CMR nếu $ 1 \leq x_k \leq 2 $ k=1,2.... thì
$ (\sum\limits_{k=1}^{n}x_k)(\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{1}{x_k})^2 \leq n^3 $

Do $ 0 < a,b,c < 2 $ Đặt $ a=2cosA........ $ Ta có:
$ cos^2A+cos^2B+cos^C+2cosAcosBcosC=1 $ => A,B,C là 3 góc tam giác ABC nhọn.
Nên $ a+b+c=2(cosA+cosB+cosC) \leq 3 $

giả sử $ \dfrac{a^2+b^2}{ab+1}=k $ ko chính phương;$ k\ in Z^+ $
Ta chuyển phương trình ẩn a $ a^2-kba+b^2-k=0 $
Xét a=b => k=3 (chọn ko ko chính phương) thay vào => $ a^2+3=0 $ (loại)
Vậy a>b>0 Từ $ a^2+b^2 \vdots ab+1 $ => phương trình bậc 2 theo 2 có 2 nghiệm $ a,a_1 $.Ta CM:$ a_1 \in Z^+ $.....Cái này dễ
Tương tự xét phương trình bậc 2 theo b cũng tìm đuợc 2 nghiệm $ b,b_1 \in Z+ $
Lí luận tương tự tìm được vô số nghiệm thỏa phương trình => vô lí => dpcm

Đặt $ a=\sqrt[3]{\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}};b=\sqrt[3]{\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}} $
Ta có $ ab=-1 ;a^3+b^3=1 $ Và $ a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)=1 <=> (a+b)^3+3(a+b)=1 ...$
đặt $ a+b=2t $ Ta có pt <=> $ 4t^3+3t=\dfrac{1}{2} $
Theo công thức nghiệm phương trình này của Carnado ta có:
$ t=\dfrac{1}{2}(\sqrt[3]{m+\sqrt{m^2-1}}+\sqrt[3]{m-\sqrt{m^2-1}}) $ Với $ m=\dfrac{1}{2} $

Giải sai rùi pax ạ cấp số cộng đâu gì kì vậy phải là:
$ 2\beta=\alpha+\gamma $
$ 2sin^2{\beta}=sin^2{\alpha}+\sin^2{gamma} $

Giải sai rùi pax ạ cấp số cộng đâu gì kì vậy phải là:
$ 2\beta=\alpha+\gamma $
$ 2sin^2{\beta}=sin^2{\alpha}+\sin^2{gamma} $

Bác Đông CM sao hiển nhiên wá:
Với n=2 do 2 là nguyên tố nên đúng
Với n>2 giả sử đúng với mọi số nguyên <n .Ta cm nó đúng với n
Nếu n ngưyên tồ thì n chia hết cho n thì bổ đề đúng Nếu n là hợp số thì n=ab.Nếu a>n thì b>=1 ta có n>n.1=n mâu thuẫn => 1<a<n theo giả thuyết quy nạp thì a chia hết cho p nguyên tố

Bài 1 :$\large\ a^3+b^3-abc+a^2c+b^2c= (a+b+c)(a^2-ab+b^2)=0 $
Bài 2: $\large\ a+b+c+ab+bc+ac \leq \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)} + a^2+b^2+c^2=1+\sqrt{3} $
Bài 3 $\large\ =\dfrac{n(n+1)(n+2)}{3} $
Bài 4: $\ x+\dfrac{1}{4x} \geq 1 $

Cho a,b,c dương CMR:
$\large\dfrac{a+b}{b+c}.\dfrac{a}{2a+b+c} +\dfrac{b+c}{c+a}.\dfrac{b}{2b+c+a}+\dfrac{c+a}{a+b}.\dfrac{c}{2c+a+b} \geq \dfrac{3}{4} $

Cho $\large\ x,y,z >-1 $
CMR: $\large\dfrac{1+x^2}{1+y+z^2}+\dfrac{1+y^2}{1+z+x^2}+\dfrac{1+z^2}{1+z+y^2} \geq 2 $

Từ phương trình đầu :$\large\ (x+y-4)(x^2+y^2+x+y)=0 $
Từ phương trình hai : $\large\ y=x^2+x+1;y=x^2-x $ thay vào

Mình đưa ra 1 phản ứng hạt nhân để minh họa nha:
$\large\dfrac{235}{92}U+\dfrac{1}{0}n -------->\dfrac{236}{92}U--------->\dfrac{142}{56}Ba+\dfrac{92}{36}Kr+3 \dfrac{1}{0} n+ Q (Q=2.10^{10}kJ/mol) $ (Ở đây các số đằng trước là số đ?#8220;ng vị và số khối nha ai học Hóa 10 rùi chắc biết tại ở đây mình biểu thị ko được) Đấy các bạn thấy ko với 1 lượng Urani đủ lớn các hạt notron mới sinh sẽ gây ra 1 pứ đây chuyền đưa nhiệt độ lên hàng triệu độ mà nhiệt độ tăng đột ngột thì áp suất tăng theo thì hậu wả chắc các bạn cũng đã biết hòan tòan đúng cho công thức của Anhxtanh
@: huhuhu chả ai chú ý đến topic này của mình

Hì hì Anhxtanh là người mình ngưỡng mộ nhất thì nhất định phải hiểu cái phương trình $\ E=mc^2 $ chứ...Này nha : Căn cứ vào nguyên lý của Thuyết tương đối và phương trình Macxoen,có thể dùng khối lượng để trực tiếp đo năng lượng của vật thể.trước hết khối lượng có thể chuyển hóa thành năng lượng.Khi nguyên tố Uran giảm khối lượng rõ rệt thì năng lượng nó phóng thích ra rất lớn.Năng lượng phó`ng thích này bằng số khối lượng bị giảm nhân với bình phương tốc độ anh sáng.Nhưng chính công thức này mà tai họa xảy đến với Anhxtanh sự chết chóc của 2 thành phố cảu Nhật chỉ với 2 quả bom rất nhỏ (nguyên tố Uran đã tạo ra 1 chuỗi dây chuyền hạt nhân) và đã nghiệm đúng công thức của Anhxtanh

Khoan hãy nói về cái pt này đã hãy nói về tiên đề 5 của Ơ clít đã nha: Chính cái này là tiền đề tranh luận của biết bao nhà khoa học và là 1 trong 3 không gian của vũ trụ.....
Tiên đề 5: Tổng 3 góc trong tam giác bằng 180 độ
Cách CM bằng phản chứng đầu tiên của Saccheri giả sử rằng tiên đề 5 là sai và hy vọng tìm thấy mâu thuẫn nhưng cuối cùng cũng vô vọng ông thu được 1 kết quả khác thường:có thể có hơn 1 đường thẳng đi qua 1 điểm cho trước song song với một đường thẳng cho trước (trái với tiên đề 1)...Các bạn có biết tại sao ko đó là điều giả sử của ông lại hòan tòan đúng..............Vì trong không gian còn tồn tại hình học phi-Euclide là không gian Elliptic (không gian cầu) tam giác trong không gian này có tổng 3 góc trong tam giác > 180 độ và không gian hyperbolic (không gian yên ngựa)-trong không gian này có vô số các đường thẳng song song với 1 đường thẳng cho trước đi qua 1 điểm cho trước không nằm trên đường thẳng đã cho và tổng 3 góc trong tam giác lại < 180 độ......HIHIHI

Cái pt của anh đưa là phương trình cuối cùng trong thuyết trường hấp dẫn của Anhxtanh
$\large\ R_{\gamma v} $ : là tensor Ricci,R là "trace-yếu tố đặc trưng" tensor rút gọn trong phương trình, $\lambda $ là hằng số vũ trụ , $\ g_{\gamma v} $ là đại lượng xác định khỏang cách-tức tensor khỏang cách hình học của không gian ,$\ G $ là hằng số hấp dẫn NewTon ,$\ T_{\gamma v} $ là tensor thể hiện các tính chất của năng lượng,động năng vật chất .......Nói rõ thêm TENSOR :là độ giãn nở của vũ trụ

10maths_tp0609 àh cho hỏi u tên gì vậy...
Mình đóng góp ý kiến nha đúng là phương pháp này rất hay tuy nhiên nó ko đẹp = S.O.S lém ,mà này mình thấy phương pháp này khó có thể giải được ~ bài tìm hằng số k tốt nhất

Chắc các pác ít biết đến pt này:
$\large\ R_{\gamma v} - \dfrac{1}{2}g_{\gamma v}R - \lambda g_{\gamma v} = -8\pi GT_{\gamma v} $
(dấu "muy" kí hiệu hằng số ma sát trong sách Lí ấy được mình thay bằng dấu $\large\gamma $ do ở đây ko tìm được kí hiệu đó)
Nếu các bạn wan tâm đến định nghĩa và ~ câu chuyện xung quanh pt này thì cùng mình thảo luận nhe
Có cả những câu chuyện xung quanh tien đề 5 Ơ Clit nữa bảo đảm sẽ làm cho các bạn thích thú

mấy pác kia all of date wá bây giờ người ta có câu:
Học ko yêu đuối dần rùi chết.
Yêu ko học đéo ngóc đầu lên.
Công nhận với pác 1001001 .Chính em đây cũng đã..... nhưng ko có kết quả nào tốt Bu?#8220;n thật

Đề nghị bạn anhvan_2210 xem lại nha đây là box Số học THCS ko được pót ~ bài ko liên wan

Homogenization là bất đẳng thức gì vậy

Là bất đẳng thức Cauchy đó em

Mình ko biết những cuốn này nhưng mình khuyên bạn hãy sưu tầm bộ sách này:
"CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TÓAN THPT" của (Vũ Đình Hòa,Hà Huy Khoái,Nguyễn Văn Mậu,Nguyễn Thủy Thanh,Đỗ Thanh Sơn,~ Đăng Phất)

Well ,That problem is easy, u try to solve this problem by S.O.S & Schur (It 's solved by S.O.S very beautiful)
Let a,b,c be positive real numbers Prove that:
$ \dfrac{a^2}{b^2+c^2}+\dfrac{b^2}{c^2+a^2}+\dfrac{c^2}{a^2+b^2} \geq \dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b} $


---------------------You should finish $\dfrac{3}{4} $ ur subject in order to exchange by everyone----------Thanks...I 'll take the problems for u trying solve....

Chả biết bài này có liên wan ko:
Cho $ a,b,c $ thực dương thỏa $ a+b \geq c;b+c \geq a;c+a \geq b $ CMR:
$ \ 2a^2(b+c)+2b^2(c+a)+2c^2(a+b) \geq a^3+b^3+c^3+9abc $

PHƯƠNG PHÁP "BÁN SCHUR- BÁN SOS"

Khi đứng trước một bài bđt đối xứng hoặc hoán vị thì phương pháp hay được sử dụng nhất là phương pháp SOS vì nó thực sự hiệu quả với các bài bđt e biến . Tuy nhiên đối với các bạn chưa làm quen được với phương pháp SOS thì việc đưa được về dạng chính tắc của phương pháp SOS và xác định tiêu chuẩn của nó là một việc không hề đơn giản ..Chính vì vậy bài viết này tôi sẽ xin đưa ra một phương pháp đã được áp dụng trong một số bài viết của diễn đàn "phương pháp bán Schur-bán SOS". Hẳn các bạn sẽ tự hỏi tại sao nó có cái tên như vậy ? Câu trả ời sẽ được tìm thấy qua ví dụ mở đầu sau , một bđt quen thuộc , bđt Schur:

Ví dụ 1 : ( bđt Schur) Với các số thực a,b, c không âm bất kì ta luôn có :
$\large\ a^{3} + b^{3} + c^{3} \geq ab(a+b) + bc(b+c) + ac(a+c)$
Giải:
Không mất tính tổng quát ta giả sử c = min(a,b,c). Sử dụng khai triển :
$ \ a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3abc = (a+b+c)[ (a-b)^{2} + (b-c)^{2} + (c-a)^{2} $
$ \ ab(a+b) + bc(b+c) + ac(a+c) - 6abc = 2c(a-b)^{2} + (a+b)(a-c)(b-c)$
Do đó bđt đã cho có thể được viết dưới dạng $\ (a + b - c)(a-b)^{2} + c(a-c)(b-c) \geq 0 $
Vì c = min (a,b,c) nên bđt trên hiển nhiên đúng $\Rightarrow $ ta có điều phải CM
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c ; a=b , c=0 : hoặc các hoán vị

Ví dụ 2 ( mathlinks contests)
Chứng minh bđt sau với hệ số a,b,c dương
$ \dfrac{a+b}{a+c} + \dfrac{a+c}{b+c} + \dfrac{b+c}{b+a} \leq \dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a} $
Giải:
Không mất tính tổng quát ta giả sử c= min (a,b,c);
Ta có khai triển :
$ \dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{z} + \dfrac{z}{x} - 3 = \dfrac{(x-y)^{2}}{xy} + \dfrac{(x-z)(y-z)}{xz} $
( Cái này các bạn có thể dễ dàng phân tích được
Do đó bđt trên có thể viết lại dưới dạng:
$[ \dfrac{1}{ab}- \dfrac{1}{(a+c)(b+c)}](a-b)^{2} + [ \dfrac{1}{ac} - \dfrac{1}{(a+c)(a+b)}](a-c)(b-c) \geq 0 $
Bđt trên hiển nhiên đúng
Đẳng thức xảy ra $ \Leftrightarrow $ a=b=c

Lời giải hai ví dụ trên không phải là duy nhất và còn có nhiều cách chứng minh độc đáo hơn Nhưng nếu xem khách quan thì nó hoàn toàn tự nhiên và cơ bản . Nói khái quat khi đứng trước một bđt bất kì của 3 bến a,b,c ta sẽ tìm cách đưa chúng về dạng 'bán Schur- bán SOS" : $(a-b)^2$, (a-b)(b-c).
f(a,b,c)= $M(a-b)^{2} + N(a-b)(b-c) \geq 0$
Sau đó với giả thiết c = max( hoặc min) (a,b,c) ta sẽ CM được M,N\$ \geq $ 0
Từ đó ta có điều cần CM

[Sau đay là một số khai triển thường được sử dụng trong phân tích:

1.$ a^{2} + b^{2} + c^{2} - ab - bc- ac = (a-b)^{2} +(a-c)(b-c) $
2.$ \dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a} -3 = \dfrac{(a-b)^{2}}{ab} + \dfrac{(a-c)(b-c)}{ac} $
3.$ a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3abc = (a+b+c)[(a-b)^{2} +(a-c)(b-c)]$
4.$ (a+b)(b+c)(c+a)- 8abc = 2c(a-b)^{2} + (a+b)(a-c)(b-c)$
5.$ \dfrac{a}{b+c}+ \dfrac{b}{a+c} + \dfrac{c}{a+b} - \dfrac{3}{2} = \dfrac{(a-b)^{2}}{(a+c)(c+b)} + \dfrac{a+b+2c}{(a+b)(b+c)(a+c)}(a-c)(b-c) $
6.$ \dfrac{a+kb}{a+kc}+ \dfrac{b+kc}{b+ka} + \dfrac{c+ka}{c+kb} - 3 = \dfrac{k^2.(a-b)^{2}}{(c+ka)(c+kb)} + \dfrac{k(a-c)(b-c)[(k^2-k+1).a +c}{(a+kb)(b+ka)(c+kb)} $

Bây giờ sẽ là một số ví dụ cụ thể để CM tính hiệu qủa của phương pháp này

( Xin lỗi các bạn , hiện giờ tôi mới chỉ post được 1/4 chuyên đề , tôi sẽ post nốt phần còn lại vào một thời gian gần nhất)