Mình làm như này nhé!!!

ĐK: $0\leqslant x\leqslant 1$

Ta có:

$\sqrt{x+4}\geqslant \sqrt{4}=2$ (đẳng thức xảy ra khi x=0)

$\sqrt{x}+\sqrt{1-x}\geqslant 1$ (đẳng thức xảy ra khi x=0 hoặc x=1)

$\Rightarrow \sqrt{x+4}+\sqrt{x}+\sqrt{1-x}\geqslant 3$ (đẳng thức xảy ra khi x=0)

Vậy pt có nghiệm duy nhất $x=0$.

Điều kiện $0\leq x\leq 1$

=> $\sqrt{x+4}\geq \sqrt{4}=2$

=>$\sqrt{x}+\sqrt{1-x}\leq 1$

=>$x+(1-x)+2\sqrt{x(1-x)}\leq 1$

=>$\sqrt{x(1-x)}\leq 0$

=>$\sqrt{x(1-x)}= 0$

<=> x=0 hoặc x=1.

Thử lại, thấy chỉ có x=0.

Vậy PT có nghiệm duy nhất x=0

Bạn xem lại chỗ màu đỏ nhé!

Mình thấy $\sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{1-\frac{1}{2}}=\sqrt{2}>1$ mà!!!

Giải phương trình:

$log_{3}2x+1+log_{5}4x+1+log_{7}6x+1=3x$

Đặt ĐK và biến đổi pt trở thành: $4cot^{6}x+3(2-cot^{2}x)^{4}=7(1)$

Đặt t=cot²x (t$\geq$0), pt tro thanh

$4t^{3}+3(2-t)^{4}=7 \Leftrightarrow 3t^{4}-20t^{3}+72t^{2}-96t+41=0 \Leftrightarrow (t-1)^{2}(3t^{2}-14t+41)=0 \Leftrightarrow t=1$

đến đây thay t vào giải dễ rồi

Đặt $x^2-2x+1=a,x^2+2x+1=b$ .PT $< = > a^b=b^a$$< = > a=b$ $< = > x^2-2x+1=x^2+2x+1< = > x=0$

Bạn giải thích dùm mình $a^{b}=b^{a}\Leftrightarrow a=b$

Mot vi du dien hinh $2^{4}=4^{2}\Leftrightarrow 2=4???$

e/ Ghi lại đề :$log_{2}\left ( 3-log_{3}x \right )> 1$

ĐK:$log_{3}x< 3 <=>x< 27(*)$$

$<=>log_{2}\left ( 3-log_{3}x \right )> log_{2}2^{1}$

$<=>3-log_{3}x> 2$

$<=>log_{3}x< 1$

$<=>log_{3}x< log_{3}3$

$<=>x< 3$

Thêm ĐK x>0 nữa bạn ơi!!!

Mình down trên mạng xuống đó, Đề thi HSG tỉnh Thanh Hoá năm 2008-2009!!!!

Giải phương trình $log_{3}2x+1+log_{5}4x+1+log_{7}6x+1=3x$

Giải phương trình $8x^{3}-6x=\sqrt{2x+2}$

 

Giải

ĐK: $x \geq -1$
+ Nếu $x > 1$ thì phương trình ban đầu tương đương:
$8x^3 - 8x + 2x - \sqrt{2x + 2} = 0$
$\Leftrightarrow 8x(x^2 - 1) + \dfrac{4x^2 - 2x - 2}{2x + \sqrt{2x + 2}} = 0$
Do $4x^2 - 2x - 2= 2(x - 1)(2x + 1) > 0$ $\forall$ $x > 1$ nên $VT > 0 = VF$.

Vậy, x > 1 khiến hệ vô nghiệm.

 

+ Nếu $x \leq 1$, đặt $x = \cos{t}$, ta được:
$8\cos^3{t} - 6\cos{t} = \sqrt{2(\cos{t} + 1)}$

$\Leftrightarrow 2\cos{3t} = \sqrt{4\cos^2{\dfrac{t}{2}}} \Leftrightarrow \cos{3t} = \left |\cos{\dfrac{t}{2}}\right |$
 

Còn lại bạn tự giải nhé.

 

Trường hợp 2: nếu $x\leq 1$ thì đặt $x=cost,t\epsilon \left [ 0;\pi \right ]$, lúc này $cos\frac{t}{2}$ không còn giá trị tuyệt đối phải không bạn???

Bài 3

Giải

ĐK: $x \geq 0$

Phương trình tương đương:
$(\sqrt{x})^2 + (\sqrt{x})^3 = (\sqrt[6]{3x + 1})^2 + (\sqrt[6]{3x + 1})^3$

Đặt $a = \sqrt{x}; b = \sqrt[6]{3x +1} \, (a\geq 0, b > 0)$, ta được:
$a^2 + a^3 = b^2 + b^3 \Leftrightarrow (a - b)\left (a + b + a^2 + ab + b^2\right ) = 0 \Leftrightarrow a = b$
$\Rightarrow \sqrt{x} = \sqrt[6]{3x + 1} \Leftrightarrow x^3 = 3x + 1$

 

Đặt $x = 2\cos{\alpha}$. Phương trình nói trên có 3 nghiệm là: $x = 2\cos{\left (\dfrac{\pi}{9} \right )}$, $x = 2\cos{\left (\dfrac{5\pi}{9} \right )}$ và $x = 2\cos{\left (\dfrac{7\pi}{9} \right )}$

Do $x \geq 0$ nên $x = 2\cos{\left (\dfrac{\pi}{9} \right )}$ là nghiệm duy nhất của phương trình.

Bạn ơi Tập giá trị của x là $(0;+\infty )$, làm sao đặt $x=2cosa$ được?

Bài 2: Đặt $t=x-5,t\geqslant 0$

Phương trình trở thành:

$(t+3)^{2}-7=\sqrt{t}$

$\Leftrightarrow (t^{2}+6t+2)^{2}=t$

$\Leftrightarrow t^{4}+12t^{3}+40t^{2}+23t+4=0$

Phương trình này vô nghiệm với $t\geqslant 0$

+ Phương trình tương đương với

$${5(x-1)\over \sqrt{5x-1}+2}-{x-1\over\sqrt[3]{9-x}^2+2\sqrt[3]{9-x}+4}=(x-1)(2x+5)$$

suy ra $x=1$ hoặc

$${5\over \sqrt{5x-1}+2}-{1\over\sqrt[3]{9-x}^2+2\sqrt[3]{9-x}+4}=2x+5\quad (1),$$

nhưng (1) vô nghiệm do $VT<5<VP$ với mọi $x\ge\frac15$.

Tại sao VT<5 vậy bạn???

Đặt $t=\sqrt{1+x^{2}}$

Khi đó ta được một phương trình bậc 2 ẩn $t$, tham số $x$: $2t^{2}-(4x-1)t+2x-1$

Phương trình có: $\Delta =(4x-1)^{2}-8(2x-1)=(4x-3)^{2}$

$\Rightarrow t=1$ hoặc $t=4x-2$

Đến đây coi như xong

Nghiệm sai rùi bạn $t=\frac{1}{2},t=2x-1$ và phải bổ sung thêm ĐK $t\geqslant 1$

Vì $x=y=z=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}$ không phải là nghiệm của hệ nên hệ tương đương với

$\left\{\begin{matrix} \frac{x^{3}-3x}{3x^{2}-1}=y\\ \frac{y^{3}-3y}{3y^{2}-1}=z\\ \frac{z^{3}-3z}{3z^{2}-1}=x \end{matrix}\right.$

Đặt $f(t)=\frac{t^{3}-3t}{3t^{2}-1};g(t)=t\Rightarrow f'(t)=\frac{3t^{4}+6t^{2}+3}{(3t^{2}-1)^{2}},g'(t)>0$

Đến đây ta suy ra $x=y=z$

thay vào pt bất kì ta suy ra hệ có 1 nghiệm $x=y=z=0$

Giải hpt: $\left\{\begin{matrix} x^{2}y^{2}-2x+y^{2}=0\\ 2x^{3}+3x^{2}-6y-12x+13=0 \end{matrix}\right.$

Hệ tương đương với 

$\left\{\begin{matrix} y^{2}=\frac{2x}{x^{2}+1}(1)\\ 2x^{3}+3x^{2}-12x+13=6y(2) \end{matrix}\right.$

Từ (1) ta có $x\geq 0;-1\leq y\leq 1$

Xét hàm số $f(x)=2x^{3}+3x^{2}-12x+13;x\geq 0$ ta có

$f'(x)=6x^{2}+6x-12;f'(x)=0\Leftrightarrow x=1$

Vẽ bảng biến thiên ta suy ra $f(x)\geqslant f(1)\geqslant 6$

Suy ra $VT(2)\geq 6;VP(2)\leqslant 6$

Vậy hệ có nghiệm duy nhất $x=y=1$

ĐK: $x,y\neq 0$

Hệ đã cho tương đương với

$\left\{\begin{matrix} 4x^{2}+4xy-4y^{2}=20(1)\\ 20x^{2}-25xy-10y^{2}=20(2) \end{matrix}\right.$

Lấy (2) trừ đi (1) ta được

$16x^{2}-29xy-6y^{2}=0(*)$

Đặt $t=\frac{x}{y}$, (*) trở thành

$16t^{2}-29t-6=0\Leftrightarrow [\begin{matrix} t=2\\ t=-\frac{3}{16} \end{matrix}$

Giải bất phương trình: $\frac{1}{2}log_{2}x.log_{\frac{3}{4}}x+3>\frac{3}{2}log_{2}x+log_{\frac{3}{4}}x$

Giải bất phương trình $\frac{1}{2}log_{2}x.log_{\frac{3}{4}}x+3>\frac{3}{2}log_{2}x+log_{\frac{3}{4}}x$

Câu 1:

Từ $xyz=8 \iff x+y+z \ge 6 \iff -6 \le -(x+y+z)$

Ta có:

$\frac{x-2}{x+1}\le \frac{x-2}{3} \iff \frac{-(x-2)^2}{3(x+1)} \le 0$ 

Tương tự 

$\frac{y-2}{y+1}\le \frac{y-2}{3(y+1)}$

$\frac{z-2}{z+1}\le \frac{z-2}{3(z+1)}$

Suy ra $P\le \frac{x+y+z-6}{3} \le \frac{x+y+z-x-y-z}{3} =0$

Câu 2:

Từ giả thiết $x+y+z=1$ suy ra

$P=\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{x+y+z}{xyz}=\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{y}z+\frac{1}{zx}$

$\ge \frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{9}{xy+yz+zx}=\ge \frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{1}{xy+yz+zx}+\frac{1}{xy+yz+zx}+\frac{7}{xy+yz+zx}$

$\ge \frac{9}{(x+y+z)^2} +\frac{7.3}{(x+y+z)^2}=30$

______________

Bạn giải thích giúp mình bước cuối $\frac{1}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}+\frac{1}{xy+yz+zx}+\frac{1}{xy+yz+zx}+\frac{7}{xy+yz+zx}\geqslant \frac{9}{(x+y+z)^{2}}+\frac{7.3}{(x+y+z)^{2}}$.

Mình chưa hiểu!

Cho x,y,z là các số dương và thỏa mãn: $\left\{\begin{matrix} x+y+z=9\\ x\geq 5;x+y\geq 8 \end{matrix}\right.$.

Chứng minh rằng $xyz\leq 15$

Tại sao lại có $xy+yz+zx\leq x^{2}+y^{2}+z^{2}$ vậy bạn?!

Do $(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2 \geqslant 0$

Bạn ơi 2-a chắc là dương chưa???

Tại sao $a< \sqrt{3}$ vậy bạn ơi???

Cho khối lăng trụ đứng ( L) có cạnh bên bẳng 7a. Đáy của (L) là lục giác lồi ABCDEF có tất cả các góc đều bằng nhau và AB =a, CD=2a, EF=3a, DE=4a, FA=5a, BC=6a.

a) Tính theo a thể tích của khối lăng trụ (L)

b) Chứng tỏ rằng có thể chia khối lăng trụ (L) thành 4 khối đa diện trong đó có một khối lăng trụ đều đáy tam giác và ba khối hộp.