Áp dụng BĐT Cauchy, ta có:

$\frac{b}{\sqrt{a}}+\sqrt{a}+\frac{a}{\sqrt{b}}+\sqrt{b}\geq 2\sqrt{b}+2\sqrt{a}\Leftrightarrow \frac{b}{\sqrt{a}}+\frac{a}{\sqrt{b}}\geq \sqrt{a}+\sqrt{b}$

Dấu bằng xảy ra khi x=y

Đặt $a^2=x, b^2=y$ BĐT có dạng:

$\frac{x^3}{y}+\frac{y^3}{x}\geq x^2+y^2$

Áp dụng BĐT Cauchy schwars, ta có

$\frac{x^3}{y}+\frac{y^3}{x}= \frac{x^4}{xy}+\frac{y^4}{xy}\geq \frac{(x^2+y^2)^2}{2xy}\geq \frac{(x^2+y^2)^2}{x^2+y^2}= x^2+y^2$

Dấu bằng xảy ra khi x=y

Gọi phương trình đường thẳng là $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$

Do đường thẳng đi qua P => 1pt

Rút a theo b thay vào S=$\left | a \right |+\left | b \right |$

dùng bđt $\left | x \right |+\left | y \right |\geq \left | x+y \right |$

( hình như còn phải xử lý phân số nữa)

Đến đấy rồi làm kiểu gì nữa, bạn viết cả kết quả cho mình xem

Tìm phương trình đường thẳng đi qua P(1;3) cắt Ox và Oy tại hai điểm A và B (A và B khác gốc O) sao cho OA+OB đạt GTNN

A và B phải khác điểm O mình quên mất 

Tìm phương trình đường thẳng đi qua P(1;3) cắt Ox và Oy tại hai điểm A và B (A và B khác gốc O) sao cho OA+OB đạt GTNN

Giải hệ phương trình sau với ẩn số là x,y

Giải BPT $\sqrt{3x^2-7x+3}+\sqrt{x^2-3x+4}> \sqrt{x^2-2}+\sqrt{3x^2-5x-1}$

1. Cho a,b,c > 0 a+b+c = 1. CMR: $\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}} + \frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{ac} \geq 30$

2. Cho tam giác ABC. CMR: $\frac{1}{2+cos2A} + \frac{1}{2+cos2B} + \frac{1}{2-cos2C} \geq \frac{6}{5}$

Bài 1 Ta có$a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac \Rightarrow (a+b+c)^2\geq 3ab+3bc+3ac\Leftrightarrow \frac{(a+b+c)^2}{3}\geq ab+bc+ac$

$\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}=(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{3ab}+\frac{1}{3bc}+\frac{1}{3ac})+(\frac{2}{3ab}+\frac{2}{3bc}+\frac{2}{3ac})\geq \frac{4}{\sqrt[4]{(a^2+b^2+c^2)3ab3ac3bc}}+\frac{6}{\sqrt[3]{3ab3bc3ac}}\geq \frac{16}{a^2+b^2+c^2+3ab+3bc+3ac}+\frac{6}{ab+bc+ac}=\frac{16}{(a+b+c)^2+ab+bc+ac}+\frac{6}{ab+bc+ac}\geq 12+18=30$

Mình có vài định lí hình học nâng cao up lên cho mọi người cùng đọc 

Ta có

$Q= \frac{a^2-ab+b^2}{a^2+ab+b^2}$

$\Leftrightarrow Qa^2+Qab+Qb^2=a^2-ab+b^2$

$\Leftrightarrow (Q-1)a^2+(Qb+b)a+Qb^2-b^2$

$\Rightarrow \Delta =(Qb+b)^2-4(Q-1)(Qb^2-b^2)\geq 0$

$\Leftrightarrow b^2(-3Q^2+10Q-3)\geq 0$

$\Leftrightarrow 3\geq Q\geq \frac{1}{3}$

Đến đây bạn tự tìm dấu bằng nha

Cho em hỏi tại sao trang chủ của diễn đàn mình mãi không mở cửa vậy

Nếu mình không nhầm thì bài này sử dụng phương pháp tăng giảm khối lượng đáp án hình như là 2,25g

Bài 1.(2,0 điểm)

Cho biểu thức:

M= $( \frac{x+2}{x\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}-\frac{1}{\sqrt{x}-1}):\frac{\sqrt{x}-1}{7} với x\geq 0;x\neq 1.$

a) Rút gọn biểu thức M

b) Tính giá trị của biểu thức M khi $x= 3+2\sqrt{2}$

Bài 2.(3,0 điểm)

a) Giải hệ phương trình 

$\left\{\begin{matrix} (x^{2}+xy+y^2)\sqrt{x^2+y^2}=185\\(x^2-xy+y^2)\sqrt{x^2+y^2}=65 \end{matrix}\right.$

b)Cho phương trình: $mx^3-(m^2+1)X^2-xm^2+m+1=0 (1).$

+) Chứng tỏ x= -1 là nghiệm của phương trình (1).

+) Tìm điều kiện của m để phương trình (1) luôn có ba nghiệm phân biệt.

Bài 3.(3,0 điểm)

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O).Kẻ AH vuông góc với BC (H thuộc BC) và BE vuông góc với đường kính AD (E thuộc AD).

a) CM HE // DC.

b) Qua trung điểm K của đoạn thẳng AB kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC tại M. Chứng minh tam giác MHE cân.

Bài 4.(1,0 điểm) 

Cho các số thực a,b,c thỏa mãn : $-1\leq a\leq 2;-1\leq b\leq 2;-1\leq c\leq 2 và a+b+c=0.$

$CM a^2+b^2+c^2\leq 6.$

Bài 5.(1,0 điểm)

Cho hình chữ nhật ABCD có AB= 5cm; BC= 2cm. Trên cạnh AB lấy điểm I bất kì $(I\neq A,B)$. Kẻ IM vuông góc với AC (M thuộc AC) và IN vuông góc với DC (N thuộc DC). Tìm vị trí điểm I để đường thẳng AN là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác IMN.

giải phương trình:  $\sqrt{3x-2}+\sqrt{x-1}=4x-9+2\sqrt{3x^{2}-5x+2}$

Cho a,b là các số thực không dương và 

$a^{2}+b^{3}\geq a^{3}+b^{4}$ 

CM $a^{3}+b^{3}\leq 2$

Cho a+b+c=3, a, b, c là các số không âm

CM $\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c{2}}$+$\frac{2009}{ab+bc+ac}\geq 670$

 

Ta có:$ab+ bc+ ac\leq a^{2}+b^{2}+c^{2}\Leftrightarrow (a+b+c)^{2}\geq 3(ab+bc+ac)\Leftrightarrow \frac{(a+b+c)^{2}}{3}\geq ab+bc+ac$

$\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{2009}{ab+bc+ac}=\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{ab+bc+ac}+\frac{1}{ab+bc+ac}+\frac{2007}{ab+bc+ac}\geq \frac{9}{(a+b+c)^{2}}+\frac{2007}{\frac{(a+b+c)^{2}}{3}}=670$

$\sqrt{4a^2+4a+5}+\sqrt{4a^2-8a+8}=\sqrt{(2a+1)^2+2^2}+\sqrt{(2a-2)^2+2^2}

Gọi A(2a;0), B(-1;2),C(2;-2)

BA= \sqrt{(2a+1)^2+(2-0)^2}

CA=\sqrt{(2a-2)^2+(0+2)^2}

Theo BĐT trong tam giác, ta có BA+CA\geq BC=\sqrt{3^2+4^2}=5(đpcm)

             6x+1=8x^3

      Đặt 2x=a

=>   3a+1=a^3

 Đặt a=u+v

PT <=> (u+v)^3 -3(u+v)-1=o

      <=> u^3+v^3 + (3uv-1)(u+v)=0 (1)

 Lấy 3uv-1=o <=> u=1/(3v) rồi thay vào (1)