Lâu lâu không oánh! 

Áp dụng BDDT Cô-si ta có:

$\frac{a+b}{\sqrt{a^{2}+b}}+\frac{b+c}{\sqrt{b+c^{2}}}\leq \frac{1}{2}((\frac{a+b}{\sqrt{a^{2}+b}})^{2}+1+(\frac{b+c}{\sqrt{b+c^{2}}})^{2}+1)$

Do vậy ta cần CM:

$\frac{a^{2}+b^{2}+2ab}{a^{2}+b} +\frac{c^{2}+b^{2}+2cb}{c^{2}+b}\leq 1$

Bạn ơi. Phải là cần CM $\leq$ 2 chứ?

Cho a,b,c>0. CMR: $\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+c}<\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}$

Giải phương trình:        $\sqrt{4x^{2}+5x+1}=2\sqrt{x^{2}-x+1}+9x$

Bất đẳng thức sai khi chọn $x=y=z=0$

ĐÚng thật. khi chọn như bạn thì sai.

Gọi a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác có ba góc nhọn. Chứng minh rằng với mọi số thực x,y,z ta luôn có:

        $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}> \frac{2x^{2}+2y^{2}+2z^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

$3xy=x^{4}+y^{4}+2x^{2}y^{2}-7=(x^{2}+y^{2})^{2}-7\geq 4x^{2}y^{2}-7 \Rightarrow 4x^{2}y^{2}-3xy-7\leq 0 \Leftrightarrow -1\leq xy\leq \frac{7}{4}$

Dấu  '= ' xảy ra khi nào bạn?

Cho hai số thức x,y thõa mãn điều kiện: $x^{4}+y^{4}-7=xy\left ( 3-2xy \right )$. TÌm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của tích xy.

Cho hai số thực a,b thay đổi thoã mãn điều kiện:$a+b\geqslant 1$ và a>0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

                    A= $\frac{8a^{2}+b}{4a}+b^{2}$

Bài này đã xuật hiện trên VMF lần thứ ba thì phải nhưng chưa có lời giải.

Vẽ thêm như hình.
Chứng minh $\triangle ABC\sim \triangle BHC$
$\Rightarrow HC=\frac{BC^{2}}{AC}=\frac{a^{2}}{b}$
Chứng minh $\triangle ABD$ nửa đều.$\Rightarrow AD^{2}=\frac{3b^{2}}{4}$
$\Rightarrow AH=b-\frac{a^{2}}{b}$
$\Rightarrow HD=\frac{b}{2}-a$.
Áp dụng Pitago vào $\triangle AHD$, biến đổi thêm ra đpcm

bạn ơi. tam giác nửa đều là sao?

Tổng hợp đáp án

xem ra câu a hình mình làm đúng. há há

Ta có:

$P=(x^{2}+\frac{1}{y^{2}})(y^{2}+\frac{1}{x^{2}})=2+x^{2}y^{2}+\frac{1}{x^{2}y^{2}}=2+(xy)^{2}+\frac{1}{256(xy)^{2}}+\frac{255}{256(xy)^{2}}$

Áp dụng $AM-GM$:

$(xy)^{2}+\frac{1}{256(xy)^{2}}\geq \frac{1}{8}$

$\frac{255}{256(xy)^{2}}\geq \frac{255}{(4(x+y)^{2})^{2}}=\frac{255}{16}$

Cộng lại, suy ra $min P=\frac{289}{16}$

Mình vẫn chưa hiểu cái BĐT thứ 2 bạn ơi. giải thích mình vs

Tìm tất cả các số nguyên dương a,b,c đôi một khác nhau sao cho biểu thức:

A=$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}$   nhận giá trị nguyên dương.

Giải hệ phương trình sau:

$\left\{\begin{matrix} x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{9}{2}& & \\ xy+\frac{1}{xy}=\frac{5}{2}& & \end{matrix}\right.$

Cho các số dương x,y thay đổi thõa mãn điều kiện: x+y=1. Tìm GTNN của biểu thức:

                 P=$\left ( x^{2}+\frac{1}{y^{2}} \right )\left ( y^{2}+\frac{1}{x^{2}} \right )$

Đề này em đăng kí bài hình tiếp nhá. Bài 4 ý

Ta có: Tứ giác ANMP là hình vuông(chắc ai cũng c/m được)

        $\angle NPA=\angle NPM$

Dễ dàng chứng minh được các tứ giác NMHP vs tứ giác NHPA là tứ giác nội tiếp.

-Tứ giác NMHP nội tiếp => $\angle NHM=\angle NPM$         (1)

-Tứ giác NHPA mội tiếp => $\angle NPA=\angle NHA$          (2)

Mà $\angle NPA=\angle NPM$ nên từ (1) và (2) ta được $\angle AHN=\angle NHB$

Vậy ta được: $\angle AHP=\angle BHD$ (3)

Ta lại có: tứ giác ANHP nội tiếp đường tròn nên $\angle ANP=\angle AHP$      (*)

Mà tứ giác ANMP là hình vuông nên $\angle ANP=\angle NAD$                         (**)

Từ (*) và (**) =>$\angle NAD=\angle AHP$                        (4)

Từ (3) và (4) suy ra $\angle NAD=\angle BHD$

=> tứ giác ABDH nội tiếp => $\angle BHA=\angle BDA=90^{\circ}$ =>$AH\perp BH$

Bây giờ em xin chém lại bài hình! làm câu a trước. các cao thủ giúp em câu b nhé! thanks nhiều!

bài em làm sai vì chữa có M,B,H thẳng hàng

ai làm câu 4 đi.

Em xin chém bài hình. 

a) Ta có, tứ giác ANMP là hình chữ nhật nên $\angle NMP$=$90^{\circ}$. Mà $\angle NHP$=$90^{\circ}$ <=> tứ giác NMHP nội tiếp<=> $\angle MHN=\angle MPN$

Lại có, tứ giác ANHP nội tiếp( $\angle NAP+\angle NHP$=$180^{\circ}$) nên $\angle NPA=\angle NHA$.

<=>$\angle BHA$=$\angle MHN+\angle NHA=\angle MPN+\angle NPA=90^{\circ}$.

Vậy $AH\perp BH$

b) Em gởi sau!

cho em hỏi. đường tròn ($\mho$) nghĩa là gì ạ?

BĐT 34: Cho các số $a;b;c\geq 0. CMR: a^{4}+b^{4}+c^{4}\geq abc(a+b+c).$

Chứng minh: 

Sử dụng BĐT Cô-si ta có:

$a^{4}+b^{4}+c^{4}=\frac{1}{2}(a^{4}+b^{4})+\frac{1}{2}(b^{4}+c^{4})+\frac{1}{2}(a^{4}+c^{4})\geq a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2}=\frac{1}{2}a^{2}(b^{2}+c^{2})+\frac{1}{2}b^{2}(c^{2}+a^{2}) +\frac{1}{2}c^{2}(a^{2}+b^{2})\geq a^{2}bc+b^{2}ca+c^{2}ab=abc(a+b+c)$

Trong toppic này có mấy kí hiệu em không hiểu. mọi người nói cho em biết khi nào thì dùng nó cái. kí hiệu $\sum$

Nói rõ cho em cái chỗ 3<\frac{3}{x} $3<\frac{3}{x}<=> x<1 <=>\frac{1}{3}<\frac{3}{x}<=>x<9.$x=\left \{ 1;3;5;7 \right \}$ Em không hiểu sao x<1 rồi lại có X<9 rồi suy ra như vậy! giải thích dùm em!

4) $x< y< z\Leftrightarrow \frac{1}{x}> \frac{1}{y}> \frac{1}{z}$
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}< \frac{3}{x}$
$\Leftrightarrow 3< \frac{3}{x}\Leftrightarrow x< 1$$\Leftrightarrow \frac{1}{3} < \frac{3}{x}\Leftrightarrow x< 9$
$\Rightarrow x=\begin{Bmatrix} 1;3;5;7 \end{Bmatrix}$
x=1;3 loại $\Rightarrow x=5;7$
x=5 thì $\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{2}{15}$$\Rightarrow y< 15$
$y=\begin{Bmatrix} 1;3;5;7;9;11;13 \end{Bmatrix}$
Thế lại thấy y=9$\Rightarrow$ z=45 (thỏa)
x=7 thì $\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{4}{21}$
Giải tương tự được y=7,z=21
Vậy PT đã cho có 2 nghiệm nguyên dương lẻ (x;y;z)=(5;9;45),(7;7;21)