Với $a,b,c>0$ thỏa mãn $ab+bc+ca=1$, chứng minh rằng: 

$\frac{a}{1+a^2}+\frac{b}{1+b^2}\leq \frac{1}{\sqrt{1+c^2}}$

Chứng minh rằng: $a^7-a \vdots 42$.

Biến đổi $a^7-a$

$a^7-a=a(a^6-1)=a(a^3-1)(a^3+1)=a(a-1)(a+1)(a^2-a+1)(a^2+a+1)$

Mà $a-1,a,a+1$ là 3 số liên tiếp

$\Rightarrow a(a-1)(a+1)(a^2-a+1)(a^2+a+1)\vdots 6$  (1)

Cần chứng minh $a^7-a \vdots 7$

Xét các trường hợp $a=7k, a=7k+1,a=7k+2...a=7k+6$ ta đều thấy $a^7\equiv a(mod7)$ nên $a^7-a\vdots 7$   (2)

Từ (1) và (2) suy ra $a^7-a\vdots 42$ 

$z=(x-2y)(x+2y)=5xy-2(x^2+y^2)\leq 5xy-4xy=xy$

$x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)\geq xy(x+y)\geq z(x+y)$

$\Rightarrow \frac{x^3+y^3}{z}\geq x+y$

$F=\frac{x^2}{xy+xz}+\frac{y^2}{xy+yz}+\frac{x^3+y^3}{z}\geq \frac{(x+y)^2}{2xy+z(x+y)}+\frac{x+y}{1}$

$\geq \frac{(x+y)^2}{(x+y)^2+z(x+y)}+x+y=\frac{(x+y)}{x+y+z}+x+y$

Mà $z\leq xy\leq \frac{(x+y)^2}{4}$

Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh

$\frac{a}{a+b^2}+\frac{b}{b+c^2}+\frac{c}{c+a^2}\leq \frac{1}{4}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$

(Tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên Tin thành phố Hà Nội 2016-2017)

Giải phương trình: 

$(3x+1)\sqrt{2x^2-1}=5x^2+\frac{3}{2}x-3$

Bạn có chắc đây là một bài toán số học không?

Em đăng nhầm ạ   Đây là bài toán bất đẳng thức ạ   

Mình không hiểu câu hỏi lắm. Trong đường tròn, nếu tam giác có 1 cạnh là đường kính, đỉnh còn lại nằm trên đường tròn thì tam giác đó là tam giác vuông.

Với $x,y,z>0$ thỏa mãn $z=(x-2y)(y-2x)$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$F=\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{x^3+y^3}{z}$

$x^3-y^3=xy+3$

$\Leftrightarrow (x-y)^3+3xy(x-y)=xy+3$

Đặt $x-y=a$, $xy=b$ ( $a,b\in \mathbb{Z}$ )

Ta có: $a^3+3ab=b+3$

$\Leftrightarrow a^3-3=b(1-3a)$

$\Rightarrow a^3-3 \vdots 3a+1$

$\Rightarrow 27a^3-1-80\vdots 3a-1$

Mà ta có $27a^3-1\vdots 3a-1$

Nên $3a-1\in U(80)$

Đến đoạn này bạn giải nốt nhé   

Bạn sửa kiểu này thì vội vàng quá. $n=6$ không chỉ là một trường hợp cá biệt đâu. Tất cả $n$ có dạng $4k+2$ đều sẽ vậy.

Dạ vâng em cám ơn ạ  . Lúc em sửa thì có hơi ẩu tí em chỉ xem có một vài đa  giác đều nên không nhận ra ạ   

Khi $n$ lẻ thì không có đỉnh nào đối diện nhau, nên sẽ không có tam giác vuông nào cả.

Còn công thức số tam giác vuông trừ vuông cân của bạn bị sai khi $n=6$. Hãy thử suy nghĩ xem vì sao

Em cám ơn ạ. Để em sửa ạ.   

Một đa giác đều $n$ cạnh ($n$ chẵn) sẽ có:

+) Số tam giác vuông tạo thành từ các đỉnh: $(n-2)\frac{n}{2}$

+) Số tam giác vuông tạo thành từ các đỉnh trừ tam giác vuông cân: $(n-4)\frac{n}{2}$

(Công thức này không đúng đối với các đa giác đều có số cạnh là $n=4k+2$ vì khi $n=4k+2$ thì số điểm nằm trên mỗi cung mà đường kính chia ra là 2k (Không tính 2 đầu mút của đường kính) nên sẽ không có điểm nằm giữa. Vì vậy không có tam giác vuông cân nào được tạo thành). 

Để tạo thành tam giác vuông thì 1 cạnh của tam giác phải là đường kính đa giác đều. Khi chọn 1 cạnh là đường kính thì sẽ còn 22 điểm còn lại để tạo thành 22 tam giác vuông.  Mỗi một đường kính khi tạo thành 22 tam giác vuông thì sẽ có 2 tam giác vuông cân. Đa giác đều có 24 cạnh thì sẽ có 24 : 2 = 12 đường kính. Vậy nên có tất cả 20 x 12 = 240 tam giác vuông nhưng không phải vuông cân được tạo bởi các đỉnh của đa giác trên. 

(P/s: tui không chắc đoạn 2 tam giác vuông cân đâu    )

Cm BĐT sau với mọi số thực dương a,b,c:

\[\frac{{ab}}{{b + c}} + \frac{{bc}}{{a + c}} + \frac{{ac}}{{a + b}} \le \frac{{a + b + c}}{2}\]

Ta có: $(a+b)^2\geq 4ab\Rightarrow \frac{a+b}{ab}\geq \frac{4}{a+b}$

           $\Rightarrow \frac{ab}{a+b}\leq \frac{a+b}{4}$

Tượng tự với b và c sau đó cộng các bất đẳng thức lại ta có điều phải chứng minh

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c

Tìm ba số nguyên tố sao cho tích của chúng gấp năm lần tổng của chúng.

Theo đề ta có: $abc=5(a+b+c)$

Vì $abc$ là tích 3 số nguyên tố, $abc$ chia hết cho 5 nên 1 trong 3 số chia hết cho 5 nên 1 trong 3 số là 5. Giả sử $a=5$

Với $a=5$, ta có: $bc=b+c+5$

                           $(b-1)(c-1)=6$

Sau đó giải phương trình với $b-1$ và $c-1$ là các số nguyên. Thu được kết quả :

$(a;b;c)=(2;5;7)$ 

Vậy 3 số cần tìm là 2, 5, 7

Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho $(n+1)(n+24)$ và $n(n+9)$ có cùng tập ước nguyên tố.

Đây bạn tham khảo

Th

Phương pháp S-S là phương pháp gì thế ạ?

Theo mình thì S-S là một phương pháp khai triển khá hay và được sử dụng cũng khá nhiều. Bạn tham khảo thêm phương pháp khai triển S.O.S và khai triển Abel vì những cách khai triển này dùng khá tốt trong việc chứng minh bất đẳng thức 

$(x,y)=(\sqrt 2;-\sqrt 2)$ thì sao bạn?

Lúc em phát biểu có hơi nhầm tí ạ   . Em xin phát biểu lại bổ đề như sau: Với $x,y$ là các số hữu tỉ thỏa mãn $x+y$ và $xy$ nguyên thì $x,y$ nguyên.  

Tô màu mỗi điểm trong mặt phẳng bởi một trong hai màu: xanh hoặc đỏ. Mỗi điểm chỉ được tô một màu. Chứng minh rằng tồn tại một tam giác đều có ba đỉnh được tô cùng màu.

Xét hai số nguyên dương a, b thỏa mãn $a^2-4b+1$ chia hết cho $(a+2b)(2b-1)$. Chứng minh rằng $a+2b$ là số chính phương.

Bài này trong đề học sinh giỏi quận Nam Từ Liêm năm hay nhưng mà tui chưa làm được   

Vì $x,y,z$ thuộc đoạn [0;1] nên ta có $\left\{\begin{matrix} x\leq 1 & & \\ y+z\leq yz+1& & \\ 0\leq yz & & \end{matrix}\right.$

=> 0<x+y+z<(=) 2yz+2

$\Rightarrow\frac{1}{yz+1}\leq \frac{2}{x+y+z}=2$

Tương tự rồi cộng các bất đẳng thức lại ta thu được $P\leq 3$

Dấu "=" xảy ra khi $(a,b,c)=(1,1,0)$ và các hoán vị

Sử dụng bổ đề nếu $xy$ và $x+y$ đều nguyên thì $x,y$ nguyên

Với $p$ là các số nguyên tố khác 3 và $a,b$ là các số nguyên dương thỏa mãn $a+b$ chia hết cho $p$ và $a^3+b^3$ chia hết cho $p^2$, chứng minh rằng $a+b$ chia hết cho $p^2$ hoặc $a^3+b^3$ chia hết cho $p^3$

Tìm các cặp số nguyên dương $a,b$ thỏa mãn điều kiện $a^2+ab+1 | b^2+ab+a+b-1$.

Gợi ý: $b^2+ab+a+b-1+a^2+ab+1 \vdots a^2+ab+1$