Cho hỏi sách gì vậy?

cuốn kim cương

NTP

 

Cho $a,b,c>0,a^2+b^2+c^2=3$.Tìm Max

$P=a^2b^3+b^2c^3+c^2a^3$

 

gọi $(x,y,z)$ là hoán vị của $(a,b,c)$ sao cho $x\geq y\geq z$

$P=a(a^2c^2)+c(c^2b^2)+b(b^2a^2)\leq x(x^2y^2)+y(x^2z^2)+z(y^2z^2)$

  $=y(x^3y+x^2z^2+z^3y)=y\left [ x^2\left ( xy+\frac{1}{2}z^2 \right )+z^2\left ( yz+\frac{1}{2}x^2 \right ) \right ]$

  $\leq y\left ( x^2\frac{x^2+y^2+z^2}{2}+z^2\frac{x^2+y^2+z^2}{2} \right )=\frac{3}{2}y(x^2+z^2)$

  $=\frac{3}{2\sqrt{2}}\sqrt{2y^2(x^2+z^2)(x^2+z^2)}\leq \frac{3}{2\sqrt{2}}\sqrt{\left ( \frac{2(x^2+y^2+z^2)}{3} \right )^3}=3$

vậy $\boxed{P_{max}=3\Leftrightarrow a=b=c=1}$

NTP 

cho các số $0\leq a\leq b\leq c\leq d$ và $x,y,z,t\in \left [ 0,\frac{1}{2} \right ]$ thỏa $a+b+c+d=x+y+z+t=1$

Chứng minh rằng $ax+by+cz+dt\geq 54abcd$

NTP

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}.$ Chứng minh rằng:

$\frac{1}{2a+1}+\frac{1}{2b+1}+\frac{1}{2c+1}\geq 1$

xem ở đây

NTP

câu $1$ xem ở đây

NTP

$\fbox{1}$.

Cho $a_1,..,a_n \in {\pm 1}$. Biết $a_1a_2+..+a_na_1=0$

CM: $n\vdots 4$

vì $a_1a_2,a_2a_3,...,a_na_1$ chỉ nhận một trong hai giá trị $1$ hoặc $-1$ 

mà $a_1a_2+a_2a_3+...+a_na_1=0\Rightarrow n=2m$ và ta có $m$ số hạng bằng $1$ và $m$ số hạng bằng $-1$

có $(a_1a_2).(a_2a_3)...(a_na_1)=a_1^2.a_2^2...a_n^2=1$ nên số các số hạng bằng $-1$ phải là số chẵn

hay $m=2k\Rightarrow n=4k\Rightarrow n\vdots 4$

NTP

C/m $\frac{2}{3}\leq \frac{a\times (c-d)+3d}{b\times (d-c)+3c}\leq \frac{3}{2}$ với $\forall a,b,c \epsilon$ [2;3]

bài này phải có $d\in \left [ 2,3 \right ]$ nữa 

$\blacksquare$ chứng minh $\frac{a(c-d)+3d}{b(d-c)+3c}\geq \frac{2}{3}$

ta có $(3-a)(d-2)\geq 0\Leftrightarrow 2a+3d-ad\geq 6$

do đó $a(c-d)+3d=ac-ad+3d\geq 2a+3d-ad\geq 6$                    $(1)$

mà $(b-3)(c-3)\geq 0\Leftrightarrow 3c+3d-bc\leq 9$

nên ta có $b(d-c)+3c=3c-bc+bd\leq 3c+3d-bd\leq 9$                   $(2)$

từ $(1)$ và $(2)$ ta có $\frac{a(c-d)+3d}{b(d-c)+3c}\geq \frac{6}{9}=\frac{2}{3}$

$\blacksquare$ chứng minh $\frac{a(c-d)+3d}{b(d-c)+3c}\leq \frac{3}{2}$

làm tương tự như trên khi xét $(a-3)(d-3)\geq 0$ và $(3-b)(c-2)\geq 0$

NTP

Tìm số tự nhiên n sao cho tổng các chữ số của n bằng $n^{2} - 2013n + 6$

đặt $A=n^2-2013n+6$

$\blacksquare$ với $n=2013$ thì $A=6$ thỏa

$\blacksquare$ với $n>2013$ thì $A=n^2-2013n+6>n(n-2013)>n$ điều này vô lí

$\blacksquare$ với $1\leq n\leq 2012$ thì $(n-1)(n-2012)\leq 0\Leftrightarrow n^2-2013n+2014\leq 0\Leftrightarrow A\leq -2008<0$ điều này vô lí

vậy $\boxed{n=2013}$

NTP

Tìm mọi số nguyên $x,y$ sao cho
\[(y^3+xy-1)(x^2+x-y)=(x^3-xy+1)(y^2+x-y).\]

$\blacksquare$ với $x=y$ thì $...$

$\blacksquare$ với $\left | x \right |\leq 1$ hoặc $\left | y \right |\leq 1$ thì ta có $x,y\in \left \{ -1,0,1 \right \}$ thì $...$

$\blacksquare$ với $\left | x \right |>1,\left | y \right |>1$

$\triangleright$ Với $x>y$ từ giả thiết ta có $\frac{x^3-xy+1}{x^2+x-y}=\frac{y^3+xy-1}{y^2+x-y}\Leftrightarrow x-y=\frac{x^2-1}{x^2+x-y}+\frac{y^2-1}{y^2+x-y}$

đặt $z=x-y>0\Rightarrow z=\frac{x^2-1}{x^2+z}+\frac{y^2-1}{y^2+z}$

ta có $0<\frac{x^2-1}{x^2+z},\frac{y^2-1}{y^2+z}<1\Rightarrow 0$ do đó $1=\frac{x^2-1}{x^2+1}+\frac{y^2-1}{y^2+1}$

vì $\left | x \right |>1,\left | y \right |>1\Rightarrow \frac{x^2-1}{x^2+1},\frac{y^2-1}{y^2+1}<\frac{1}{2}\Rightarrow 1=\frac{x^2-1}{x^2+1}+\frac{y^2-1}{y^2+1}<1$

điều này vô lí

$\triangleright$ Với $x<y$ đặt $t=y-x>0\Rightarrow t=\frac{x^2-1}{t-x^2}+\frac{y^2-1}{t-y^2}\Rightarrow t+2=\frac{t-1}{t-x^2}+\frac{t-1}{t-y^2}$

nếu $x^2<t$ và $y^2<t$ thì $2(y-x)=2t>x^2+y^2\Rightarrow (x+1)^2+(y-1)^2<2$ điều này vô lí do $\left | x \right |>1,\left | y \right |>1$

do đó phải ít nhất một trong hai phân số $\frac{t-1}{t-x^2},\frac{t-1}{t-y^2}$ phải nhỏ hơn hoặc bằng $0$

$\Rightarrow t+2=\frac{t-1}{t-x^2}+\frac{t-1}{t+y^2}\leq 0+(t-1)<t$ điều này vô lí

vậy $\boxed{(x,y)\in \left \{ (0,0),(1,1),(-1,-1),(-1,0),(1,2),(0,1),(-2,-1) \right \}}$

NTP

CMR $(1^{x} + 2^{x} + 3^{x} + ... + n^{x}) \vdots (1 + 2 + 3 + ... + n)$

$x$ phải lẻ nữa nhé

xem ở đây

NTP

Hãy phân tích số 89 thành tổng của các số nguyên dương sao cho tích của chúng là $max$.

với $a_1,a_2,...,a_k$ thỏa $a_1+a_2+...+a_k=89$ ta sẽ tìm giá trị lớn nhất của $a_1.a_2...a_k$

lời giải

ta chứng minh trong cách phân tích đã chọn như trên thì tích $a_1.a_2...a_k$ chỉ gồm những thừa số nguyên tố $2$ và $3$ và không có quá $2$ thừa số nguyên tố $2$

$\triangleright$ Trong các số $a_1,a_2,...,a_k$ không có số hạng $1$ vì nếu có số hạng $1$ thì ta lấy một số hạng $a>1$ tùy ý khác,lúc này ta thay hai số $1,a$ bằng số $1+a$ và do $1.a<1+a$ nên khi thay vào thì tích $a_1.a_2...a_k$ sẽ tăng lên.Điều này mâu thuẫn với tích đã cho là lớn nhất

$\triangleright$ Trong cách phân tích đã cho không có số hạng $b\geq 4$,vì khi ta thay $b$ bằng hai số hạng $2,b-2$.Rõ ràng $2(b-2)\geq 4$.Vậy tổng chỉ chứa các số hạng $2$ và $3$

$\triangleright$ Giả sử tổng có nhiều hơn hai số hạng $2$.Nếu thay ba số $2$ bằng hai số $3$ thì $2+2+2=3+3$ nhưng $2.2.2<3.3$ do đó tích $a_1.a_2...a_k$ tăng lên điều này vô lí.Vậy thừa số $2$ trong tích sẽ không vượt quá $2$

do đó để đảm bảo $a_1.a_2...a_k$ lớn nhất thì ta phân tích

$89=3+3+...+3+2$ $($ $29$ số $3$ $)$ hoặc $89=3+3+...+3+2+2$ $($ không thể phân tích được kiểu này $)$ hoặc $89=3+3+...+3$ $($ không thể phân tích được kiểu này $)$

$\boxed{max(a_1.a_2...a_k)=3^{29}.2\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} k=30\\a_1=a_2=...=a_{29}=3\\a_{30}=2 \end{matrix}\right.}$

chú ý:với $a_1,a_2,...,a_k$ là các số tự nhiên mà $a_1+a_2+...+a_k=n$ thì $a_1.a_2...a_k\leq 3^{\frac{n-2p}{3}}.2^p$ với $p=\left\{\begin{matrix} \text{0 nếu n=3k} \\ \text{1 nếu n=3k+2} \\ \text{2 nếu n=3k+1} \end{matrix}\right.$

NTP

Câu 5: (1 điểm)
Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình
$(x+y)^4=40y+1$
 

ta có $2(x+y)^2\leq (x+y)^3=\frac{40y+1}{x+y}<40\Rightarrow x+y<4$

mà $40y+1$ lẻ nên $x+y$ lẻ do đó $x+y=3$

tới đây tìm được $y=2$

vậy $\boxed{x=1,y=2}$

NTP

Cho x,y nguyên thỏa mãn $\frac{1-x^2}{1+y}+\frac{1-y^2}{1+x}$ là số nguyên.
CMR: $(x^2y^2-1)\vdots (x+1)$

đặt $\frac{1-x^2}{1+y}=\frac{a}{b},\frac{1-y^2}{1+x}=\frac{c}{d}$với $a,b,c,d\in \mathbb{Z}$và $(a,b)=1,(c,d)=1$

ta có $\frac{1-x^2}{1+y}+\frac{1-y^2}{1+x}=\frac{ad+bc}{ad}\in \mathbb{Z}\Rightarrow (ad+bc)\vdots a\Rightarrow bc\vdots a\Rightarrow c\vdots a$  $(1)$

mà $\frac{a}{b}.\frac{c}{d}=(1-x)(1-y)\in \mathbb{Z}\Rightarrow ac\vdots d\Rightarrow a\vdots d$                       $(2)$

từ $(1)$ và $(2)$ ta có $c\vdots d\Rightarrow d=1\Rightarrow (1-y^2)\vdots (1+x)$

do đó $x^2y^2-1=x^2(y^2-1)+x^2-1\vdots (x+1)$

vậy $\boxed{(x^2y^2-1)\vdots (x+1)}$

NTP

Cái này là định nghĩa rồi anh.

đó là định lí mà em

NTP

BCDE nội tiếp (O)

nhầm đề

phải là tứ giác điều hòa

NTP

Cho các số a,b,c$\epsilon Z+$ sao cho $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}$

chứng minh rằng nếu c>1 thì a+c, b+c không thể đồng thời là số nguyên tố

xem ở đây

NTP

Cho $x \leq 1, x+y \geq 3$. Tìm GTNN của $B=3x^2+y^2+3xy$

đặt $x=1-a,x+y=3+b\Rightarrow a,b\geq 0$

ta có $B=3(1-a)^2+(2+a+b)^2+3(1-a)(2+a+b)=\left ( a-\frac{b}{2}-\frac{5}{2} \right )^2+\frac{3b^2}{4}+\frac{9b}{2}+\frac{27}{4}\geq \frac{27}{4}$

vậy $\boxed{B_{min}=\frac{27}{4}\Leftrightarrow x=\frac{-3}{2},y=\frac{9}{2}}$

NTP

Cho $P=3^{3m^2+6n-61}+4$. Tìm tất cả các số tự nhiên m,n để P là số nguyên tố.

$\blacksquare$ với $3m^2+6n-61<0$ thì $P$ không phải số nguyên

$\blacksquare$ với $3m^2+6n-61=0$ thì vô lí do $61\not \vdots 3$

$\blacksquare$ với $3m^2+61-61=1$ thì vô lí do $61\not \vdots 3$

$\blacksquare$ với $3m^2+6n-61\geq 2$

đặt $3m^2+6m-61=3k+2(k\in \mathbb{N})$

do đó $P=3^{3k+2}+4=27^k.9+4\equiv 9+4\equiv 0(mod13)$

mà $P$ nguyên tố nên $P=13$

do đó $3m^2+6n-61=2$

tới đây tìm được $m,n$

vậy $\boxed{(m,n)\in \left \{ (1,10),(3,6) \right \}}$

NTP

Tìm tất cả các giá trị nguyên dương của x để $x^4+x^3+1$ là số chính phuơng

xem ở đây

NTP

Cho $k,n$ là các số nguyên dương với $n>2$  và $x,y\in \mathbb{N}^*$

CMR phương trình $x^n-y^n=2^k$ vô nghiệm

NTP

 

Cho hình bình hành ABCD.

Các điểm X,Y,Z,T theo thứ tự thuộc các cạnh DA,AB,BC,DC sao cho:

$\frac{\bar{AX}}{\bar{AD}}=\frac{\bar{BY}}{\bar{BA}}=\frac{\bar{CZ}}{\bar{CB}}=\frac{\bar{DT}}{\bar{DC}}$

Các đường thẳng $\Delta _{1},\Delta _{2},\Delta _{3}$ theo thứ tự qua A,B,C và lần lượt song song với XT,YT,ZT 

CMR: $\Delta _{1},\Delta _{2},\Delta _{3}$ đồng quy

 

-Câu 4- Đề thi tháng lớp 10 Toán THPT chuyên Nguyễn Trãi

 

bài $44$ trong bài tọa độ vecto trên trục và một vài vấn đề có liên quan của tài liệu chuyên toán

NTP

Cho $a,b,c$ là ba cạnh trong một tam giác . CMR : 

$\frac{r}{R}\leq \frac{3(\sum ab)}{2(\sum a)^{2}}$ ( với $r,R$ lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác ABC. 

câu $T8$ đề bào THTT vừa rồi,không được đăng

NTP

Chứng minh cực kì dễ dàng: $k^4\equiv 0;1(mod16)\rightarrow VT=\sum x_1^4\equiv 0;1;2;;4;..;15(mod16)$

Mà VP chia cho $16$ dư 15 nên các số này lần lượt là các số lẻ.

Khi đó: $x_1=x_2=...=x_{15}=3$

mới được là số lẻ thôi em

còn chưa thể kết luận được

NTP

Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ để phương trình $x^n+(x+2)^n+(2-x)^n=0$ có nghiệm nguyên 

xem ở đây

NTP

Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình $9x^{2}+6x=y^{3}$

xem ở đây

NTP