Một cách để đoán ra được đáp án này
Vậy tập hợp các số $x_i$ chỉ bao gồm các số $2$ và $3$, và có không quá hai số $2$.
là giải bài toán liên tục trước.
Đầu tiên, ta tìm các số thực dương $x_1,\ldots,x_n$ với tông $x_1 + \cdots + x_n = a$ không đổi (ở đây là $a = 2020$), sao cho tích $x_1 \cdots x_n$. Bằng bất đẳng thức AM-GM, ta thấy điều này đạt được khi $x_1 = \cdots = x_n = \frac{a}{n}$, và khi đó $x_1 \cdots x_n = \left(\frac{a}{n}\right)^n$.
Ta liên tục hóa thêm một lần nữa: tìm số thực $x > 0$ sao cho hàm $f(x) = \left(\frac{a}{x}\right)^x$ đạt giá trị lớn nhất. Đặt $g(x) = \ln (f(x))$ và khảo sát hàm số $g$, ta thấy $g$ đạt giá trị lớn nhất khi $x = \frac{a}{e}$.
Vậy ta phán đoán rằng tích $x_1 \cdots x_n$ đạt giá trị lớn nhất khi $x_1,\ldots,x_n$ "gần nhau nhất có thể" (hay đôi một hơn kém nhau không quá $1$ đơn vị), và chúng đều gần $e$ nhất có thể (hay nhận giá trị $2$ và $3$).
Khi đã đoán ra được đáp án trên thì ta chứng minh như @perfectstrong.