Giải BPT

$33x^3+35x^2+4x\geq 2x^2\sqrt[3]{-6x^2+5x+3}+2$

Giải phương trình $x^{3}-x^{2}-x=\frac{1}{3}$

$x^3-x^2-x=\frac{1}{3}\Leftrightarrow x^3-3x^2-3x=1\Leftrightarrow 4x^3=(x+1)^3$

Đến đây thì dễ rồi

Cho a,b,c thỏa man abc=1. Chứng minh rằng:

$\sum \frac{a}{\sqrt{a^{2}+1}}\leq \frac{3}{\sqrt{2}}$

Vì $a,b,c\neq 0\Rightarrow \sum \frac{a}{\sqrt{a^2+1}}=\sum \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{a^2}}}$

Đặt $\frac{1}{a}=x,\frac{1}{b}=y,\frac{1}{c}=z\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+z^2}}\leq \frac{3}{\sqrt{2}}$

Giả sử max{x,y,z}=z$\Rightarrow z\geq 1,xy\leq 1$

Ta có $\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}\leq \sqrt{2(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2})}\leq \frac{2}{\sqrt{1+xy}}= \frac{2\sqrt{z}}{\sqrt{z+1}}$

lại có $\sqrt{\frac{1}{1+z^2}}\leq \frac{\sqrt{2}}{1+z}$

Cần CM $\frac{2\sqrt{z}}{\sqrt{z+1}}+\frac{\sqrt{2}}{1+z}\leq \frac{3}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow (\sqrt{z+1}-\sqrt{2z})^2\geq 0$

Tìm GTNN của biểu thức sau:

$P=\frac{\sqrt{3(2x^{2}+2x+1)}}{3}+\frac{1}{\sqrt{2x^{2}+(3-\sqrt{3})x+3}}+\frac{1}{\sqrt{2x^{2}+(3+\sqrt{3})x+3}}$

x là số thực

Tham khảo tại đây http://tanghaituan.com/398/

Bất đẳng thức và cực trị:

Bài 1: Cho biểu thức $P = a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} + ac + bd$ trong đó ad - bc = 1. CMR: $P \geq \sqrt{3}$

 

Ta có $(ac+bd)^2+1=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2)$ mà

$P\geq 2\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}+ac+bd= 2\sqrt{(ac+bd)^2+1}+ac+bd$

Đặt $ac+bd=t$ ta được

$P^2\geq 1+t^2+4t\sqrt{t^2+1}+4t^2+3= (\sqrt{t^2+1}+2t)^2+3\geq 3$

Bài 1: Cho $a,b,c>0$ thỏa $a+b+c=3$.Chúng minh rằng:

               $\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\geq \frac{3}{2}$

 

Bài 2: Cho $a,b,c>0$ thỏa: $\frac{1}{1+a+b}+\frac{1}{1+b+c}+\frac{1}{1+c+a}\geq 1$

 Chứng minh rằng: $a+b+c\geq ab+bc+ca$

 

Bài 3: Cho $x_1,x_2,...,x_n>0$ thỏa $x_1+x_2+...+x_n=k$

Tìm $GTNN,GTLN$ của biểu thức $P=x_1x_2...x_n$

 

Bài 4: Cho $n$ là số tự nhiên lớn hơn $1$.Gọi $m$ là trung bình cộng của tất cả các ước số của $n$.

 Chứng minh rằng: $\sqrt{n}\leq m\leq \frac{n+1}{2}$

 

Bài 5: Cho $a,b>0$.Tìm hằng số $k$ lớn nhất thỏa:

  $\frac{k}{a^3+b^3}+\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}\geq \frac{16+4k}{(a+b)^3}$

 

Bài 6: Cho $a,b,c>0$ thỏa $abc=1$.Chứng minh\

               $\frac{1}{\sqrt{1+8a}}+\frac{1}{\sqrt{1+8b}}+\frac{1}{\sqrt{1+8c}}\geq 1$

$\sum \frac{a}{1+b^2}= \sum a-\sum \frac{ab^2}{1+b^2}\geq \sum a-\sum \frac{ab}{2}\geq \frac{3}{2}$

Cho các số thục không âm $a, b, c$ thoả mãn $a + b + c = 1$. Tìm GTNN của:

$3(a^{2}b + b^{2}c + c^{2}a) + 3(ab + bc + ca) + 2\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$

$a,b,c\geq 0,a+b+c=1\Rightarrow 1\geq a,b,c\geq 0\Rightarrow a^2b+b^2c+c^2a\geq (ab)^2+(bc)^2+(ac)^2\Rightarrow VT\geq 3((ab)^2+(bc)^2+(ac)^2)+3(ab+bc+ac)+2\sqrt{a^2+b^2+c^2}\geq (ab+bc+ac)^2+3(ab+bc+ac)+2\sqrt{1-2(ab+bc+ac)}$

Đặt $t=ab+bc+ac$ $\frac{1}{3}\geq t\geq 0$ đến đây dùng đạo hàm là ra min=2

dùng bđt trê bư sép ta có$\frac{x}{\sqrt{y}}+\frac{y}{\sqrt{x}}\geq \frac{1}{2}(x+y)(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}})=\frac{1}{2}(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}})$

Đến đây dùng svax kết hợp $\sqrt{x}+\sqrt{y}\leq \sqrt{2(x+y)}$ là ok

 à mình nhầm

Cho $a,b,c>0$. 

 

CMR: $\frac{a}{b+c}+\frac{4b}{c+a}+\frac{9c}{a+b} >4$

Cách khác, nhận thấy biểu thức có cùng bậc 1 nên đặt $x=b+c,y=c+a,z=a+b$

$VT=\frac{y+z-x}{2x}+\frac{2(x+z-y)}{y}+\frac{9(x+y-z)}{2z}= (\frac{y}{2x}+\frac{2x}{y})+(\frac{z}{2x}+\frac{9x}{2z})+(\frac{2z}{y}+\frac{9y}{2z})-7\geq 11-7=4$

Dấu bằng không xảy ra

Cho $a,b,c\geq1$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=4$

Chứng minh $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\leq \frac{9}{2(\sqrt{a^2-1}+\sqrt{b^2-1}+\sqrt{c^2-1})}$

Ta chứng minh : $\frac{a^{3}}{a^{2}+1}\geqslant \frac{7}{25}a-\frac{3}{50}$ $(1)$
Thật vậy $(1)$ tương đương $50a^{3}\geq 14a^{3}-3a^{2}+14a-3\Leftrightarrow 36a^{3}+3a^{2}-14a+3\geq 0\Leftrightarrow \left ( 3a-1 \right )^{2}\left ( 3a+4 \right )\geq 0$ (đúng)
Vậy $P\geq \frac{7}{25}\left ( a+b+c \right )-\frac{9}{50}=\frac{1}{10}$

Bài 1: Cho $0\leq a,b,c\leq 1$. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) $a^2+b^2+c^2\leq 1+a^2b+b^2c+c^2a$

b) $2(a^3+b^3+c^3)\leq 3+a^2b+b^2c+c^2a$

 

a, $ 0\leq a,b,c\leq 1\Rightarrow a^2(1-b)+b^2(1-c)+c^2(1-a)\leq a(1-b)+b(1-c)+c(1-a)\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-(a^2b+b^2c+c^2a)\leq a+b+c-(ab+bc+ac)$

mà $(1-a)(1-b)(1-c)+abc\geq 0\Leftrightarrow 1\geq a+b+c-(ab+bc+ac)$ kết hợp lại ta được đpcm

b, $(1-a^2)(1-b)+(1-b^2)(1-c)+(1-c^2)(1-a)\geq 0\Leftrightarrow 3+a^2b+b^2c+c^2a\geq (a^2+b^2+c^2)+(a+b+c)\geq 2(a^3+b^3+c^3)$

Cho các số nguyên $k, n$ sao cho $k < n$. CMR :

$\frac{(n + 1)^{n + 1}}{(k + 1)^{k + 1}(n - k + 1)^{n - k + 1}} < \frac{n!}{k!(n - k)!} < \frac{n^{n}}{k^{k}(n - k + 1)^{n - k}}$

Áp dụng BĐT Cô-si, ta có

$n(1+\frac{1}{n})+1> (n+1)\sqrt[n+1]{(1+\frac{1}{n})^n}\Rightarrow (1+\frac{1}{n+1})^{n+1}>(1+\frac{1}{n})^n $

Vậy dãy số $ x_{n}=(1+\frac{1}{n})^n$  là một dãy số tăng và

$x_{1}...x_{k}=\frac{(k+1)^{k+1}}{(k+1)!}$

Vậy với $k>1$, ta có $(x_{1}x_{2}...x_{k-1})(x_{1}x_{2}...x_{n-k})<x_{1}x_{2}..x_{n-1}\Rightarrow \frac{k^k}{k!}.\frac{(n-k+1)^{n-k+1}}{(n-k+1)!}< \frac{n^n}{n!}\Rightarrow \frac{n!}{k!(n-k)!}< \frac{n^n}{k^k(n-k+1)^{n-k}}$

Tương tự, ta có $n(1-\frac{1}{n})+1>(n+1)\sqrt[n+1]{(1-\frac{1}{n})^n}\Rightarrow (\frac{n+1}{n})^{n+1}<(\frac{n}{n-1})^n$

Dãy số $y_{n}=(1+\frac{1}{n})^{n+1}$ là 1 dãy số giảm và

$y_{1}...y_{k}=\frac{(k+1)^{k+1}}{k!}$ nên $(y_{1}y_{2}...y_{k})(y_{1}y_{2}...y_{n-k})> y_1y_2...y_n\Rightarrow\frac{(k+1)^{k+1}}{k!}.\frac{(n-k+1)^{n-k+1}}{(n-k)!}> \frac{(n+1)^{n+1}}{n!}\Rightarrow \frac{n!}{k!(n-k)!}> \frac{(n+1)^{n+1}}{(k+1)^{k+1}(n-k+1)^{n-k+1}}$

Bài 127: Cho 0< x< 1. CMR:

$\frac{2}{1-x}+\frac{1}{x}\geq 3+2\sqrt{2}$

$\frac{2}{1-x}+\frac{1}{x}\geq 3+2\sqrt{2}\Leftrightarrow (\frac{2}{1-x}-2)+(\frac{1}{x}-1)\geq 2\sqrt{2}\Leftrightarrow \frac{2x}{1-x}+\frac{1-x}{x}\geq 2\sqrt{2}$

Luôn đúng theo BĐT Cô-si

$\frac{3}{sinx\sqrt{2-sin^2x}}-\frac{1}{sinx}-\frac{1}{\sqrt{1+cos^2x}}=1\Leftrightarrow \frac{3}{sinx\sqrt{1+cos^2x}}-\frac{1}{sinx}-\frac{1}{\sqrt{1+cos^2x}}=1$

Đặt $a=\frac{1}{sinx},b=\frac{1}{\sqrt{1+cos^2}}\Rightarrow 3ab-a-b=1$

mà ta lại có $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=2$

Đến đây thì chắc là dễ rồi

Cho x,y,z>0 thoả mãn xy+yz+zx=1.TÍnh
$A=x\sqrt{\frac{(1+y^2)(1+z^2)}{1+x^2}}+y\sqrt{\frac{(1+z^2)(1+x^2)}{1+y^2}}+z\sqrt{\frac{(1+x^2)(1+y^2)}{1+z^2}}$

Cho x,y,z>0 thoả mãn xy+yz+zx=1.TÍnh
$A=x\sqrt{\frac{(1+y^2)(1+z^2)}{1+x^2}}+y\sqrt{\frac{(1+z^2)(1+x^2)}{1+y^2}}+z\sqrt{\frac{(1+x^2)(1+y^2)}{1+z^2}}$

$\sum x\sqrt{\frac{(1+y^2)(1+z^2)}{1+x^2}}=\sum x\sqrt{\frac{(x+y)(y+z)(x+z)(y+z)}{(x+y)(x+z)}}=\sum x(y+z)=2$

Không dùng máy tính, tính $sin6^{o}.sin42^{o}.sin66^{o}.sin78^{o}$.Các bạn giải theo cách lớp 10 nhé

Không dùng máy tính, tính $sin6^{o}.sin42^{o}.sin66^{o}.sin78^{o}$.Các bạn giải theo cách lớp 10 nhé

$P=sin6^{\circ}sin42^{\circ}sin66^{\circ}sin78^{\circ}\Rightarrow cos6^{\circ}P=cos6^{\circ}sin6^{\circ}cos12^{\circ}cos24^{\circ}cos48^{\circ}\Leftrightarrow cos6^{\circ}P= \frac{1}{16}sin96^{\circ}$

Mà $cos6^{\circ}=sin96^{\circ}$ nên $P=\frac{1}{16}$

Bài 104:Cho $a,b,c>0$ thỏa $abc=1$.Chứng minh

$\frac{1}{a^3+b^3+1}+\frac{1}{b^3+c^3+1}+\frac{1}{c^3+a^3+1}\leq 1$

P/S:các bạn còn cách nào khác ngoài dùng bdt $a^3+b^3\geq ab(a+b)$ không?

Còn cách này nữa, nhưng dài lắm

Đặt $a^3=\frac{x}{y},b^3=\frac{y}{z},c^3=\frac{z}{x}$

$VT=\sum \frac{1}{\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+1}=\sum \frac{1}{\frac{xz+y^2+yz}{yz}}= \sum \frac{yz}{xz+y^2+yz}= \sum \frac{yz(xz+x^2+yz)}{(xz+y^2+yz)(xz+x^2+yz)}\leq \sum \frac{yz(xz+x^2+yz)}{(xz+xy+yz)^2}=\frac{(xy+yz+xz)^2}{(xz+xy+yz)^2}=1$

Đi thi mà làm cách này thì lâu lắm 

$8(x+y+z)^{3} - (x+y)^{3} - (y+z)^{3} - (z+x)^{3}$

Đặt $a=x+y$

$b=y+z$

$c=z+x$

Ta có $(a+b+c)^3=8(x+y+z)^3$

$(a+b+c)^3-a^3-b^3-c^3=3(a+b)(b+c)(a+c)=3(x+2y+z)(x+y+2z)(2x+y+z)$

cai nay la cai j vay a, e chua hoc $\sum$

Đấy là kí hiệu tổng hoán vị

VD $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}$ thì viết thành $\sum \frac{a}{b+c}$

chỗ đấy phải là $\frac{z}{y}$ chứ nhỉ     

Xin lỗi, mình đánh nhầm. Mình sửa lại rồi đấy.

sao lại có bđt : $2\left ( x^{3} + y^{3} + z^{3} \right ) \leq x + y + z + x^{2} + y^{2} + z^{2}$ hả bạn??

Vì $0\leq x,y,z\leq 1\Rightarrow x\geq x^3, x^2\geq x^3$ những cái còn lại tương tự

Ôi buồn thế.

Mà sao em phải giấu tên mình? 

Cái tên em em giấu hơn một năm trời không lộ. -_____________-

Mà sao mấy hôm nay lắm người biết tên em vậy nhề. =((((((((

Hu hu, trước everybody toàn gọi em là Nam không. =(((((((

Tên đăng nhập của em ghi hết rồi còn gì