JayVuTF nội dung

Javascript bị vô hiệu

Javascript bị vô hiệu, một vài chức năng sẽ không hoạt động. Vui lòng bật lại Javascript để sử dụng đầy đủ các chức năng.

Có 63 mục bởi JayVuTF (Tìm giới hạn từ 22-05-2020)

Theo nội dung

Xem thành viên

Trang 2 / 3

Sắp theo

Sắp xếp

#552196 $\sum \frac{x^3}{(1+y)(1+z)}\geq...

Đã gửi bởi JayVuTF on 07-04-2015 - 20:05 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho $x,y,z> 0;xyz=1.$

$CM:\frac{x^3}{(1+y)(1+z)}+\frac{y^3}{(1+z)(1+x)}+\frac{z^3}{(1+x)(1+y)}\geq \frac{3}{4}$

$VT =\sum \dfrac{x^4}{1+yz+zx+x} \ge \dfrac{(\sum x^2)^2}{3+2\sum xy+\sum x}$

Áp dụng $\sum xy \le \dfrac{(\sum x)^2}{3} \le \sum x^2$

$VT \ge \dfrac{(\sum x)^4}{27+6(\sum x)^2+9\sum x} =\dfrac{1}{\dfrac{27}{(\sum x)^4}+\dfrac{6}{(\sum x)^2}+\dfrac{9}{(\sum x)^3}}$

$\sum x \ge 3$

Thế vào là có ngay điều cần chứng minh .

Nguồn : HM

#552094 Chứng minh $\cos\frac{\pi}{7}+\c...

Đã gửi bởi JayVuTF on 07-04-2015 - 14:45 trong Công thức lượng giác, hàm số lượng giác

Uả mà bạn ơi, câu a bân làm là $\sin A+\sin B+\sin C$ mà @@
Ờ đây là nhân, không biết đề trong sách có sai không nhưng thấy ai cũng bảo là cộng hết...

Bạn đang làm là sinA+sinB+sinC chứ ko fai là sinA.sinB.sinC .Mà tớ thấy cộng ms đúng Vito Khang Scaletta nên xem lại đề.

Đề phải sửa lại mới đúng

#551966 Chứng minh $\cos\frac{\pi}{7}+\c...

Đã gửi bởi JayVuTF on 06-04-2015 - 21:27 trong Công thức lượng giác, hàm số lượng giác

2) Cho $\Delta ABC$. Chứng minh rằng:

$\sin A\sin B\sin C=4\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}\cos\frac{C}{2}$

và

$\cos A+\cos B+\cos C=1+4\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}$

với $A,B,C$ là các góc của $\Delta ABC$.

a/$sin A+ sin B +sin C=2sin\frac{A+B}{2}cos\frac{A-B}{2}+sinC$

=$2sin(\frac{\pi }{2}-\frac{C}{2})cos\frac{A-B}{2}+2sin\frac{C}{2}cos\frac{C}{2}$

=$2cos\frac{C}{2}(cos\frac{A-B}{2}+sin\frac{C}{2})$

=$2cos\frac{C}{2}(cos\frac{A-B}{2}+cos\frac{A+B}{2})=4\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}\cos\frac{C}{2}$

b/ TT

#549900 Chứng minh với $a,b,c$ không âm thì $abc\geq (a+b-c)(b+c-...

Đã gửi bởi JayVuTF on 28-03-2015 - 20:21 trong Bất đẳng thức và cực trị

Áp dụng bất đẳng thức phụ $xy\leq \frac{(x+y)^2}{4} $ ta có

$(a+b-c)(a+c-b)\leq \frac{(a+b-c+a+c-b)^2}{4}=a^2 $

Lập các BĐT tương tự nhân lại có đpcm

Đã chắc bộ 3 số $(a+b-c ; a+c-b ; b+c-a)$ không âm chưa mà dùng Cosi

Theo mình bài phải thêm đk $a ;b; c$ là 3 cạnh tam giác

#548599 Chứng minh $\sum_{cyc}^{a; b; c}\sqrt...

Đã gửi bởi JayVuTF on 21-03-2015 - 21:43 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho $a; b; c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=1006$ . Chứng minh:

$\sum_{cyc}^{a; b; c}\sqrt{2012+\frac{(b-c)^2}{2}}\leq 2012\sqrt{2}$

Trước hết có

$$ 2a \left( a+b+c \right)+\frac{\left( b-c \right)^2}{2} - \left( a \sqrt{2} + \frac{b+c}{\sqrt{2}} \right)^2 =-2bc \le 0 $$

Như vậy

$$ \sqrt{ 2012 a + \frac{\left( b-c \right)^2}{2} } \le a \sqrt{2} + \frac{b+c}{\sqrt{2}} $$

Tương tự cho hai biểu thức còn lại , suy ra

$$ \sqrt{ 2012 a + \frac{\left( b-c \right)^2}{2} } + \sqrt{ 2012 b + \frac{\left( c-a \right)^2}{2} } + \sqrt{ 2012 c + \frac{\left( a-b \right)^2}{2} } \le 2 \sqrt{2} \left( a+b+c \right)=2012 \sqrt{2} $$

Nguồn HM

#548454 Cho a, b, c$> 0$ ; abc=1. Tìm GTLN: $\frac{1...

Đã gửi bởi JayVuTF on 20-03-2015 - 21:51 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho a, b, c$> 0$ ; abc=1. Tìm GTLN: $\frac{1}{a+2b+3}+\frac{1}{b+2c+3}+\frac{1}{c+2a+3}$

$a^2+b^2+c^2\geq 3\sqrt{a^2b^2c^2}=3$

Ta có: $a^2+2b+3=a^2+2b+1+2 \geq 2(a+b+1)$

Tương tự ta được:

$VT \leq \dfrac{1}{2}(\dfrac{a}{a+b+1}+\dfrac{b}{b+c+1} + \dfrac{c}{c+a+1)}$

Ta sẽ cm $\dfrac{a}{a+b+1}+\dfrac{b}{b+c+1}+\dfrac{c}{c+a+1} \leq 1$

$\Leftrightarrow \dfrac{-b-1}{a+b+1}+\dfrac{-c-1}{b+c+1}+\dfrac{-a-1}{c+a+1} \leq -2$

$\Leftrightarrow \dfrac{b+1}{a+b+1}+\dfrac{c+1}{b+c+1}+\dfrac{a+1}{c+a+1} \geq 2$

$\Leftrightarrow \dfrac{(b+1)^2}{(b+1)(a+b+1)}+\dfrac{(c+1)^2}{(c+1)(b+c+1)}+\dfrac{(a+1)^2}{(a+1)(c+a+1)} \geq 2$ (*)

Theo Cauchy-Schwarz:

$VT(*) \geq \dfrac{(a+b+c+3)^2}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca+3(a+b+c)+3}$

Mà $a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca+3(a+b+c)+3\leq \dfrac{1}{2}[a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)+6(a+b+c)+9]$

$\leq \dfrac{1}{2}(a+b+c+3)^2$

$\Rightarrow VT(*) \geq 2=VP(*)$

Vậy bđt được cm

Nguon HM

#548045 $\sum \frac{1}{1+a^{2}(b+c)}...

Đã gửi bởi JayVuTF on 18-03-2015 - 20:06 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn: $ab+bc+ca=3$. Chứng minh rằng: $\frac{1}{1+a^{2}(b+c)}+\frac{1}{1+b^{2}(c+a)}+\frac{1}{1+c^{2}(a+b)}\leq \frac{1}{abc}$

$3=\sum ab \geq 3\sqrt{a^2b^2c^2}\rightarrow abc\leq 1$

$\frac{abc}{1+a^{2}(b+c)}=\frac{1}{\frac{1}{abc}+\frac{3}{bc}-1}\leq \frac{1}{\frac{1}{abc}+\frac{3}{bc}-1}\leq \frac{1}{\frac{3}{bc}}=\frac{bc}{3}$

$\rightarrow \sum \frac{abc}{1+a^{2}(b+c)}\leq \frac{1}{3}\sum ab=1$

$\rightarrow \sum \frac{1}{1+a^{2}(b+c)}\leq \frac{1}{abc}$

#548041 $\sum \frac{1}{1+a^{2}(b+c)}...

Đã gửi bởi JayVuTF on 18-03-2015 - 20:00 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn: $ab+bc+ca=3$. Chứng minh rằng: $\frac{1}{1+a^{2}(b+c)}+\frac{1}{1+b^{2}(c+a)}+\frac{1}{1+c^{2}(a+b)}\leq \frac{1}{abc}$

$3=\sum ab \geq 3\sqrt{a^2b^2c^2}\rightarrow abc\leq 1$

$1+a^{2}(b+c)\geq abc+a^{2}(b+c)=a.\sum ab=3a$

$\rightarrow \sum\frac{1}{1+a^{2}(b+c)}\leq \sum \frac{1}{3a}=\frac{1}{3}.\frac{\sum ab}{abc}=\frac{1}{abc}$

#547895 Đề thi học sinh giỏi trường QL I năm học 2014-2015

Đã gửi bởi JayVuTF on 17-03-2015 - 22:35 trong Tài liệu tham khảo khác

Câu 4:

2. Cho $a,b\in \mathbb{R}$ thỏa mãn: $(2+a)(1+b)=\frac{9}{2}$

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=\sqrt{16+a^{4}}+4\sqrt{1+b^{4}}$

$ P=\sqrt{16+a^{4}}+4\sqrt{1+b^{4}}\geq\sqrt{(4+4)^2+(a^2+(2b)^2)}$

$(2+a)(1+b)=\frac{9}{2}\leftrightarrow a+2b+ab=\frac{5}{2}$

$a^{2}+1\ge 2a$

$4b^{2}+1\geq 4b$

$\frac{1}{2}(4a^{2}+b^{2})\geq 2ab$

$\rightarrow \frac{3}{2}(a^{2}+4b^{2})\geq 2(a+2b+ab)-2=3$

$\rightarrow a^{2}+4b^{2}\geq 2$

thay vào $\rightarrow P\geq 2\sqrt{17}$

#547832 $\frac{a^{2}}{3}+b^{2}+c^...

Đã gửi bởi JayVuTF on 17-03-2015 - 20:51 trong Bất đẳng thức - Cực trị

2,Cho $a,b,c$ thỏa mãn $abc>1$ và $a^{3}>36$

Chứng minh $\frac{a^{2}}{3}+b^{2}+c^{2}> ab+bc+ca$

$VT-VP=\dfrac{a^{2}}{4}+b^{2}+c^{2}-ab-bc+2bc+\dfrac{a^{2}}{12}=(\dfrac{a}{2}-b-c)^{2}+\dfrac{a^{2}-36bc}{12}>0$

$\Rightarrow đpcm $

Cách khác:

Từ giả thiết suy ra $a>0và bc>0$. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

$\dfrac{a^2}{3}+(b+c)^2-3bc-a(b+c)\ge 0\\ \iff \dfrac{1}{3}+\left(\dfrac{b+c}{a}\right)^2-\dfrac{b+c}{a}-\dfrac{3}{a^3}\ge 0$

Vì $a^3>36 nên \dfrac{1}{3}+\left(\dfrac{b+c}{a}\right)^2-\dfrac{b+c}{a}-\dfrac{3}{a^3}> \left(\dfrac{b+c}{a}\right)^2-\dfrac{b+c}{a}+ \dfrac{1}{4}= \left(\dfrac{b+c}{a}-\dfrac{1}{2}\right)^2 >0 $

Bài này trong VMF có ,trong topic BDT của CD13

#547394 Cho $a;b;c> 0$ và: $\frac{1}{1+a}...

Đã gửi bởi JayVuTF on 15-03-2015 - 19:23 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho $a;b;c> 0$ và: $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}=2$. Tìm GTLN của abc

$\sum\dfrac{1}{a+1}=2 \Leftrightarrow \dfrac{\sum(a+1)(b+1)}{(a+1)(b+1)(c+1)}=2$

$\Leftrightarrow \sum(a+1)(b+1) =2(a+1)(b+1)(c+1)$

$\Leftrightarrow 1= 2abc+\sum ab$

Có $ ab+bc+ca \ge 3 \sqrt[3]{a^2b^2c^2}$ (*)

Đặt $\sqrt[3]{abc}=t \Rightarrow (*) \Leftrightarrow 1 \ge 2t^3+3t^2$

$\Leftrightarrow (t+1)^2(2t-1) \le 0 $

$ \Leftrightarrow t \le \dfrac{1}{2}$

$\Rightarrow abc \le \dfrac{1}{8} $

$\Rightarrow ◘$

#545645 Tìm GTNN của $Q=\frac{3}{x^{2}+2}-...

Đã gửi bởi JayVuTF on 23-02-2015 - 15:01 trong Bất đẳng thức - Cực trị

Tìm GTNN của $Q=\frac{3}{x^{2}+2}-\frac{12}{x^{2}+5}$

Đặt $x^{2}+2=a$

$\rightarrow Q=\frac{3}{a}-\frac{12}{a+3}=\frac{-9a+6}{a^2+3a}$

$\rightarrow Qa^{2}+(3Q+9)a-9=0$

Xét $\Delta=(3Q+9)^{2}+36Q=9Q^{2}+90Q+81$

$\Leftrightarrow \Delta \ge 0$

$\Leftrightarrow Q\ge -1 hoặc Q \le -9$

$\rightarrow min = -1$

#544361 $\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^...

Đã gửi bởi JayVuTF on 15-02-2015 - 21:54 trong Bất đẳng thức và cực trị

1,Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=2$ Chứng minh $\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{c+a}+\frac{c^{2}}{a+b}\geq 1$

Dùng Cosi cx ra $\frac{a^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}\geq a$

TT $\rightarrow$ ◘

#544143 Tìm GTNN của biểu thức $P=\dfrac{\sqrt{2}...

Đã gửi bởi JayVuTF on 14-02-2015 - 16:28 trong Bất đẳng thức và cực trị

$LHS\geq \frac{\sqrt{2}}{1+x}+\frac{2}{\sqrt{yz+1}}=\frac{\sqrt{2}}{1+x}+\frac{2}{\sqrt{\frac{1}{x}+1}}$

Đoạn này là sao nhở :lol:

#543977 Cho a,b,c >0. Chứng minh $\sum \frac{a}{a^...

Đã gửi bởi JayVuTF on 13-02-2015 - 15:57 trong Bất đẳng thức và cực trị

1.Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng $\sum \frac{a}{a^{2}+b+1}\leq 1$

BÀi này không có điều kiện gì à

Theo mình bài này phải có thêm $a+b+c=3$

#543905 $\sum \frac{a^{2}}{b+c}\geq...

Đã gửi bởi JayVuTF on 12-02-2015 - 20:57 trong Bất đẳng thức và cực trị

$\sum \frac{a^{2}}{b+c}\geq \frac{3}{2}$

Có a,b,c>0 và abc=1

$\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{a+c}+\frac{c^{2}}{b+a}\geq \frac{3}{2}$

Dùng BDT Cosi

$\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b+c}{4}\geq a$

TT rồi cộng theo vế

Về cơ bản nó cũng giống Cauchy cộng mẫu

#543689 $\frac{1}{x^{3}(y+z)}+\frac...

Đã gửi bởi JayVuTF on 10-02-2015 - 20:37 trong Bất đẳng thức - Cực trị

Bài 1

cho x,y,z>0 thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ Chứng minh $\frac{x}{y^{2}+z^{2}}+\frac{y}{x^{2}+z^{2}}+\frac{z}{x^{2}+y^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

AD cauchy

$a^2.(1-a^2)^2=\dfrac{1}{2}.2a^2.(1-a^2).(1-a^2) \leq \dfrac{1}{2}.(\dfrac{2a^2+1-a^2+1-a^2}{3})^3=\dfrac{4}{27}$

$\Leftrightarrow a.(1-a^2) \leq \dfrac{2}{3\sqrt{3}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{ a.(1-a^2)} \geq \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$

$\Leftrightarrow \dfrac{a^2}{a.(1-a^2)} \geq \dfrac{3\sqrt{3}a^2}{2}$

$\Leftrightarrow \dfrac{a^2}{b^2+c^2}\geq\dfrac{3\sqrt{3}a^2}{2}$

TT\Rightarrow dpcm

#543411 Chứng minh rằng $( ab^{2}+bc^{2} +ca^{2})(...

Đã gửi bởi JayVuTF on 08-02-2015 - 17:06 trong Bất đẳng thức và cực trị

Đặt $(a,b,c)=(z,y,x)$ thì bất đẳng thức giờ là $(xy+yz+zx)(x^2y+y^2z+z^2x)\leqslant 9$

Giả sử $y$ nằm giữa $x, z$ thì $(x^2y+y^2z+z^2x)(xy+yz+zx)\leqslant y(xy+yz+zx)(x^2+zx+z^2)\leqslant \dfrac{9y(x+z)^2}{4}\leqslant \dfrac{9(2x+2y+2z)^3}{27.8}=9$

LÀm theo Tam thức bậc 2 thì sao em nhỉ :icon6:

#543406 Tìm Min:$A=\frac{1}{x^{2}+y^{2}...

Đã gửi bởi JayVuTF on 08-02-2015 - 15:04 trong Bất đẳng thức và cực trị

Bạn giỏi thật, bạn chỉ mình cách làm đi !! sao bạn suy nghĩ khéo léo thế!!

Mình không giỏi lắm đâu ,

LÀm những bài như thế này thì phải tìm được dấu =

Dự đoán dấu = tại $x=y=\frac{1}{2}$ và từ đó tách cái cần tìm min ra thôi :luoi:

#543322 Tìm Min:$A=\frac{1}{x^{2}+y^{2}...

Đã gửi bởi JayVuTF on 07-02-2015 - 17:57 trong Bất đẳng thức và cực trị

$A=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}+\frac{2}{xy}+4xy$

x,y>0 và $x+y\leq 1$

Ta có $A=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}+\frac{2}{xy}+4xy=(\frac{1}{x^{2}+y^{2}}+\frac{1}{2xy})+(4xy+\frac{1}{4xy})+\frac{5}{4xy} \geq \frac{4}{(a+b)^{2}}+2+\frac{5}{(a+b)^{2}}\geq 11$

CÁi này chắc là tìm min :luoi: