Đọc phần chứng minh này tôi thấy bạn đang đi tìm giá trị để các cạnh của một tam giác là số nguyên. Chứ chưa thấy giải quyết được gì.

Từ  $z<x+y$ và $z>y>x$ mà suy ra đó là điều kiện để $x^n+y^n=z^n$ có nghiệm với $n\geq 2$ là hết sức phi lý rồi.

Bài toán:   Cho $H$ là một nhóm con của nhóm $G$. Chứng minh rằng $G\setminus H$ hữu hạn khi và chỉ khi $G$ hữu hạn hoặc $H=G$

Cho $\left ( G, + \right )$ là $1$ nhóm có $7$ phần tử. Chứng minh $G$ là một nhóm giao hoán.

Cách 1:   Lấy $a$ là phần tử bất kì của $G$ khác phần tử đơn vị , khi đó theo định lý Lagrange thì $\left | \left \langle a \right \rangle \right |$ sẽ là ước của $|G|=7$

Suy ra $\left | \left \langle a \right \rangle \right |=1$ hoặc $\left | \left \langle a \right \rangle \right |=7$ , do $a$ khác phần tử đơn vị nên ta loại $\left | \left \langle a \right \rangle \right |=1$

Vậy $\left | \left \langle a \right \rangle \right |=7=|G|$  suy ra $\left \langle a \right \rangle=G$ hay G giao hoán.

Cách 2:   $(G, +)$ có 7 phần tử nên đẳng cấu với $(\mathbb{Z_7}, +)$ suy ra $G$ giao hoán.

Bài toán:   Cho $(x_n)_n$  là dãy các số thực dương sao cho $(x_{n+1}-x_n)(x_{n+1}x_n-1)\leq 0\,\,,\,\, \forall n\geq 1$ và $\lim_{n\to \infty} \frac{x_{n+1}}{x_n}=1$

Chứng minh rằng   $(x_n)_n$  là dãy hội tụ

Proposed by Mihai

 

Kỳ thi chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi quốc gia THPT năm học 2021-2022

22/09/2021

Bài 1. (5 điểm) 

Cho $a\geq 2$ và $x_1,x_2$ là hai nghiệm của phương trình $x^2-ax+1=0$. Đặt $S_n=x_1^n+x_2^n,n=1,2,...$

a) Chứng minh dãy $\begin{Bmatrix} \frac{S_n}{S_{n+1}} \end{Bmatrix}_{n+1}^{+\infty}$ là dãy giảm.

b) Tìm tất cả các giá trị $a$ sao cho $\frac{S_1}{S_2}+\frac{S_2}{S_3}+...+\frac{S_n}{S_{n+1}}>n-1$. với mọi $n=1,2,...$

 

Do $x_1,x_2$ là 2 nghiệm của phương trình $x^2-ax+1=0$  nên $x_1+x_2=a$ và $x_1x_2=1$

Khi đó $S_{n+2}=x_1^{n+2}+x_2^{n+2}=(x_1+x_2)(x_1^{n+1}+x_2^{n+1})-x_1x_2(x_1^{n}+x_2^{n})=aS_{n+1}-S_n$

Ta có $S_2=x_1^2+x_2^2=a^2-2 \geq a=x_1+x_2=S_1$  giả sử $S_{n+1}\geq S_n\,\,,\,\, \forall n\leq k$

Suy ra $S_{k+2}=aS_{k+1}-S_k\geq aS_{k+1}-S_{k+1}=(a-1)S_{k+1}\geq S_{k+1}$

Theo nguyên lý qui nạp ta chứng minh được $S_{n+1}\geq S_n\,\,,\,\,\forall n\geq 1$

a)   Ta có $S^2_{n+1}-S_nS_{n+2}=(x_1^{n+1}+x_2^{n+1})^2-(x_1^{n}+x_2^{n})(x_1^{n+2}+x_2^{n+2})=2-(x_1^{2}+x_2^{2})=4-a^2\leq 0$

nên $\frac{S_{n+1}}{S_{n+2}} \leq \frac{S_n}{S_{n+1}}$  mà điều này đúng với mọi $n\geq 1$

Suy ra $\begin{Bmatrix} \frac{S_n}{S_{n+1}} \end{Bmatrix}_{n=1}^{+\infty}$  là dãy giảm

b)   Do $S_{n+1}\geq S_n\,\,,\,\,\forall n\geq 1$  nên $0<\frac{S_n}{S_{n+1}}\leq 1\,\,,\,\, \forall n\geq 1$

Ta có $S_{n+2}=aS_{n+1}-S_n$      suy ra       $\frac{S_{n+1}}{S_{n+2}}=\frac{1}{a-\frac{S_n}{S_{n+1}}}$

Mà dãy   $\begin{Bmatrix} \frac{S_n}{S_{n+1}} \end{Bmatrix}_{n=1}^{+\infty}$        là dãy giảm và bị chặn dưới nên hội tụ, đặt $\lim_{n \to \infty }\frac{S_n}{S_{n+1}}=b$  suy ra $0\leq b\leq 1$

Phương trình giới hạn $b=\frac{1}{a-b}$  có nghiệm $b=\frac{a-\sqrt{a^2-4}}{2}$ là thỏa điều kiện

Khi đó $\frac{S_1}{S_2}+\frac{S_2}{S_3}+...+\frac{S_n}{S_{n+1}}>nb=\frac{n(a-\sqrt{a^2-4})}{2}$

Do đó ta chỉ cần tìm $a$ sao cho $\frac{n(a-\sqrt{a^2-4})}{2}\geq n-1\,\,,\,\, \forall n\geq 1$

hay  $(2-a+\sqrt{a^2-4})n<2\,\,,\,\, \forall n\geq 1$

điều này chỉ xảy ra khi      $2-a+\sqrt{a^2-4}\leq 0$  hay $a=2$

Bài toán:   Cho dãy số thực dương $(a_n)_n$ và $a,b>0$ thỏa mãn $\lim_{n \to \infty }a_n=a$ và $\lim_{n \to \infty }\sqrt{a_n}=b$

Chứng minh rằng:            $a=b^2$

Bài toán:   Cho dãy số thực $(a_n)_n$  được xác định như sau

$$a_1=\frac{5}{3}\,\,,\,\,a_{n+1}=\frac{1}{4-3a_n}\,\,,\,\,\forall n\geq 1$$

Khẳng định hay phủ định $(a_n)_n$ là dãy hội tụ ? Chứng minh nhận định trên.

Em xin phép hỏi các thầy cô và bạn bè, giúp em giải câu giới hạn này mà không dùng tiêu chuẩn tỷ số D'alembert (kiến thức 11 và được phép dùng giới hạn $\lim an = 0$ khi $|an| < 1$.)

 

Tính $\lim \frac{n}{2^n}$

 

Em chân thành cảm ơn!

Ta có  $2^n=(1+1)^n=C^0_n+n+C^2_n+...+C^n_n>n$  suy ra $\frac{n}{2^n}<1$

Rồi áp dụng giới hạn $\lim a_n = 0$ khi $|a_n| < 1$

Cho dãy $(u_{n}):u_{n+2}=u_{n+1}+u_{n}$.
$S_{2012}=2013;S_{2013}=2012$,với $S_{n}=\sum_{k=1}^{n}u_{k}$.
Tìm $S_{1975}$.

Cho dãy $(a_n)_n$ được xác định như sau

$$a_0=1\,\,,\,\,a_1=1\,\,,\,\,a_{n+2}=a_{n+1}+a_n\,\,\,,\,\,\forall n\in \mathbb{N}$$

Khi đó bằng qui nạp ta chứng minh được $\left\{\begin{matrix}a_{n+1}^{2}-a_na_{n+2}=(-1)^{n+1}\,\,,\,\,\forall n\geq 1\\ a_1+a_2+...+a_n=a_{n+2}-2\,\,\,,\,\,\forall n\geq 1\end{matrix}\right.$

Mặt khác, ta thấy $u_3=u_2+u_1=a_1u_2+a_0u_1$

Giả sử $u_{n+2}=a_nu_2+a_{n-1}u_1\,\,\,,\,\, \forall n\leq k$

Khi đó

$u_{k+3}=u_{k+2}+u_{k+1}$

         $=a_ku_2+a_{k-1}u_1+a_{k-1}u_2+a_{k-2}u_1$

         $=(a_k+a_{k-1})u_2+(a_{k-1}+a_{k-2})u_1$

         $=a_{k+1}u_2+a_ku_1$

Theo nguyên lý qui nạp ta đã chứng minh được $u_{n+2}=a_nu_2+a_{n-1}u_1\,\,\,,\,\, \forall n\geq 1$

Khi đó ta tính được

$$S_{n+2}=(1+a_1+a_2+...+a_n)u_2+(1+a_0+a_1+a_2+...+a_{n-1})u_1=(a_{n+2}-1)u_2+a_{n+1}u_1\,\,\,\,\,(*)$$

Với $\left\{\begin{matrix}S_{2012}=2013\\S_{2013}=2012 \end{matrix}\right. $   $\Rightarrow$    $\left\{\begin{matrix}(a_{2012}-1)u_2+a_{2011}u_1=2013\\ (a_{2013}-1)u_2+a_{2012}u_1=2012\end{matrix}\right.$

Ta tìm được  $\left\{\begin{matrix}u_1=\frac{1-a_{2012}-2013a_{2011}}{1-a_{2010}}\\ u_2=\frac{2013a_{2012}-2012a_{2011}}{1-a_{2010}}\end{matrix}\right.$

Thế vào (*) ta được $S_{n+2}=\frac{(a_{n+2}-1)(2013a_{2012}-2012a_{2011})+a_{n+1}(1-a_{2012}-2013a_{2011})}{1-a_{2010}}$

Vậy $S_{1975}=\frac{(a_{1975}-1)(2013a_{2012}-2012a_{2011})+a_{1974}(1-a_{2012}-2013a_{2011})}{1-a_{2010}}$

Cho dãy $\{x_{n} \}_{n \ge 1}$ được xác định bởi $\left\{\begin{matrix} x_{1}=1\\ x_{n}=n.x_{n-1}+1 \end{matrix}\right.$
Hãy tìm số n lớn nhất mà <1000 sao cho $x_{n}$ tận cùng là 2 chữ số 0.

Theo giả thiết ta có

                               $x_n=nx_{n-1}+1$

                                     $=n\left ( (n-1)x_{n-2}+1 \right )+1$

                                     $=n(n-1)x_{n-2}+n+1$

                                      ...............

                                     $=n(n-1)...2\,+\,n(n-1)...3\,\,+\,\,n(n-1)...4\,\,+\,\,...\,\,+\,\,n(n-1)\,\,+\,\,n+1$

Với $n=4k+3, k\in \mathbb{N^*}$ ta có $\left\{\begin{matrix}1+n=4k+4\equiv 0 \,\,\,(mod \,\, 4)\\ n(n-1)=4(4k^2+5k+1)+2\equiv 2 \,\,\,(mod \,\,4)\\ n(n-1)(n-2)\equiv 2(n-2)=2(4k+1)\equiv 2 \,\,\,(mod \,\,4)\end{matrix}\right.$

suy ra  $1+n+n(n-1)+n(n-1)(n-2)\equiv 0 \,\,\,(mod \,\,4)$

Mặt khác, $\forall n\geq 4$ ta có $4\,\,|\,\, n(n-1)(n-2)(n-3)$

Từ những điều trên ta suy ra được $u_n\equiv 0 \,\,\,(mod \,\, 4)$ khi $n=4k+3, \,\,k\in \mathbb{N^*}$    (1)

Bây giờ ta sẽ tìm $n$ sao cho $u_n\equiv 0\,\,\, (mod \,\, 25)$ bằng phương pháp liệt kê (ai có cách nào gọn hơn thì post lên để hoàn thiện cho bài này nhé)

-   Với $n=5k \,\,,\,\, k\geq 2$ thì $n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)\equiv 0\,\,\,(mod\,\, 25)$

Khi đó để $u_n\equiv 0\,\,\, (mod \,\, 25)$ thì ta sẽ tìm $n$ với điều kiện như trên sao cho

$$A=1+n+n(n-1)+n(n-1)(n-2)+n(n-1)...(n-3)+n(n-1)...(n-4)\equiv 0\,\,\, (mod\,\, 25)$$

Nhưng điều này không xảy ra vì  $\left\{\begin{matrix}1+n\equiv 5k+1\,\,(mod\,\,25)\\ n(n-1)\equiv -5k\,\,(mod\,\,25)\\ n(n-1)(n-2)\equiv -5k(n-2)\equiv 10k\,\,(mod\,\,25)\\ n(n-1)...(n-3)\equiv 10k(n-3)\equiv -5k\,\,(mod\,\,25)\\ n(n-1)...(n-4)\equiv -5k(n-4)\equiv -5k\,\,(mod\,\,25)\end{matrix}\right.$  suy ra $A\equiv 1 \,\,\, (mod \,\, 25)$

Bằng lập luận tương tự như vậy với $n=5k+1\,\,,\,\, n=5k+2\,\,,\,\, n=5k+3\,\,,\,\, n=5k+4$

thì ta tìm được $n=25l+7\,\,,\,\, l\geq 1$  thỏa $u_n\equiv 0\,\,\, (mod \,\, 25)$    (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra được $n=100s+7\,\,\,,\,\, s\geq 1$ thì $u_n\equiv 0 \,\,\,(mod\,\, 100)$

Vậy $n=907$ thỏa mãn đề bài

0.1=0; 1.1 tại sao lại bằng 1

Tôi hỏi bạn $1.1 = ?$ , sao bạn lại đi hỏi ngược lại tôi.

Chứng minh a.1= a

a, Phương pháp biến đổi đại số

b, Phương pháp phản chứng.

Cho hỏi $0.1 = ? \,\,,\,\,1.1 = ?$ rồi tính tiếp

Đúng rồi ông bạn già

Cho dãy số $x_{n}$ xác định như sau: $x_{0}=a;x_{1}=b$ và $x_{n+2}=5x_{n+1}-x_{n}$ biết a;b là các số nguyên dương và a>4b và 5b>a. Tìm tất cả các số nguyên dương a;b như thế để tồn tại một chỉ số k ( k nguyên dương) sao cho $x_{0}>x_{1}>x_{2}>...>x_{k-1}>x_{k}=1$

Cho $a_0\,\,,\,\, b_0$ là các số nguyên dương thỏa $$\left\{\begin{matrix}a_0>5\\ a_0>4b_0\\ 5b_0>a_0\\ a_{0}^{2}-5a_0b_0+b_{0}^{2}=1\end{matrix}\right.$$

Với mọi số nguyên dương $n$ ta đặt  $$\left\{\begin{matrix}a_n=a_0+nb_0\\ b_n=(5n+1)b_0-na_0\end{matrix}\right.$$

Khi đó các giá trị $(a_0,b_0),(a_1,b_1),...,(a_n,b_n),...$ là các giá trị $(a,b)$ phải tìm.

Ví dụ:

Ta xét các trường hợp riêng

-   Với $a_0=24 \,,\, b_0=5$ thì các bộ số $(24,5)\,,\, (29,6)\,,\, (34,7)\,,\,...$ sẽ chính là bộ số $(a,b)$ ta cần tìm, lúc này $k=2$

Bây giờ thử bộ đầu tiên $(a,b)=(24,5)$ thì $x_0=24>x_1=5>x_2=1$

-   Với $a_0=551\,,\, b_0=115$ thì các bộ số $(551,115)\,,\, (666,139)\,,\, (781,163)\,,...$ chính là bộ số $(a,b)$ ta cần tìm, lúc này $k=4$

Bây giờ thử bộ thứ 2 là $(a,b)=(666,139)$ thì $x_0=666>x_1=139>x_2=29>x_3=6>x_4=1$

Đã qua 1 tuần lễ không có lời giải nên mình post lời giải cho bài này

Lời giải:

Ta xét 2 trường hợp

-   Nếu $a_1=1$ ta có $3a_2-2=a^{2}_{3}\geq 0 \,\, \Rightarrow \,\, a_2\geq \frac{2}{3}$  khi đó với $a_{2}^{2}=3a_1-2=1\Rightarrow a_2=1$

Giả sử $a_1=a_2=...=a_k=1$ lập luận tương tự như trên ta suy ra được $a_{k+1}=1$

Theo nguyên lý qui nạp ta chứng minh được $a_n=1 \,\,,\,\, \forall n\geq 1$ nên $\lim_{n \to \infty }a_n=1$

-   Nếu $a_1\neq 1$ thì từ giả thiết suy ra $1<a_1\leq 2$ và ta đặt $a_1=1+x$ với $0<x\leq 1$

Ta có $3a_2-2=a^{2}_{3}\geq 0 \Rightarrow a_2\geq \frac{2}{3}$ và $\left\{\begin{matrix}a_{2}^{2}=3a_1-2\\4\geq 3a_1-2=3x+1\geq \left ( 1+x \right )^2\end{matrix}\right.$

Do $a_2$ là số dương nên ta suy ra được $2\geq a_2 \geq 1+x$

Giả sử $i=1,2,3,..,k$ ta có $2\geq a_i \geq 1+x$, từ $3a_{k+1}-2=a^2_{k+2}\geq 0$ suy ra $a_{k+1}$ là số dương

và $\left\{\begin{matrix}a_{k+1}^{2}=3a_k-2\\ 4\geq 3a_k-2\geq 3x+1\geq \left ( 1+x \right )^2\end{matrix}\right.$ suy ra $2\geq a_{k+1}\geq 1+x$

Theo nguyên lý qui nạp ta chứng minh được $2\geq a_n \geq 1+x \,\,,\,\, \forall n\geq 1$

Mặt khác, ta có $a_{n+1}^{2}-a_{n}^{2}=-a_{n}^{2}+3a_n-2=\left ( a_n-1 \right )\left ( 2-a_n \right )\geq 0$ , do $a_n, a_{n+1}$ đều là số dương nên suy ra được $a_{n+1}\geq a_n$ , rõ ràng điều này đúng với mọi $n\geq 1$

Ta thấy $(a_n)_n$ là dãy tăng và bị chặn nên hội tụ, đặt $\lim_{n \to \infty }a_n=a$ suy ra $2\geq a\geq 1+x>1$

Phương trình giới hạn $a^2=3a-2$ có nghiệm $a=2$ thỏa mãn điều kiện của $a$

Cho dãy số $a_{n}$ xác định như sau: $a_{0}=a;a_{1}=b$ và $a_{n+2}=5a_{n+1}-a_{n}$ biết a là các số nguyên dương. Tìm tất cả điều kiện của a;b để tồn tại một chỉ số k ( k nguyên dương) sao cho $a_{0}>a_{1}>a_{2}>...>a_{k-1}>a_{k}=1$

P/S: Bài này em có dùng thử dùng phương trình đặc trưng nhưng số xấu quá nên nhờ mọi người xem giúp.

Post bài toán gốc lên đi em trai (đọc bài toán này cũng không hiểu em muốn hỏi cái gì)
 

Bài toán:   Giải hệ phương trình sau

$$\left\{\begin{matrix}x+y+z=3\\ x+2y^2+3z^3=6\\xy+yz+zx=2+xyz\end{matrix}\right.$$

Bài toán:   Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb{R^+}\rightarrow \mathbb{R^+}$ liên tục trên $\mathbb{R^+}$ sao cho

$$f\left ( \frac{a^2+b^2}{a+b} \right )\geq f\left ( \frac{a}{2} \right )+f\left ( \frac{b}{2} \right )\,\,, \forall a,b\in \mathbb{R^+}$$

Cho dãy số $a_{n}$ xác định như sau: $a_{0}=a;a_{1}=b$ và $a_{n+2}=5a_{n+1}-a_{n}$ biết a là các số nguyên dương. Tìm điều kiện của a;b để tồn tại một chỉ số k ( k nguyên dương) sao cho $a_{0}>a_{1}>a_{2}>...>a_{k-1}>a_{k}=1$

$a=9$ ,  $b=2$  thì $k=2$

Một bài tập nhỏ về quả cầu đóng $B'(a,r)$

Bài toán:   Cho $\left ( E,\left \| . \right \| \right )$ là một $\mathbb{R}$ - không gian vector định chuẩn, $(a,b)\in E^2 \,\,,\,\, (r,s)\in \mathbb{R^{2}_{+}}\,\,,\,\, \lambda\in \mathbb{R}$

Chứng minh rằng:

      1)   $B'\left ( a,r \right )=a+B'\left ( 0,r \right )$

      2)   $B'\left ( 0,r \right )+B'(0,s)=B'\left ( 0,r+s \right )$

      3)  $B'\left ( a,r \right )+B'(b,s)=B'\left ( a+b,r+s \right )$

      4)  $\lambda B'\left ( a,r \right )=B'\left ( \lambda a,\left | \lambda  \right |r \right )$

      5)  $B'\left ( a,r \right )\bigcap B'\left ( b,s \right )\neq \varnothing$    $ \Leftrightarrow$      $\left \| a-b \right \|\leq r+s$

      6)  $B'\left ( a,r \right )\subset B'\left ( b,s \right )$            $\Leftrightarrow$       $\left \| a-b \right \|\leq s-r$

      7)  $B'\left ( a,r \right )= B'\left ( b,s \right )$            $\Leftrightarrow$         $\left\{\begin{matrix}a=b\\ r=s\end{matrix}\right.$

let f = (x, b) => x + x*x / b;
function findLB(a, b, c) {
    let x = a;
    let n = 0;
    while (x <= c) {
        n++;
        x = f(x, b);
    }
    return n;
}

Vọc code một tí thì có thể thấy $n=2019$ và nói chung là với mọi $n$ thì $k=n+2$ sẽ là GTNN để $x_k > 1$.

 

Vậy khi viết lời giải bài toán này ra giấy thì ghi như thế nào ? 

Sau nhiều lần tấn công bài toán https://diendantoanh...-forall-n-ge-2/  không thành công nhưng có một bài toán dễ dàng hơn như sau

Bài toán:   Cho dãy số thực $(u_n)_n$ được xác định như sau

$$a=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\,\,,\,\, u_1=0\,\,,\,\, u_2=2\,\,,\,\, u_{n+1}=\frac{u_n+1}{3+\sqrt{u_{n-1}}},\,\, \forall n\geq 2$$

Chứng minh rằng              $\left | u_n-a \right |<\frac{u_{n-1}}{3+\sqrt{u_{n-2}}}\,\,,\,\, \forall n\geq 3$

Bài toán:  Cho dãy số thực $(x_n)_n$ được định nghĩa như sau

$$x_0=\frac{1}{2} \, \, , \, \, x_{n+1}=x_n+\frac{x^{2}_{n}}{2017} \,\, , \,\, \forall n\in \mathbb{N}$$

Tìm số tự nhiên $k$ nhỏ nhất sao cho $x_k>1$

Note:  Đây là bài toán cũ không có lời giải của diễn đàn, thấy thú vị nên post lại cho các bạn giải thử. Mình thì tìm được $k=4034$, bạn nào tìm được giá trị nhỏ hơn thì cho lời giải nhé.

Bài 1:  Cho các số thực $x,y,z$ thỏa mãn $\left\{\begin{matrix}x+y+z=-1\\ x^3+y^3+z^3=11\end{matrix}\right.$

       a)   Biểu diễn $zx$ theo y

       b)  Chứng minh rằng trong 3 số $x,y,z$ có ít nhất 1 số thuộc đoạn $[-2,-1]$

Bài 2:   Cho $a,b,c$ là các số nguyên dương, trong đó $a,b$ nguyên tố cùng nhau và $\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$ là số nguyên.

Chứng minh rằng $a$ là số chính phương

Bài 3:   Cho dãy số $(a_n)_n$ được xác định như sau $\left\{\begin{matrix}a_0=1 \, \, , \, \,a_1=13\\ a_{n+2}=14a_{n+1}-a_n \, \, , \forall n\in \mathbb{N}\end{matrix}\right.$

       a)   Chứng minh rằng $2a_n-1$ là số chính phương với mọi số tự nhiên $n$

       b)   Chứng minh rằng $a_n$ luôn được viết dưới dạng tổng bình phương của 2 số tự nhiên với mọi số tự nhiên $n$

Bài 4:   Tìm tất cả hàm số lẻ $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn

$$f(f(x)+y)=2x+f(x-f(y)) \, \, , \, \, \forall x,y\in \mathbb{R}$$

Bài 5:   Cho hai đường tròn $(O_1, R_1)$ và $(O_2,R_2)$ cắt nhau tại $A, B$ sao cho tam giác $AO_1O_2$ vuông tại $A$. Tia $O_1O_2$ cắt đường tròn $(O_2)$ tại $E,F$ và cắt đường tròn $(O_1)$ tại $D$. Điểm $M$ thay đổi trên đường tròn $(O_1)$ và không thuộc đường thẳng $O_1O_2$. Kẻ đường kính $MP$ của $(O_1)$. Tia $O_2M$ cắt đường tròn $(O_1)$ tại điểm thứ 2 là $N$. Tia $O_2P$ cắt đường tròn $(O_1)$ tại điểm thứ 2 là $Q$. Chứng minh rằng :

        a)   $MD$ là phân giác của góc $\widehat{EMF}$

        b)   $MP, \,NQ, \,AB$ đồng quy hoặc đôi một song song

        c)   $NQ$ luôn đi qua 1 điểm cố định

Bài 6:   Có 2021 viên bi, đựng trong 100 cái hộp. Mỗi lần, cho phép lấy 2 viên bi, 2 viên bi đó thuộc vào tối đa 2 hộp và bỏ chúng vào 1 hộp khác. Chứng minh rằng sau một số bước có thể bỏ tất cả các viên bi vào cùng 1 hộp.

Bài toán:   Cho dãy số thực $(a_n)_n$ được xác định như sau

$$1\leq a_1 \leq 2, \,\, a^{2}_{n+1}=3a_n-2, \forall n\geq 1$$

Tìm $\lim_{n \to \infty }a_n$