Câu $2b$

Hệ pt $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{12x^2}{9x^2+4}=y & & \\ \frac{12y^2}{9y^2+4}=z & & \\ \frac{12z^2}{9z^2+4}=x & & \end{matrix}\right.$

ĐK: $x,y,z>0$

Xét hàm $f_{(t)}=\frac{12t^2}{9t^2+4}$ với $t>0$

Lấy $t_1;t_2 \in (0;+\infty )$, $t_1 \neq t_2$

Xét thương $\frac{f(t_2)-f(t_1)}{t_2-t_1}=\frac{48(t_1+t_2)}{(9t_1^2+4)(9t_2^2+4)}>0$

$\Rightarrow$ Hàm số đồng biến trên $(0;+\infty )$

Hệ trên $\left\{\begin{matrix} f(x)=y & & \\ f(y)=z & & \\ f(z)=x & & \end{matrix}\right.$

Không mất tính tổng quát. Giả sử $x \geq y \geq z$. Ta có

$y\geq z\Rightarrow f(y) \geq f(z)\Leftrightarrow z\geq x \Rightarrow x=z$

$x\geq z\Rightarrow f(x)\geq f(z)\Leftrightarrow y\geq x\Rightarrow x=y$

Vậy ta có $x=y=z$

Thay vào cần giải pt $12x^2=x(4+9x^2)\Leftrightarrow 9x^2-12x+4=0\Leftrightarrow x=\frac{3}{2}$ (tmđk)

Kết luận:

Vậy hệ pt đã cho có nghiệm $(x;y;z)=(\frac{3}{2};\frac{3}{2};\frac{3}{2})$

đề thi hsg

đa thức

Bị sai bước bạn nhá!

Mẫu số= $(x_1+x_2)^2-8x_1x_2$ mới đúng.

Min là -2 khi m=1.

uhm. bt rồi. Nhầm. 

 

Sở giáo dục đào tạo Lào Cai

Đề thi vào lớp 10 chuyên Toán năm học 2014-2015

Ngày thi: 24/06/2014

 

Câu 2. (2,0 điểm).

Cho phương trình: $x^2-2mx+m-2=0~~(1)$ $(x$ là ẩn $)$

1. Cmr phương trình $(1)$ luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi $m$

2. Gọi $x_1;x_2$ là hai nghiệm của phương trình $(1)$

Tìm $m$ để biểu thức $M=\frac{-24}{2mx_1+x_2^2-6x_1x_2-m+2}$ đạt giá trị nhỏ nhất

 

2.1 $\Delta =(2m-1)^2+7>0 \Rightarrow $ pt có 2 nghiệm phân biệt

2.2 Theo hệ thức viet, ta có :$x1+x2=2m; x1*x2=m-2$

$2mx_{1}+x_{_{2}}^2-6x_{1}x_{2}-m+2=(x_{1}+x_{2})x_{1}+x_{2}^2-6x_{1}x_{2}-x_{1}x_{2}=(x_{1}+x_{2})^2-4x_{1}x_{2}=(2m-1)^2+7\geqslant 7$

 $M=\frac{-24}{2mx_1+x_2^2-6x_1x_2-m+2}\geqslant \frac{-24}{7}$

dấu = xảy ra khi m=$\frac{1}{2}$

Viet Hoang 99

Chú ý $\LaTeX$, có thể kẹp $ vào một công thức dài ví dụ như

$a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca$

Chứ không phải là

$a^2$+$b^2$+$c^2$$\geq$$ab$+$bc$+$ca$

Không kẹp $ vào tiếng Việt có dấu

Đề thi thử tốt nghiệp THPT - Quốc Học Huế 2014-2015

đề thi cấp tỉnh nè mn

Bài 3: Cho dãy số $u_{n}$ xác định

 $\left\{\begin{matrix}u_{1}=1 \\ u_{n+1}=5u_{n}+\sqrt{Ku_{n}^{2}-8} \end{matrix}\right.$
Tìm K nguyên dương sao cho mọi số hạng của dãy $u_{n}$ đềulà số nguyên

$U_2=5+ \sqrt{k-8}$

$\sqrt{k-8}=t^2$

$u_3= 25+5t +\sqrt{(t^2+8)(t+5)^2-8)} \Rightarrow (t^2+8)(t+5)^2-8$ la so chinh phuong

rồi ((t^2+8)(t+5)^2-8 chặn giữa 2 số chính phương là (t^2 +5t +4)^2 và (t^2+5t+14)^2

t=4

k=24

thử lại vs k=24 thi $U_n = 10U_n-1 - U_n-2 là 1 số nguyên

Bài 2/

Theo gt, có: $\left\{\begin{matrix} x-1+9\vdots 3\\ x-6+14\vdots 7 \end{matrix}\right.\rightarrow x=21k-8=42h-8$

Đến đây thì dễ!!!

có cách khác nữa nè :v

Ta có (2;3) =(2;7)= (3,7)=1 nên hệ có nghiệm duy nhất

m= 2*3*7=42

m_1= 3*7=21            m_2=2*7 =14       m_3=2*3=6

$21 y\equiv 1 (mod2)$

$y\equiv 1 (mod2) chọn y_1 =1$

$14y\equiv 1 (mod 3)$

$y\equiv 2 ( mod 3 ) chọn y_2 =2$

6$y\equiv 1 (mod 7)$

y\$equiv 6 (mod 7)  chọn y_3 =6$

Vậy hệ có nghiệm là

$21* 0* 1 +14*2*1 +6*6* (-1)  \equiv 34 (mod 42)$

Bài 7, cho $f(x)=x^{2n}+a_{2n-1}x^{2n-1}+...+a_1x+a_0$

n thuộc N*, a_i thuộc R

C/m rằng : $f(x)=(p(x))^2+ r(x)$ với p(x), r(x) thuộc R[x]và bậc deg(x) <n

Bài 8, cho $\alpha \epsilon R$ sao cho $\alpha \neq 0$:

C/m rằng mọi $x\geqslant 2$ thì:  $p(x)= x^nsin\alpha -x(sin(n\alpha))+sin(n-1)\alpha \vdots x^2-2xcos\alpha+1$

Bài 9, P(x), Q(x),R(x),S(x) thuộc R[x]sao cho:

$P(x^5)+xQ(x^5)+x^2 R(x^5)= (x^4+x^3+x^2+x+1)S(x)$

C/m: $p(x)\vdots (x-1)$

cho $x\geq y\geq z> 0$. Chứng minh

 $x\sqrt{x^{2}-xy+y^{2}}+y\sqrt{x^{2}-xz+z^{2}}+z\sqrt{z^{2}-yz+y^{2}}\geq x^{2}+y^{2}+z^{2} 

bài thi chuyển lớp năm ngoái nì

Chứng minh $\forall x\in \mathbb{R}$ ta có: $[x]+[x+\frac{1}{2}]=[2x]$

TH1 : nếu $0\leqslant \left \{ x \right \}< \frac{1}{2}$

 $[a+1/2]=[ [a]+ {a}+ 1/2]=[a]+ [ { a }+1/2]=[a]$

$[2a]=[2[a]+2{a}]=2[a]+[2{a }]=2[a]$

=>$[x]+[x+\frac{1}{2}]=[2x]$

TH2:  nếu $1/2 \leqslant \left \{ x \right \}< 1$

$[a+1/2]=[[a]+ { a}+1/2]=[a]+[{a}+1/2]=[a]+1$$

$[2a]=[2[a]+2{a}]=2[a]+[2 { a } ]=2[a]+1$

 =>$[x]+[x+\frac{1}{2}]=[2x]$

a,b>0. CMR: $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$

$x,y,z\geqslant 0.CMR:\sum \sqrt{\frac{x}{x+y+7z}}\geqslant 1$

Bạn trình bày rõ hơn được không

quá dễ hiểu nhất rồi :3

Câu b nè ;v

$gt=>u> x,y,z\Rightarrow u!\vdots x!;....\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x!+y!\vdots z!\\ y!+z!\vdots x!\\ x!+z!\vdots y! \end{matrix}\right.\Rightarrow x=y=z=2;u=3$

Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình

a) $x!+y!=(x+y)!$

b) $x!+y!+z!=u!$

Spoiler

Mấy bài tập đề nghị trong cuốn Chuyên đề số học VMF khó quá

$(a):(x+y)!\vdots x!\Rightarrow y\vdots x;x\vdots y\Rightarrow x=y\Rightarrow 2.x!=(2x)!\Rightarrow x=1$

dùng BĐT Minkowski

làm ntn ???

làm đi bạn

Cho x,y là các số thực thay đổi. Tìm Min: $S=3\sqrt{x^2+y^2}+4\sqrt{x^2+y^2-8y+16}+5\sqrt{x^2+y^2-6x+9}$

Cho $a,b,c\geq 0$ thỏa mãn $a+b+c\geq 12$

Tìm GTNN của $P=\sum \frac{a^{3}}{\sqrt{ab}+2\sqrt{1+c\sqrt{c}}}$

$P=\sum \frac{a^3}{\sqrt{ab}+2\sqrt{(\sqrt{c}+1)(c-\sqrt{c}+1)}}\geqslant \sum \frac{a^3}{\sqrt{ab}+c+2}\geqslant \sum \frac{a^3}{\frac{a+b}{2}+c+2}\geqslant \frac{(\sum a^2)^2}{\frac{\sum a^2+3\sum ab}{2}+2\sum a}\geqslant \frac{(\sum a^2)^2}{\frac{9}{4}.\sum a^2+12}=\frac{t^2}{\frac{9}{4}t+12}\geqslant \frac{96}{5}\Leftrightarrow (t-48)(t+4.8)\geqslant 0(true:t=\sum a^2\geqslant \frac{(\sum a)^2}{3}\geqslant 48)$

1/  Cho dãy: $n\in {0;1;2;..} .U_n=\frac{(2+\sqrt{3})^n-(2-\sqrt{3})^n}{2\sqrt{3}}$

CM $U_n$ luôn nguyên.

Tìm n nguyên để $U_n$ chia hết 3.

2/

$a_0=2;a_{n+1}=4.a_n+\sqrt{15a^2-60};n\in N^*$

Xác định Công thức tổng quát $U_n$.

CMR: $\frac{1}{5}(a_{2n}+8)$ biểu diễn đc dưới dạng bình phương 3 số nguyên 

Chú ý đọc kĩ đề câu 1 nha!!!

Trên tử mình đã fix

Cách khác ntn:

$\frac{1}{1+x}=\frac{1+m}{2};\frac{1}{1+y}=\frac{1+n}{2};\frac{1}{1+z}=\frac{1+p}{2}\Rightarrow m+n+p+mnp=0;ine\Leftrightarrow \sum (\frac{m+1}{2})^2+\frac{\prod (m+1)}{4}\geqslant 1\Leftrightarrow m^2+n^2+p^2+m^2n^2p^2\geqslant 4mnp$

Đúng theo $AM-GM$ $4$ số. :v

$a,b,c>0.CMR:\sum \frac{a^2}{(a+b)^2}+\frac{2abc}{\prod (a+b)}\geqslant 1$

Lời giải bằng $pqr$ rất đơn giản cho: $p\geqslant 4\geqslant q$

Với $p<4$ thì dùng pqr quá đơn giản rùi :v

Dùng pqr, 

Cho $a,b,c\geqslant 0:ab+ac+bc+abc=4.CMR:\sum a\geqslant \sum ab$