Đề thi chọn đội tuyển dự thi HSG Quốc gia Tỉnh Hải Dương 2015-2016

(thời gian: 180 phút)

Câu I:(5 điểm)

   Cho dãy số {$y_n$} thỏa mãn: $y_{1}>0, y^2_{n+1}=y_{1}+y_{2}+...+y_{n}$ với $n \geq 1$. CMR: dãy số {$\frac{y_{n}}{n}$} có giới hạn và tìm giới hạn đó.

Câu II:(6 điểm)

   1, Cho tam giác ABC nội tiếp (O). Một đường tròn tiếp xúc với tia AB,AC lần lượt tại E và F, đồng thời tiếp xúc trong với đường tròn (O) tại T. Tiếp tuyến tại A và T với (O) cắt nhau tại K. Đường thẳng TE cắt (O) tại điểm M khác T. CMR: K,M,N thẳng hàng.

   2, Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) có đường kính AC vuông góc với BD tại điểm H. Gọi I,J,K,L lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên các đường thẳng AB,BC,CD,DA. Biết IK và JL đều không đi qua H. CMR: giao điểm của IK và JL nằm trên OH.

Câu III:(4 điểm)

   Cho số nguyên dương m và số nguyên tố p với p>m. CMR: số các số nguyên dương n sao cho đa thức $f(x)=mx^2 - (m + n - p)x + n$ có nghiệm hữu tỉ bằng số ước nguyên dương của m.

Câu IV:(5 điểm)

   Cho một dãy 2016 ô vuông kề nhau xếp thành một hàng dài. Có bao nhiêu cách điền các số 1,2,3,4,5 vào các ô vuông đó sao cho mỗi ô vuông chỉ điền một số và hiệu hai số trong hai ô kề nhau chỉ nhận giá trị là 1 hoặc -1.

Mình nghĩ đề là $8c+1$

 

$\Leftrightarrow 3c^2-c(a+b)-ab$
 
Theo viét: $\left\{\begin{matrix} c_1+c_2= \frac{a+b}{3} & & \\ c_1.c_2= \frac{-ab}{3}& & \end{matrix}\right.$
 
$\rightarrow 3 \mid a,b$.  Do đó: $a-b=3$ vì $a-b$ nguyên tố. Nên $a>b$
 
$3c^2=ab+ac+bc < a^2+ac+ac =a^2+2ac \Rightarrow (a+c)^2  >4c^2 \Rightarrow a >c$
$3c^2=ab+ac+bc >b^2+bc+bc =b^2+2bc \Rightarrow (b+c)^2 <4c^2 \Rightarrow b<c$
 
Vậy $a>c>b \Rightarrow a-b>c-b>0 \Rightarrow 3 >c-b>0 \Rightarrow c-b =2$ hoặc $c-b=1$

 

TH1

Nếu $c-b=1$ thì $a-c=2$

 

$3c^2=c(a-b+2b)+ba=3c+b(2c+a)=3c+(c-1)(a-c+3c)=3c+(c-1)(2+3c) 3c \Rightarrow c=-2$ loại

 

TH2

Nếu $c-b=2$ thì tương tự trên $3c^2=3c+(c-2)(3c+1)$

tìm được $c=1$

 

Vậy $8c+1=9$ là số chính phương

ừ, cám ơn bạn, mình nhầm, mình đã sửa

Cho các số a,b,c tự nhiên và (a - b) là số nguyên tố thỏa mãn: $3.c^2=c.(a+b)+ab$

CMR: 8c + 1 là số chính phương

Đề thi HSG lớp 12 vòng 1 tỉnh Hải Dương năm học 2015-2016

(thời gian:180 phút)

Câu I: 

   1, Cho hàm số $y=x^{3}-3(1-2m)x-2$. Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục Ox tại đúng 1 điểm

   2, Cho hàm số $y=x^4-2(m+1)x^2+2$. Tìm m để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị tạo thành 1 tam giác có đường tròn ngoại tiếp đi qua điểm $M(\frac{\sqrt{3}}{2};\frac{1}{2})$

Câu II:

   1, Giải hệ phương trình: $3x^2-2x-5+2x\sqrt{x^2+1}=2(y+1)\sqrt{y^2+2y+2}$

                                       $2x-4y+3=x^2+2y^2$   

   2, Giải bất phương trình: $2+3\sqrt{x^2+x}.\sqrt{x-2} \leq 2(x^2-3x)$

Câu III: 

   1, Có 2 hộp đựng bi, mỗi viên bi chỉ mang 1 màu trắng hoặc đen.Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp đúng 1 viên bi

        a, Biết rằng hộp thứ nhất có 20 viên bi, trong đó có 7 viên đen. Hộp thứ 2 có 15 viên bi trong đó có 10 bi đen. Tính xác suất để lấy được 2 viên bi đen

        b, Biết tổng số bi ở 2 hộp là 20 và xác suất để lấy được 2 viên đen là $\frac{55}{84}$.Tính xác suất để lấy được 2 viên trắng

   2, Cho dãy số $U_{n}$ thỏa mãn: $U_{1}=-1$; $U_{n+1}=\frac{U_{n}}{2}+\frac{2}{U_{n}}$ (với n nguyên dương) và dãy số $V_{n}$ thỏa mãn: $U_{n}V_{n}-U_{n}+2V_{n}+2=0$. Tính $V_{n}$ và lim$U_{n}$

Câu IV: 

   1, Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, góc BAD=120 độ, BD=a>0, cạnh bên SA vuông góc với mp(ABCD), góc giữa mp(SCB) và (ABCD)=60 độ, Điểm K thay đổi trên đoạn SC.

        a, Tìm các vị trí của K sao cho tam giác BKD lần lượt có diện tích nhỏ nhất , lớn nhất.

        b, Khi K là điểm sao cho diện tích tam giác BKD nhỏ nhất. Tính tỉ số thể tích 2 khối đa diện do mặt phẳng (BKD) chia khối chóp S.ABCD

   2, Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có AB=AA'=a. Điểm M thay đổi trên đường thẳng AB sao cho mặt phẳng qua M, vuông góc với AB cắt đường thẳng BC' tại điểm N trên BC'. Xác định vị trí của M để biểu thức $2AM^2+MN^2$ min

Câu V:

Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn abc=1.CMR:

$\frac{b^2}{(ab+2)(2ab+2)}+\frac{c^2}{(bc+2)(2bc+2)}+\frac{a^2}{(ac+2)(2ac+2)} \geq \frac{1}{3}$

Cho S ABCD. Đáy là ABCD. M,N lần lượt là trung điểm của AB, SC. I,J lần lượt là giao của (SBD) với AM,MN. Tìm các tỉ số $\frac{IA}{IN};\frac{JB}{IJ};\frac{IB}{IA}$

Sai đề rồi bạn ơi 

Em mới học hình học không gian mọi người giúp em bài này với:

Cho hình chóp S ABC. Trong các miềm SAB, SBC, SCA lần lượt lấy L,M,N sao cho MN,NL,LM đều cắt (ABC)

a. Xác định giao điểm I,J,K của (ABC) theo thứ tự với LM,MN,NL.

b. Xác định thiết diện của hình chóp S ABC qua L,M,N.

Bạn tự vẽ hình hộ mình nha   

a. Kéo dài SL cắt AB tại P

                 SN cắt AC tại Q

     Ta thấy P,Q thuộc mp(ABC) mà chúng lại đồng phẳng với L,N nên ta kéo dài LN và PQ cắt nhau tại điểm K (điểm cần tìm)

   Làm tương tự với các điểm I,J còn lại

b. Áp dụng câu a ta được 3 điểm I,J,K 

   Ta có I,J,K cùng thuộc mp(ABC) đồng thời chúng cx thuộc mp(MNL) nên 

     + Ta kéo dài AC cắt IK tại 1 điểm gọi là X, kẻ NX cắt SC tại giao điểm thứ nhất

     + kéo dài BC cắt IJ tại 1 điểm gọi là Y, kẻ MY cắt SB tại giao điểm thứ hai

      làm tt được giao điểm thứ ba

Được 3 giao điểm trên ==> thiết diện !

Cho tứ giác ABCD thỏa mãn $\widehat{DAB}=\widehat{ABC}=\widehat{BCD}$. Gọi I,J là tâm đường trong nội tiếp $\Delta$ ABC và $\Delta$ ACD.Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta$ ABC CMR: I,J,O thẳng hàng

 

 

Có cách nào làm theo kiểu lớp 11 phép biến hình không bạn

Bài này dễ ko cần phải biến hình đâu bạn, cho phức tạp ra   

Cho hình vuông MNPQ cạnh a, K thuộc MN, H thuộc MP sao cho KH song song NP. Tìm K, H để OK+KH+HN min. Tính trị trị nhỏ nhất đó

Làm thế này nha bạn

Lấy G là trung điểm MN.

Ta có: tứ giác OKNH nội tiếp (do 2 góc =90 độ)

==> $\frac{OK}{HN}=\frac{MO}{MN}=\frac{\sqrt{2}}{2} ==> HN=\sqrt{2}OK$

Lại có OK $\geq$ OG do tam giác OGK vuông tại G

Và tại K trùng với G thì KH min = 0 nên ta có:

OK+KH+HN $\geq (1+\sqrt{2})OG =\frac{a}{2}(1+\sqrt{2})$

tại K là trung điểm MN và H trùng với O!

Dùng công thức phân giác :3

chưa được     

Cho hình vuông MNPQ cạnh a, K thuộc MN, H thuộc MP sao cho KH song song NP. Tìm K, H để OK+KH+HN min. Tính trị trị nhỏ nhất đó

Đây là điểm Q, hay là giao 2 đường chéo hả bạn??

Cho tam giác nhọn ABC. M di động trên đoạn BC và không trùng B và C. Vẽ ME, MF lần lượt vuông góc AB, AC tại E,F. Chứng minh EF không thể đi qua trực tâm H của tam giác ABC.

Thông cảm cho mình vì mình ko up đc hình lên, bạn vẽ theo hình của mình nhé   

Kẻ các đường cao AD,BI,CK

Giả sử E,H,F thẳng hàng, ta cm điều này sai

Ta có:+, góc EHB = IHF                                                                                               (1)

          +, góc EHB = BHK - KHE = BAC - KHE = BAC - 90 + KEH = BAC - 90 + AMF (2)

          +, góc IHF = BAC - KHE                                                                                    (3)

Từ (1),(2) và (3) ==> góc AMF - 90 = KHE hay AMF = 90 + KHE ==> góc AMF tù ==> vô lí (vì tam giác ABC nhọn) ==> giả sử sai

==> đpcm   

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Trên cung nhỏ $AC$ lấy điểm $M$ bất kì. Từ $M$ hạt $MD \bot AC$ và $ME \bot BC$. Gọi $K$ là trung điểm $DE$, $N$ là trung điểm $AB$. Chứng minh rằng $KM \bot KN$.

À mình quên chưa nhắc đến điều này: 

Ta còn có thể tổng quát hóa bài toán hơn, đó là cho K,N thuộc DE và AB nhưng có $\frac{DE}{DK}=\frac{AB}{AN}=k$ (với k thực bất kì) thì ta vẫn có KM $\bot$ KN và trường hợp của bạn ở trên là k=2   

Cho hình chóp SABCD. Trên SA, SB lấy các điểm M, N sao cho SM=2SA, NB=2NS. Gọi trung điểm DC là Q. Xác định thiết diện tạo bởi hình chóp và mặt phẳng (MNQ)

Bạn tự vẽ hình hộ mình nhé:

Trước hết ta có thể xác định điểm M nằm ngoài SA và N thuộc đoạn SB

Có M,N thuộc cùng mp(SAB) nên ta nối M và N cắt AB tại G ==> được điểm thứ nhất  (1)

Tiếp theo ta xác định giao điểm với SC

hay chính là xác định mp(MNQ) giao với mp(SBC) 

có N là giao điểm thứ nhất rồi, Kéo dài GQ cắt BC tại K (do GQ đồng phẳng với BC)

Kẻ NK cắt SC tại H ==> được điểm thứ hai(2)

Từ (1) và (2) ==> thiết diện 

Ngoài ra ta còn tính được $AG=\frac{BG}{4}$ do áp dụng Menelauys vào tam giác SAB có M,G,N thẳng hàng   

cho tam giác ABC, kẻ AH vuông góc với BC. Gọi C' là điểm đối xứng của H qua AB, B' là điểm đối xứng của H qua AC. Gọi giao điểm của B'C' với AC và AB theo thứ tự tại I, K. Chứng minh BI, CK là các đường cao của tam giác ABC

Cách 2: dùng tứ giác nội tiếp:

Có tứ giác ACBH nội tiếp đ tròn đường kính AB

Lại có: góc AC'B'=AB'C' do tam giác cân AB'C'

mà góc AB'C'=AHI do đối xứng nên tứ giác AC'HI nội tiếp ==> tứ giác AC'BI nội tiếp đ tròn đường kính AB ==> góc AIB=90 độ ==> đpcm

Làm tương tự ta cx được AKC = 90 độ   

Mình nghĩ là cách này nhanh hơn dùng tam giác đồng dạng!

Từ điểm M ở ngoài đường tròn (O ; R) sao cho OM = 2R, vẽ hai tiếp tuyến MA, MB (A, B là hai tiếp điểm). Từ điểm I bất kì trên cung nhỏ AB vẽ tiếp tuyến với đường tròn (O ; R) cắt MA, MB lần lượt tại P và Q. Tính diện tích tam giác MPQ theo R.

Có: góc MOA =60 độ ==> $S_{MAO}=\sqrt{3}R^2$

$S_{MPQ}=S_{MAOB} - S_{APQBO}=2.S_{MAO} - 2.S_{OPQ}=2\sqrt{3}R^2 - OP.OQ.sinPOQ=2\sqrt{3}R^2 - \frac{\sqrt{3}}{2}OP.OQ$                                                                                                   (1)

Bây giờ ta đi tính OP.OQ.

Đặt góc IOA=a, IOB=b

$OP.OQ=\frac{R}{cosIOQ}.\frac{R}{cosIOP}=\frac{R^2}{cos\frac{a}{2}.cos\frac{b}{2}}$ (2)

Thay (2) vào (1) ta đc diện tích MPQ (phụ thuộc vào cả 2 góc IOA và IOB, không chỉ là R) 

là sao vậy ??

Mình nghĩ là bạn nên nhờ MOD khóa topic này lại đi

Nếu ko lại bị Điểm Nhắc Nhở 

Cho tam giác với độ dài ba cạnh lần lượt là a,b,c có chu vi bằng 3.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

 

    A= a^3 +b^3 +c^3 +((căn 5))abc

Đây là bài trên THTT số tháng 9 vừa rồi   

Bạn nên nhờ MOD khóa topic này lại đi

CHO HÌNH THANG CÂN ABCD CÓ AB+CD=40cm, AD=20cm. TÌM CD?

Đề bài này ko đủ dữ kiện bạn ạ 

AB và CD có thể thay đổi, miễn tổng của chúng vẫn bằng 40

Mình nghĩ Đề cần có thêm góc đáy nữa 

Tình hình là thấy vecto thú vị và hay đc sử dụng đấy nhưng mình khó khăn khi làm BT C/M vecto này nọ. Chêm điểm rồi ác quy tắc...mình ko biết khi nào dùng, khi nào áp dụng quy tắc này quy tắc kia cho nó phù hợp... Mong các bạn giỏi vecto định hướng mình cách học vecto tốt

Diễn đàn này giúp gì được cho chúng ta???

Cái này mình nghĩ là ko phải bàn cãi nữa 

Còn mục đích bạn lên diễn đàn VMF là gì thì tùy bạn       

Bạn lập nick khác này để làm j chứ   .....

mình cx ko nhớ lắm về USAMO-2003 ở đâu

hình như ở trong này, quan trọng là biết đc hướng làm

Bạn chuyển vế phải sang <==> $\sum\frac{(2a-b-c)(2a+b+c)}{9(5^2+(b+c)^2}$

Tách (2a+b+c)=(a+b)+(a+c) sau đó tách tiếp từng hạng tử rồi nhóm có chung (a+b);(b+c);(c+a) rồi phân tích tiếp theo SOS hoi 

Với a,b,c $\geq$ 0 và không có bất kì 2 số nào đồng thời bằng 0 . CMR : 

$\frac{a^2}{5a^2+(b+c)^2} + \frac{b^2}{5a^2+(b+c)^2} + \frac{c^2}{5c^2 +(a+b)^2} \leq \frac{1}{3}$

Bài này nhang nhác bài USAMO-2003

Cơ mà cx dùng S-O-S đó bạn 

Cho tam giác ABC.CMR: $\sum\frac{1}{l_{a}} \geq \frac{2}{\sqrt{3}}.\sum\frac{1}{a}$

Chế được bài này, các bạn giải thử xem   

cx ko phải áp dụng CT là ra ngay đc đâu   

Chứng minh định lý đơ dác thứ nhất trong mặt phẳng xạ ảnh bằng nhiều cách khác nhau.

Chứng minh định lý về bốn đỉnh toàn phần trong mặt phẳng xạ ảnh bằng các cách khác nhau.

Bạn có thể xem ở đây, có hết nè