Từ GT ta có:

$3=a^2b+b^2c+c^2a\leq \frac{a^4+b^4+c^4+a^2+b^2+c^2}{2}$

$\leq \frac{a^4+b^4+c^4}{2}+\frac{a^4+b^4+c^4+3}{4}$

$=\frac{3(a^4+b^4+c^4)}{4}+\frac{3}{4}$

$=>a^4+b^4+c^4\geq 3$

Có thể thế này sẽ ngắn hơn:

Áp dụng AM-Gm cho 3 số ta có: $\sum \left (a^4+a^4+b^4  \right )\geq 3\sum a^2b
\Rightarrow \sum a^4\geq \sum a^2b=3$

P/s: Sao giống Viet Hoang 99 quá!!! (gửi bài lên rồi tự xử!!! )

1/ $(x+3)\sqrt{(4-x)(12+x)}=28-x$

 

1.

 pttt: $$(x+3)\sqrt{-x^2-8x+48}=28-x$$

Bạn đã dùng S_vac nhân $a,b$ cả tử và mẫu từng cái phải không? rồi có$4a^{3}+4b^{3}\geq 4ab(a+b)$ còn gì cho vào BĐT thì là ngược dấu rồi

Đề là như thế này mà: $$\frac{a}{4b^2+a}+\frac{b}{4a^2+b}=\frac{a^2}{4ab^2+a}+\frac{b^2}{4a^2b+b}\geq \frac{(a+b)^2}{4ab^2+4a^2b+a+b}=\frac{(a+b)^2}{4ab(a+b)+a+b}$$

Bạn xem lại đề nhé!!!

Chỗ này đã ngược dấu!

Chỗ này đâu có ngược đâu?? Xem lại!!

$a;b>0$; $a+b=4ab$
Cmr: $\frac{a}{4b^2+1}+\frac{b}{4a^2+1}\geq \frac{1}{2}$

ta có:$a+b\leq 4\left ( \frac{a+b}{2} \right )^2\Rightarrow a+b\geq 1$

mặt khác ta lại có: $$\frac{a}{4b^2+1}+\frac{b}{4a^2+1}\geq \frac{(a+b)^2}{4ab(a+b)+a+b}
=\frac{4ab(a+b)}{4ab(a+b)+4ab}=\frac{a+b}{a+b+1}$$

bây giờ ta chỉ cần chứng minh: $\frac{a+b}{a+b+1}\geq \frac{1}{2}\Leftrightarrow a+b\geq 1$ $(DPCM)$

 Giải hpt:

1. $\left\{\begin{matrix} (\frac{x}{y}+\frac{y}{x})(x+y)=15\\(\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}})(x^{2}+y^{2})=85 \end{matrix}\right.$

 

1.

Ta đặt: $$\left\{\begin{matrix}
\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=a & \\
 x+y=b&
\end{matrix}\right.$$

Ta biến đổi hệ trở thành:$$\left\{\begin{matrix}
ab=15 & \\
 (a^2-2)\left ( b^2-\frac{2b^2}{b+2} \right )=85&
\end{matrix}\right.$$

từ đây ta dễ dàng tìm được $a,b$

$$\left\{\begin{matrix}
a=\frac{5}{2};b=6 & \\
 a=\frac{-9}{7};b=\frac{-35}{3}&
\end{matrix}\right.$$

Đến đây là OK rồi!!!!

Giải phương trình:$\left ( 4x^{3}-x+3 \right )^{3}-x^{3}=\frac{3}{2}$

(đề thi HSG hải dương)

đặt: $4x^3-x+3=y$

ta được hệ phương trình:$$\left\{\begin{matrix}
4x^3-x+3=y & \\
 2y^3-2x^3=3&
\end{matrix}\right.$$

Cộng vế với vế ta được $x=y$

đến đây là OK rồi!!!1

1) Giải phương trình $\frac{2+\sqrt{x}}{\sqrt{2}+\sqrt{2+\sqrt{x}}}+\frac{2-\sqrt{x}}{\sqrt{2}-\sqrt{2-\sqrt{x}}}=\sqrt{2}$

 

 

1.

đặt:$\left\{\begin{matrix}
2+\sqrt{x}=a & \\
 2-\sqrt{x}=b&
\end{matrix}\right.\Rightarrow a+b=4$

 ta biến đổi pt trở thành:$$\frac{a}{\sqrt{2}+a}+\frac{4-a}{a-4+\sqrt{2}}=\sqrt{2}\Rightarrow \begin{bmatrix}
a=2-3\sqrt{2} & \\
 a=2+\sqrt{2}&
\end{bmatrix}$$

từ đây ta dễ dàng suy ra : $2+\sqrt{x}=2+\sqrt{2}\Rightarrow x=2$

 

Giải pt:

$$\frac{4}{(x+1)^2}+2x^2=x+\frac{2(3x-1)}{x+1}$$

 

ta biến đổi pt trở thành:

$$pttd\Leftrightarrow 2x^4+3x^3-6x^2-5x+6=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix}
x=-2 & \\
 x=\frac{-3}{2}& \\
 x=1&
\end{bmatrix}$$

Phần nghiệm $\sqrt{6}$ giải thế nào.

Phần nghiệm đó là như thế này:

Thay $x=y$ vào $pt (1)$ ta được: $x^3=6x \Leftrightarrow x(x^2-6)=0$

Giải hệ phương trình

$\left\{\begin{matrix} x^3=5x+y& \\ y^3=5y+x& \end{matrix}\right.$

Đây là hệ đối xứng loại II nên ta chỉ việc lấy 2 pt trừ cho nhau là OK!!!!

lấy $(1)-(2)$ ta được" :

$$(x-y)(x^2+xy+y^2)=4(x-y)\Rightarrow x=y$$ thế vào một trong 2 pt trên $$\Rightarrow \begin{bmatrix}
x=y=0 & \\
 x=y=\pm \sqrt{6}&  
\end{bmatrix}$$

221/$x^3+\frac{\sqrt{68}}{x}=\frac{15}{x}$

221.

$$pttd\Leftrightarrow x^3+\frac{2\sqrt{17}}{x^3}=\frac{15}{x}$$

Ta đặt: $\sqrt{17}=y$

Pttt:$$x^6+2y=(y^2-1).x^2\Leftrightarrow y^2x^2-2y-x^6-2x^2=0
\Leftrightarrow \begin{bmatrix}
y=-x^2 & \\
 y=\frac{2+x^4}{x^2}&
\end{bmatrix}$$

Đến đây là OK rồi!!!

P/s: $$y^2x^2-2y-x^6-2x^2=0$$

Ở đây mình xem như đây là một phương trình bậc 2 ẩn $y$ tham số là $x$, rồi dùng denta là suy ra 2 nghiệm!!!

Còn cm dòng này đi

Dòng này phải thế này: $\sum xy^2\leq \frac{1}{9}\left ( x+y+z \right )^3$

Cách chứng minh khá đơn giản chỉ cần dùng BĐT Chebyshev là OK!!!!

Cho a,b,c,d dương và a+b+c+d=4.Chứng minh rằng:$\frac{a}{1+b^{2}c}+\frac{b}{1+c^{2}d}+\frac{c}{1+d^{2}a}+\frac{d}{1+a^{2}b}\geq 2$

ta có:
$$\sum \frac{a}{1+b^2c}=\sum a-\sum \frac{ab^2c}{1+b^2c}\geq \sum a-\sum \frac{ab\sqrt{c}}{2}\geq \sum a-\frac{\sqrt{\left ( ab+bc+cd+da \right )\left ( 4abcd \right )}}{2}\geq \sum a-\frac{\left (\frac{a+b+c+d}{2}  \right ).\sqrt{4.\left ( \frac{a+b+c+d}{4} \right )^4}}{2}=2$$

 

Cho hpt:

 

$$\left\{\begin{matrix}\sqrt{x}+\sqrt{2012-y}=\sqrt{2012}  &  & \\ \sqrt{2012-x}+\sqrt{y}=\sqrt{2012}  &  &  \end{matrix}\right.$$

 

 

Cách khác: đây là hệ đối xứng loại 2 nên trừ vế với vế ta được:

$$\sqrt{x}-\sqrt{y}+\sqrt{2012-y}-\sqrt{2012-x}=0
\Leftrightarrow \frac{x-y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}+\frac{x-y}{\sqrt{2012-y}+\sqrt{2012-x}}=0\Rightarrow x=y$$

đến đây chỉ việc thế vào là OK!!!

P/s: Chế thêm bài này cho đẹp!!!!!

$$\left\{\begin{matrix}
\sqrt{\frac{x}{2}}+\sqrt{1006-\frac{y}{2}}=\sqrt{2012} & \\
 \sqrt{\frac{y}{2}}+\sqrt{1006-\frac{x}{2}}=\sqrt{2012}&
\end{matrix}\right.$$

đã fix

Cho $a,b>0$ và $ab=1$. Tìm $Min$:

$$A=(a+b+1)(a^2+b^2)+\frac{4}{a+b}$$

Cách khác:

Biến đổi thành: $$A=\frac{\left (a+b  \right )\left ( a^2+b^2 \right )}{2}+\frac{4}{a+b}+\frac{\left (a+b  \right )\left ( a^2+b^2 \right )}{2}
+(a^2+b^2)\geq 2\sqrt{2(a^2+b^2)}+\frac{2\sqrt{ab}.2ab}{2}+2ab=8$$

Cho $x, y, z$ là các số dương thỏa mãn điều kiện $xyz = 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  

$$E=\frac{1}{x^3(y+z)}+\frac{1}{y^3(z+x)}+\frac{1}{z^3(x+y)}.$$

Toán thủ ra đề: angleofdarkness

đặt:$$\left\{\begin{matrix}
a=\frac{1}{x} & \\
b=\frac{1}{y}& \\
c=\frac{1}{z}&
\end{matrix}\right.\Rightarrow abc=1$$

$$\Rightarrow E=\sum \frac{a^2}{b+c}\geq \frac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)}=\frac{a+b+c}{2}\geq \frac{3\sqrt[3]{abc}}{2}=\frac{3}{2}$$

$$"="\Leftrightarrow a=b=c=1$$

d = 10

S = 46

 

Giải hệ Pt sau: $\left\{\begin{matrix}

y^4+19=20(x+y)\\ 

\sqrt{x}+\sqrt{x+2y}=\sqrt{2}

\end{matrix}\right.$

 

Pt thứ nhất chắc không làm gì được rồi nhỉ, thử biến đổi pt thứ 2 xem: $\sqrt{x}+\sqrt{x+2y}=\sqrt{2} \Leftrightarrow x+y+\sqrt{x\left(x+2y \right)}=1\Rightarrow x+y\leq 1$ $\left(1 \right)$ thế vào pt đầu ta được:$y^4+19=20 \Rightarrow y^{4}\leq 1\Rightarrow y^{2}\leq 1$
mặt khác ta có: $$\sqrt{x}+\sqrt{x+2y}=\sqrt{2}
\Rightarrow 2(x+y)+2\sqrt{x(x+2y)}=2
\Rightarrow
x+y=1-\sqrt{x\left(x+2y \right)}\Leftrightarrow x^{2}+2xy+y^{2}+1+x^{2}+2xy-2\sqrt{x^{2}+2xy}$$
$$\Rightarrow 1-y^{2}=2\sqrt{x^{2}+2xy}\Leftrightarrow y^{4}=2y^{2}-1+4x^{2}+8xy$$
Thay vào pt đầu ta được :
$$4x^{2}+8xy+2y^{2}-20\left(x+y \right)+18=0\Leftrightarrow 4\left(x+y \right)^{2}-20\left(x+y \right)+16=2y^{2}-2\leq 0$$
$$\Rightarrow 1\leq x+y\leq 4\left(2 \right)$$ (vì $y^2\leq 1$)
Từ $(1)$ và $(2)$ $\Rightarrow x+y=1$ $\Rightarrow y^{2}=1\Leftrightarrow \begin{bmatrix}
 &y=1\Rightarrow x=0  & \\
 &y=-1\Rightarrow x=2  &
\end{bmatrix}$
Từ đây dễ dàng suy ra hpt có 2 nghiệm:$\left(x;y \right)=\left(2;-1 \right);\left(0;1 \right)$

Bài 1: Cho $x\geq 1$ ,$y\geq 4$.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$P= \frac{x\sqrt{y-4}+y\sqrt{x-1}}{xy}$

Bài 2:Cho x>0,y>0 và $x+y\leq 1$

CMR:$\frac{1}{x^{2}+xy}+\frac{1}{y^{2}+xy}\geq 4$

 

 

1. ta có:

$$\frac{\sqrt{x-1}}{x}+\frac{\sqrt{y-4}}{y}\leq \frac{x-1+1}{2x}+\frac{y-4+4}{2y}=1$$

2.

ta có:$$\frac{1}{x^2+xy}+\frac{1}{y^2+xy}\geq \frac{4}{x^2+2xy+y^2}\geq 4$$

Ban ơi khi gọi phương trình tiếp tuyến của (C) là $y=ax+b$ liệu có mất tính tổng quát không ? Bởi khi ấy ta đã lấy hệ số của b trong phuơng trình tổng quát l$ax+by+c=0$ là $-1$ rồi......................................

nếu $a=0$ thì pt sẽ tạo với Oy một góc $90$ độ, nên pt tạo với Oy một góc 60 độ chỉ có thể là pt có hệ số góc mà thôi!!!

Gửi BQT em gợi ý làm câu C cho 1 bạn ở link:http://diendantoanho...-7/#entry496971

Nhưng lại bị bạn Buiminhhieu nhắc nhở do trả lời top pic vi phạm trong khi trc đó top pic chưa vi phạm.

Đây có phải là hành động lợi dụng chức quyền

Nói cho cùng thi người sai là bạn chứ không ai khác!!!!

Lúc mới tham gia diễn đàn thì mình cũng bị nn như bạn thôi, chắc có lẽ bạn chưa đọc nội quy của diễn đài phải không??

Bị nhắc nhở thì cũng chỉ vài ngày điểm cũng tự xoá mà, có sao đâu??/

P/s: Mà JokerLegend kiện Buiminhhieu, mà sao không thấy lên tiếng nhỉ??

Ở đó có dấu đẳng thức à???

Xem lại chỗ đó đi bạn!

Mọi người có thể tham khảo tại đây: http://k2pi.net/show...z-gt-0-thoa-man

ý mình là như thế này:

đặt : $$A=x^2+y^2+z^2+3 \Rightarrow 3A=3\left (x^2+y^2+z^2 \right )+3^2=3\left (x^2+y^2+z^2 \right )+\left (x+y+z \right )^2 =4(x^2+y^2+z^2)+2(xy+yz+zx)\geq 6(xy+yz+zx) \Rightarrow 3A\geq 6(xy+yz+zx)\Rightarrow A\geq 2(xy+yz+zx)$$

a,c,b là số thực không âm

và a+b+c>0

CMR

$\sum \frac{ab}{a+9b+6c}\leq \frac{\sum a}{16}$

áp dụng shwartz ta có:$$\sum \frac{ab}{a+9b+6c}\leq \frac{1}{64}\sum \left ( \frac{ab}{a+b}+\frac{6ab}{b+c}+\frac{a}{2} \right )$$

thiết lập tương tự với các BĐT còn lại dễ dàng suy ra ĐPCM!!!!

Cho $x,y,z$ thỏa mãn:$x+y+z=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$.Chứng minh rằng:$x^2+y^2+z^2+3 \ge 2(xy+yz+zx)$

ta có: $$(x+y+z)\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right )\geq 9
\Rightarrow x+y+z\geq 3$$

từ đây ta có: $$3\left (x^2+y^2+z^2  \right )+9=3\left (x^2+y^2+z^2  \right )+\left (x+y+z  \right )^2
=4(x^2+y^2+z^2)+2(xy+yz+zx)\geq 6(xy+yz+zx)$$

từ đây dễ dàng suy ra ĐPCM

Nếu a,bc>0 CMR

$\sum \frac{ab^{2}}{a^{2}+2b^{2}+c^{2}}\leq \frac{\sum a}{4}$

ta có: $$\\sum \frac{ab^2}{a^2+2b^2+c^2}=\sum \frac{ab^2}{3.\frac{a^2+b^2+c^2}{3}+b^2}\leq \sum \frac{1}{16}\left ( \frac{9ab^2}{a^2+b^2+c^2}+a \right )=\frac{9}{16}.\left ( \frac{\sum ab^2}{\sum a^2} \right )+\frac{a+b+c}{16}$$

từ đây ta chỉ cần chứng minh rằng: $$\frac{9}{16}\left ( \frac{\sum ab^2}{\sum a^2} \right )\leq \frac{3}{16}\sum a
\Leftrightarrow \sum a^3+\sum ab^2+\sum a^2b\geq 3\sum ab^2
\Leftrightarrow \sum a^3+\sum a^2b\geq 2\sum ab^2$$

mặt khác BĐT luôn đúng vì AM-GM:

$$\sum \left (2a^3+a^2b+ab^2  \right )\geq 4\sum ab^2$$

đến đây là OK rồi!!!!