{2}+\frac{\sqrt{ab}}{2})^2\geqslant \left [ 3\sqrt[3]{\frac{ab}{2}} \right ]^2=9\sqrt[3]{\frac{a^2b^2}{4}}$

$\Rightarrow (2+a)^3(2+b)^3\geqslant \frac{729a^2b^2}{4}$

$\Rightarrow 4P\leqslant \frac{a^2b^2}{\frac{729a^2b^2}{4}}\Rightarrow P\leqslant \frac{1}{729}$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=4, c=10$

Cho các số dương $x_1,x_2,...x_n$ thỏa mãn $\frac{1}{1+x_1}+\frac{1}{1+x_2}+...+\frac{1}{1+x_n}=1$

Chứng minh rằng $\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}+...+\sqrt{x_n}\geqslant (n-1)(\frac{1}{\sqrt{x_1}}+\frac{1}{\sqrt{x_2}}+...+\frac{1}{\sqrt{x_n}})$

cho x,x>0 thoả mãn x+y+xy=3

 

tìm min A = $(x^{3}+1)(x^{3}+1)+\frac{xy}{x+y}$

Dễ thấy $A=x^3y^3+x^3+y^3+1+\frac{xy}{x+y}=x^3y^3+(x+y)^3-3xy(x+y)+1+\frac{xy}{x+y}$

Đặt $t=x+y\Rightarrow xy=3-t$

       $\Rightarrow A=(3-t)^3+t^3-3t(3-t)+1+\frac{3-t}{t}$

       $\Rightarrow A=f(t)=12t^2-36t+27+\frac{3}{t}$

Từ giả thiết ta có $3=x+y+xy\leqslant x+y+\frac{(x+y)^2}{4}\Rightarrow t=x+y\geqslant 2$

Xét $f'(t)=24t-36-\frac{3}{t^2}>0$

      $\Rightarrow f(t) \geqslant f(2)=\frac{4}{2}$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=1$

Giải hệ phương trình 

                        $\left\{\begin{matrix} (x-3)(x^2+y^2)+x+3y=0\\x^2y+y^3+3x-y=0 \end{matrix}\right.$

Giải hệ phương trình sau : 

           $\left\{\begin{matrix} x^2+y^2=3x-4y+1\\3x^2(x^2+9)-2y^2(y^2+9)=18(x^3+y^3)-2y^2(7-y)+3 \end{matrix}\right.$

Giải hệ phương trình sau 

                     $\left\{\begin{matrix} 5x^3-x^2-2xy(x+y)-2xy=0\\2x^2-2xy(x+y)+y^2=0 \end{matrix}\right.$