Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z=3$. Tìm $Max$ $P=\sqrt{xy+3zx}+\sqrt{\frac{y^2+yz}{2}}$

$\boxed{\text{Bài 7}}$ Tìm số tự nhiên n sao cho $x^{2n}+x^n+1$ chia hết cho $x^2+x+1$ 

Xét $n=3k=>x^{2n}+x^n+1=x^{6k}+x^{3k}+1=(x^{6k}-1)+(x^{3k}-1)+3=(x^{3k}-1).A+3=(x^3-1).B+3=(x-1)(x^2+x+1).B+3$ $(loại)$

Xét $n=3k\pm 1$    

ta được $VT\vdots VP$

Vậy $n=3k\pm 1$ thỏa mãn 

P/s: A,B là một đa thức đặt trước 

Nguồn: https://diendantoanh...a-hết-cho-x2x1/

 

Bài 2: Xác định đa thức f(x) biết rằng với mọi x thì $f(x+1)=x^{2}-3x+2$.

 

$f(x+1)=x^{2}-3x+2=(x-2)(x-1)=(x+1-3)(x+1-2)$

=>$f(x)=(x-3)(x-2)=x^2-5x+6$

Anh Nam đi xe đạp từ A đến C. Trên qung đường AB ban đầu( B nằm giữa A và C) anh Nam đi với vận tốc không đổi $a(km/h)$ và thời gian đi từ A đến B là $1,5 giờ$. Trên quãng đường BC còn lại, anh Nam đi chậm dần đều với vận tốc tại thời điểm i(tính bằng giờ) kể từ B là $v=-8t+a(km/h)$. Quãng đường đi được từ B đến thời điểm t đó là $S=-4t^2+at$. Tính quãng đường AB biết rằng đến C xe dừng hẳn và quãng đường BC dài $16km$.

Các số thực không âm $x_{1}$,$x_{2}$,...,$x_{9}$ thỏa mãn

$\left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}+...+x_{9}=10\\ x_{1}+2x_{2}+...+9x_{9}=18 \end{matrix}\right.$

Chứng minh: $1.19x_{1}+2.18x_{2}+...+9.11x_{9}\geq 270$ và dấu $=$ xảy ra khi nào?

bình phương lên

bạn làm ra luôn được không 

Giải phương trình nghiệm nguyên: $1+\sqrt{x+y+3}=\sqrt{x}+\sqrt{y}$

Giải phương trình nghiệm nguyên: $9a^2-6a-b^3=0$

P/s: Ai rảnh cho mình xin luôn hướng tư duy :3 

Cho các số thực dương a,b,c. Chứng minh: $(a+b)\sqrt{ab}+(b+c)\sqrt{bc}+(c+a)\sqrt{ca}\geq \frac{(a+b+c)^2}{2}$.

Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn $a\geq-2$, $b\geq-2$ và $a+b+2c=6$. Chứng minh rằng

$a^2+b^2+4ab+16\geq 4c^2-16c+20$

P/s: Trích toán chung tự nhiên đề thi nam định - tuyển sinh 10.

có lẽ là đề đúng

Ta có

$(x+y+z)^{2}=\sum x^{2}+2\sum xy\leq 9+2\sum xy$

$\Rightarrow p\leq 2\sqrt{9+2\sum xy}-\sum xy$

Đặt $t=\sum xy$

Ta sẽ tìm khoảng của t

Hiển nhiên $t\leq 3$

Mặt khác

$0\leq (x+y+z)^{2}\leq 9+2t\Rightarrow t\geq -\frac{9}{2}$

Khảo sát hàm số là ra

t=$\sum xy \leq \sum x^2\leq 9$ chứ nhỉ

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x}+2\sqrt{x+3}=7-\sqrt{x^2+3}\\\sqrt{x+y}+\sqrt{7-y}=y^2-6y+13 \end{matrix}\right.$

Ta có: $x^2+3\geq2\sqrt{3}x$

Tương tự cộng lại theo vế ta có: $x^2+y^2+z^2+9\geq2\sqrt{3}(x+y+z)$

<=>$18\geq(x^2+y^2+z^2+9)\geq2\sqrt{3}(x+y+z)$

<=>$x+y+z\leq3\sqrt{3}$

Lại có: $x^2+y^2+z^2\geq(xy+yz+zx)$=>$9\geq(xy+yz+zx)$

=> Max P =$3\sqrt{3}+9$ <=>$ x=y=z=\sqrt{3}$

Cho các số thực a,b,c thỏa mãn:$ \left | a \right |\leq1, \left | b \right |\leq1,\left | c \right |\leq1$. a+b+c=0. chứng minh $a^4+b^6+c^8\leq2$

Cho ba số thực x,y,z thỏa mãn:$x^2+y^2+z^2\leq9$. Tìm Max P=$x+y+z+(xy+yz+zx)$

P/s: đề gốc là -(xy+yz+zx) nhưng mình nghĩ là không giải được do ngược dấu nên đổi lại đề.

Cho A=$2(1^{2015}+2^{2015}+...+n^{2015}$. Chứng minh A chia hết cho n(n+1) với n là số nguyên dương.

Cho các số thực dương x,y>1. Tính Min T=$\frac{(x^3+y^3)-(x^2+y^2)}{(x-1)(y-1)}$

Chứng minh biểu thức S=$n^3(n+2)^2+(n+1)(n^3-5n+1)-2n-1$ chia hết cho 120, với n là số nguyên.

Giải hệ phương trình:$\left\{\begin{matrix} 4\sqrt{x+1}-xy\sqrt{y^2+4}=0\\\sqrt{x^2-xy^2+1}+3\sqrt{x-1}=xy^2 \end{matrix}\right.$

Cho $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=1$.Tìm min P=$\sqrt{2a^2+ab+2b^2}+\sqrt{2b^2+bc+2c^2}+\sqrt{2c^2+ca+2a^2}$.

Cho x,y,z là các số thực dương thuộc [1;4] và x=max{x,y,z}. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=$\frac{x}{2x+3y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}$

Cho a,b,c là các cạnh của tam giác chứng minh:$(a^2b+b^2c+c^2a)^2\geq abc(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)$

chỗ này bạn có thể làm rõ hơn được ko? mình ko hỉu tại sao ra vậy. cảm ơn bạn

Cauchy 2 số : $(\frac{2y}{x}+\frac{9x}{2y})+(\frac{2z}{x}+\frac{8x}{z})+(\frac{9z}{2y}+\frac{8y}{z})\geq 6+8+12=26$

( x,y,z dương do a,b,c là ba cạnh tam giác)

Giải hệ phương trình:$\left\{\begin{matrix} (x-y)^2=2y^2+8x+1\\(x-2y)(x-y)^2=(y+1)^2-2x   \end{matrix}\right.$

Giải phương trình:$\left\{\begin{matrix} x^2+y^2=1\\96x^2+21x+3y+28xy=117   \end{matrix}\right.$