$A=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}+\frac{1}{2xy}+(\frac{1}{4xy}+4xy)+\frac{5}{4xy}\geq \frac{4}{x^{2}+y^{2}+2xy}+2\sqrt{\frac{1}{4xy}.4xy}+\frac{5}{(x+y)^{2}}\geq \frac{4}{(x+y)^{2}}+2+\frac{5}{1}=11$

c) Theo nguyên lí kẹp ta có: $(x^{2})^{2}< x^{4}+x^{2}+1< x^{4}+2x^{2}+1=(x^{2}+1)^{2}$

$\Rightarrow x^{4}+x^{2}+1$ ko phải là một số chính phương

Vậy $C=\varnothing$

Em làm theo cách chuẩn hóa: 

Chuẩn hóa a+b+c=3

bđt cần CM tương đương:

$\sum \frac{(3-2a)^{2}}{2a^{2}-6a+9}\geq \frac{3}{5}$

Chứng minh bđt: $\frac{(3-2a)^{2}}{2a^{2}-6a+9}\geq \frac{23}{23}-\frac{18}{25}a$

Tương tự ta ta được:

$\sum \frac{(3-2a)^{2}}{2a^{2}-6a+9}\geq \frac{69}{25}-\frac{18}{25}(a+b+c)=\frac{3}{5}$

Dấu " = " tại a=b=c

Vì $n\vdots k\Rightarrow n=kz$ ($z\in \mathbb{N}^{*}$)

$a^{n}-b^{n}=(a^{k})^{z}-(b^{k})^{z}=(a^{k}-b^{k})[(a^{k})^{z-1}+...+(b^{k})^{z-1}]\vdots (a^{k}-b^{k})$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x-2)(x+1)^{2}=-(y-2) & & \\ (y-2)(y+1)^{2}=-2(z-2) & & \\ (z-2)(z+1)^{2}=-3(x-2) & & \end{matrix}\right.$

Xét x=y=z=2 là nghiệm của hpt

Xét x=y=z=-1 không phải là nghiệm của hpt

Xét $x,y,z\neq 2;-1$

Nhân (1),(2),(3) với nhau, rút gọn ta được:

$(x+1)^{2}(y+1)^{2}(z+1)^{2}=-6$ (vô lí)

Vậy hpt có nghiệm x=y=z=2

ĐK: $x> -2$ (xét x=-2 ko phải là nghiệm của pt)

quy dồng pt, ta được:

$(x-1)(x-2)(x+8)-(x-1)(x-2)(\frac{(x+7)(x+2)}{\sqrt{x^{3}+8}+x+2})=0$

$\Leftrightarrow (x-1)(x-2)(x+8-\frac{(x+7)(x+2)}{\sqrt{x^{3}+8}+x+2})=0$

Bây giờ cần đánh giá biểu thức trong ngoặc :

$x+8=\frac{(x+7)(x+2)}{\sqrt{x^{3}+8}+x+2}$

$\Leftrightarrow x+2+\sqrt{x^{3}+8}(x+8)> 0$ với x>-2

Vậy x=1;x=2

1) $\Leftrightarrow (\sqrt{x}-1)^{2}+(\sqrt{y-z}-1)^{2}+(\sqrt{z-x}-1)^{2}=0$

2) Chắc xét TH, mình làm 1 trường hợp

Xét x=0, y=0 là nghiệm của hpt

Xét $xy> 0$

$\left\{\begin{matrix} 17x+2y=2011xy & & \\ x-2y=3xy & & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{17}{y}+\frac{2}{x}=2011 & & \\ \frac{1}{y}+\frac{-2}{x}=3 & & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 17a+2b=2011 & & \\ a-2b=3 & & \end{matrix}\right.$ với $a=\frac{1}{y},b=\frac{1}{x}$

$a^{3}+b^{3}+a^{2}c+b^{2}c-abc=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})+a^{2}c+b^{2}c-abc=-c(a^{2}-ab+b^{2})+a^{2}c+b^{2}c-abc=0$ (đpcm)

1 cách hơi dở tí!

Bạn tự vẽ hình nha

Dưng $\bigtriangleup IBE$ đều

Chứng minh $\bigtriangleup IBA=\bigtriangleup ICB(c-g-c)$

Suy ra tam giác IBA cân tại I và $\angle AIB=\angle AIE=150^{\circ}$

CM được: $\bigtriangleup AIE=\bigtriangleup AIB(c-g-c)$

Suy ra $\angle IAE=\angle IAB=15^{\circ}$ $\Rightarrow \angle EAB=30^{\circ}\Rightarrow \angle AED=60^{\circ}$

Dễ chứng minh được EA=ED

Do đó: $\bigtriangleup EAD$ đều

$\Rightarrow$ $ED=AD=DC=DF$, $\angle EDF=\angle EDC+\angle CDF=30^{\circ}+60^{\circ}=90^{\circ}$

Nên $\bigtriangleup EDF$ vuông cân tại D

Ta có: $\angle BEF=\angle BEA+\angle AED+\angle DEF=75^{\circ}+60^{\circ}+45^{\circ}=180^{\circ}$

Vậy B,F,E thẳng hàng

Gọi 2 số cần tìm là a,b (a>b)

Ta có: b=a-17

$ab=k^{2}(k\in \mathbb{Z})$

$\Leftrightarrow a(a-17)=k^{2}$

$\Leftrightarrow (2a-2k-17)(2a+2k-17)=289$

a) Đặt $x^{2}+7x=k^{2}$

$\Leftrightarrow 4x^{2}+28x=4k^{2}$

$\Leftrightarrow (2x+7)^{2}-(2k)^{2}=49$

$\Leftrightarrow (2x-2k+7)(2x+2k+7)=49$

Tới đây xét TH thôi

Câu b tương tự

$\Leftrightarrow 2x\sqrt{2x-1}-(7x-5)+2(x-2-\sqrt[3]{7x-8})+5(x-1-2\sqrt{x-1})=0$

$\Leftrightarrow (x-5)(x-1)(8x-5+\frac{2x}{(x-2)^{2}+(x-2)\sqrt[3]{7x-8}+\sqrt[3]{(7x-8)^{2}}}+5)=0$

$\Leftrightarrow (x-5)(x-1)=0$ (phần trong ngoặc luôn dương với $x\geq 1$)

$\Leftrightarrow x=1 \vee x=5$

$\Leftrightarrow x^{2}-xy-2y^{2}=0$

$\Leftrightarrow (x-2y)(x+y)=0$

$\Leftrightarrow x=2y$ ( loại vì $x+y\neq 0$)

$A=\frac{2y-y}{2y+y}=\frac{1}{3}$

42. ĐK: $a,b,c> 0$; $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$

$\frac{a^{3}}{2b^{2}+c^{2}}+\frac{b^{3}}{2c^{2}+a^{2}}+\frac{c^{3}}{2a^{2}+b^{2}}\geq 1$

Bổ đề: $3(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)\leq (a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

            $a+b+c\leq \sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$

$\sum \frac{a^{4}}{2ab^{2}+ac^{2}}\geq \frac{(\sum a^{2})^{2}}{2(ab^{2}+bc^{2}+ca^{2})+(ac^{2}+ba^{2}+cb^{2})}\geq \frac{9}{(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})}\geq \frac{9}{\sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}.(a^{2}+b^{2}+c^{2})}=1$

43. ĐK: $a,b,c> 0$; &a+b+c=1$
$\frac{1-2ab}{c}+\frac{1-2bc}{a}+\frac{1-2ca}{b}\geq 7$

Ta có: $\sum \frac{1-2ab}{c}=\sum \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}+2bc+2ac}{c}=(a^{2}+b^{2}+c^{2})(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})+4(a+b+c)\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{3}.\frac{9}{a+b+c}+4=7$

 

Bạn đăng những bài chưa làm và bài còn lại đi!

 

biểu thức đề bài cho tương đương:

$(x+1)^{3}+(y+1)^{3}+(x+1)+(y+1)=0$

$\Leftrightarrow (x+y+2)[(x+1)^{2}-(x+1)(y+1)+(y+1)^{2}+1]=0$

$\Leftrightarrow x+y+2=0$

$\Leftrightarrow x+y=-2$

$M=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}=-2$

Dấu " = " tại x=y=-1

x bằng bao nhiêu vậy?

$x=\frac{11}{2}-\frac{3\sqrt{5}}{2}$

2. Cách 2: ĐKXĐ: $x\geq 2$

$3\left ( 2+\sqrt{x-2} \right )=2x+\sqrt{x+6}$

$\Leftrightarrow 2x-6+\sqrt{x+6}-3\sqrt{x-2}=0$

$\Leftrightarrow (x-3)\left (2-\frac{8}{\sqrt{x+6}+3\sqrt{x-2}} \right )=0$(1)

Chứng minh PT $2-\frac{8}{\sqrt{x+6}+3\sqrt{x-2}}=0$ vô nghiệm nên (1)$\Leftrightarrow x=3$(TMĐKXĐ)

Vậy nghiệm của pt là x=3

Pt trình trong ngoặc vẫn có nghiệm nha bạn!

ĐK: $y\geq 0$

$(2)\Leftrightarrow (\sqrt{x^{2}+2}-\sqrt{y})^{2}+2(xy+x+y+1)=0$

$\Leftrightarrow (\sqrt{x^{2}+2}-\sqrt{y})^{2}-2(x^{2}+2-y)=0$

$\Leftrightarrow (x^{2}+2-y)(\frac{x^{2}+2-y}{(\sqrt{x^{2}+2}+y)^{2}}-2)=0$

Cho các số thực x,y,z thay đổi thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} x+y+z=0 & & \\ x^{2}+y^{2}+z^{2}=2 & & \end{matrix}\right.$. Tính giá trị lớn nhất của biểu thức $P=x^{3}+y^{3}+z^{3}$

e còn câu a) là rút gon....P=$\frac{\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}+2}$

ko pik  đúng ko v thì gtln của P là......?

$\frac{\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}+2}=1+\frac{2}{\sqrt{x}+2}$ $\leq 2$

Dấu "=" tại x=0

Chứng minh cái trong ngoặc vô nghiệm.

Ta có: $\begin{matrix}\frac{x}{\sqrt{x+8}+3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{\sqrt{x^{3}+8x^{2}+7x}+4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{x^{2}+8x+7}+\frac{7}{2} \\ =\frac{x}{\sqrt{x+8}+3}+\frac{\sqrt{x^{3}+8x^{2}+7x}+4}{4(\sqrt{x^{3}+8x^{2}+7x}+4)}+\frac{x^2+8x+3}{4(x^{2}+8x+7)}+\frac{7}{2} \\ > 0 \end{matrix}$

Luôn đúng do $x> 0$

Anh ơi hình như 2 phân số là $-\frac{x^{2}+9x+16}{\sqrt{x^{3}+8x^{2}+7x}+4}-\frac{x+9}{\sqrt{x^{2}+8x+7}+4}$

xóa

a) $\Leftrightarrow y=\frac{x^{2}+2}{x-1}=x+1+\frac{3}{x-1}$

Để y nguyên thì $x-1\in Ư(3)={1,-1,3,-3}$

$\Rightarrow x\in {2;0;4;-2}$

$\Rightarrow y\in {6;-2;6}$

Đề kêu tìm max mà phải ko bạn @@