Biển trắng chứ có xanh đâu
Ngàn năm sóng vẫn bạc đầu đấy thôi
Giữ trong lòng biển sắc trời
Với tình yêu ấy ngàn đời biển xanh

Bác Minh hôm nào đẹp giời vào SG chơi em dẫn bác đi đánh bi da, có nhiều chỗ hoành tráng lắm

Lâu lắm rồi không vào diễn đàn. Hôm nay ghé thăm lại mang một cảm xúc buồn cho mọi người, xin được thứ lỗi

VERONICA

Tôi viết về em Veronica
Một cái tên như dài bất tận
Như sóng biển vẫn gào lên uất hận
Không liếm được bờ sóng có chết được không !?

Rồi cũng đã bao lần thu ca
Nhặt lá úa em gửi hồn theo gió
Người em nhỏ giấu đêm vào tóc
Để âm thầm dệt nỗi nhớ mùa đông
Ôi! Cái lạnh tháng 12 se lòng đến lạ
Từng sợi nhớ xuyên qua vòm cây kẽ lá
Em thả xuống đời anh bắt được chăng ?
Có bắt đươc chăng giữa biển cả mênh mông
Của nước mắt mà vì anh em khóc.

Em hỏi...
Biển màu gì anh nhỉ ?
Anh mỉm cười đáp lại: Màu xanh
Nhưng sóng vẫn bạc đầu và mãi thế đó anh
Ừ đúng vậy, muôn đời vẫn bạc.
Em hát
ì...Chỉ có thuyền mới hiểu biển mênh mông nhường nào...”

Hạnh phúc là gì...?
Tôi rụt rè khi sóng liếm chân
Một chút bồi hồi khi lòng luyến tiếc
Thủa sóng vỗ bờ như ngàn năm bất diệt
Giọt lệ vương môi...
Gửi vào sóng một Hạnh phúc xa xôi
Một chút mặn giữa đại dương vời vợi...

Em ơi !

Anh đã về đây bên đại dương xưa
Sóng vẫn bạc không xanh em ạ
Đông lại đến qua tàn cây kẽ lá
Anh nhặt được rồi sợi nhớ của em

Veronica !
Em thích anh gọi em như thế
Nhưng gọi em rồi sao chẳng thấy em thưa
Anh nhạt nhòa trong phố cũ đêm mưa
Tìm hơi ấm trong lời ca em hát...

Veronica ơi !
Bốn năm rồi em nhỉ
Ngày em đứng lại, anh đi
Em mỉm cười khi hát khúc chia ly
Khi đau đớn xé tan thân thể.

Anh sao thế, sao không cho em hát
Em thích bản nhạc này, em hát cho em
Xin nắm tay em và hát cùng em
Mình cùng hát bản tình ca Hạnh Phúc

Anh bảo chẳng có gì là bất tận
Cuộc đời rồi cũng thế mà thôi
Em mỉm cười giữ Hạnh Phúc trên môi
Sao anh khóc, cười lên đi mít ướt

Em ơi !
Thiên đường nào mình sẽ có nhau
Hạnh phúc nào sẽ khắc tên hai đứa
Vĩnh hằng nào khi trái tim còn nửa
Nước mắt nào đã pha mặn đời anh...

Veronica !
Anh vẫn đợi
Không phải chiều Hồ Gươm nơi em đứng chờ anh
Cũng không phải góc phố xưa thân thuộc
Anh đứng đây giữa Sài Gòn tấp nập
Nên xa rồi cái giá lạnh mùa đông

Và em ơi !
Sài Gòn đã lên đèn, phố vắng đã đông vui
Đợi em về đã thành đêm thứ 7
Trăng đã lên cao để đợi vầng hẹn ấy
Thành phố cùng anh ra ngõ đợi em về.

Veronica !, Veronica !...

Mình đang mở rộng một vấn đề về các module tự do trên PID, đó là tìm một thuật toán cho phép xác định tường minh một cơ sở của một module tự do bất kỳ trên một PID cho trước và mình muốn biết đã có công trình nào liên quan đến vấn đề này chưa ? Xin tham khảo ý kiến các bạn

Chào các bạn và các anh chị. Mình muốn học về Nhóm Lie, Đại số Lie và Đại số bao, nhưng mình chua có tài liệu nào về những môn học này. Xin các bạn chỉ giúp mình vài tài liệu về hướng này. Cám ơn rất nhiều!

Gần đây em thấy trong phòng ĐS có và cuốn Đại Số Lie và ĐS Bao chắc của thầy Hợp gửi anh Hoàng thử lên mượn xem

Chứng minh rằng nếu miền nguyên A là nguyên đóng thì vành đa thức A[t]cũng nguyên đóng.

Một sự tổng quát hóa sẽ là:

Cho http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?R là vành con của một vành giao hoán http://dientuvietnam.../mimetex.cgi?S. Giả sử http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?f là một đa thức trong http://dientuvietnam...91;X_1,...,X_n] khi đó http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?f nguyên trên http://dientuvietnam...91;X_1,...,X_n] tương đương với việc tất cả các hệ số của http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?f nguyên trên http://dientuvietnam.../mimetex.cgi?R.

Chứng minh có thể cần đến hai bổ sau:

1. Cho http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?R là một vành giao hoán, http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?f là đa thức monic trong http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?R[X], khi đó tồn tại một vành http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?S với tính chất, http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?R có thể xem như vành con của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?S và http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f biểu diễn được dưới dạng tích các nhân tử tuyến tính trong http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?S[X].

2. Cho http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?R là vành con của vành giao hoán http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?S, các hệ số của đa thức http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f.g trong http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?S[X] nguyên trên http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?R thì các hệ số của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f và http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?g cũng nguyên trên http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?R.

Trong vành đa thức http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?A=\mathbb{Q}[X,Y] xét ideal chính http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\Re=(X^2-Y^3).Chứng minh rằng http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\Re là ideal nguyên tố nhưng http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?A/\Re không nguyên đóng.

nguyên đóng=integrally closed

Đa thức http://dientuvietnam...tex.cgi?X^2-Y^3 bất khả qui trong http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbb{Q}[X,Y] nên http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\Re là ideal nguyên tố, suy ra Bhttp://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?=A/\Re là miền nguyên và khi đó http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?B là đóng nguyên sẽ tương đương với http://dientuvietnam...metex.cgi?B_{M} là đóng nguyên với http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?M là ideal tối đại bất kỳ của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?B. Vậy cần chỉ ra sự tồn tại một ideal tối đại http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?M của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?B sao cho địa phương hóa http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?B_{M} không đóng nguyên

cho (G,*) là một phỏng nhóm,bằng kiến thức tập hợp hãy xây dựng một phỏng nhóm (H,*) là mở rọng của G để phương trình sau luôn có nghiệm trong H
x*x =a với a thuộc H

Theo mình, trước hết bạn phải đặt câu hỏi là có tồn tại một mở rộng như vậy không đối với mọi phỏng nhóm G (!?)

Khái niệm phỏng nhóm là khái niệm sơ khởi nên rất tổng quát, nó rẽ ra hai hướng chính trong Đại số là Đại số kết hợp và Đại số không kết hợp. Trong đại số kết hợp, một trường hợp rất riêng của câu hỏi này là với mọi trường F liệu có tồn tại một mở rộng trường L sao cho L đóng đối với phép khai căn bậc hai hay không (!?). Một câu trả lời hoàn chỉnh cho câu hỏi trên là với trường F bất kỳ, luôn tồn tại một mở rộng L sao cho L đóng đại số.

Một vài điều để thấy rằng, dù lý thuyết tập hợp là nền tảng của Toán học nhưng nếu chỉ đơn phương dựa vào nó thì không thể giải quyết được câu hỏi của bạn vì rằng câu hỏi liên quan tới các cấu trúc Đại số trong đó có các luật hợp thành - không phải là sản phẩm của lý thuyết tập hợp thuấn túy.

cho một số tự nhiên n,có bao nhiêu cách phân tich số n thành tổng các số tụ nhiên lớn hơn hoặc bằng 1 và nhỏ hơn n.

Hồi còn là học sinh PT mình từng nghe nói bài toán này chưa giải được và mình không quan tâm nhiều, cũng chưa từng thử và cũng không biết nó giải được chưa nên nếu bạn đã có kết quả về bài toán, dù chưa hoàn chỉnh cũng mong bạn post lên cho mọi người tham khảo

Nếu đề bài không nhầm lẫn thì không ai thắng cả vì dù đi thế nào đi nữa cuối cùng cũng vẫn còn lại một số (bên phải, bên trái số này đều không còn số để gạch, thành thử trò chơi không chấm dứt được).

Cách đây vài tuần, tôi tình cờ được đọc tập lý luận – phê bình Ngày văn học lên ngôi của tác giả Đỗ Minh Tuấn (NXB Văn học, 1996) trong thư viện trường. Đã từng được đọc những cuốn sách rất thú vị của tác giả Đỗ Kiên Cường về các hiện tượng tâm linh, trong đó có nhắc nhiều đến tác phẩm trên, nên tôi rất háo hức mượn thư viện cuốn sách này cùng với cuốn Cái vô hạn trong lòng bàn tay của hai tác giả Trịnh Xuân Thuận và Richar Mathieu. Và, dù đã chuẩn bị tinh thần từ trước, tôi vẫn ngạc nhiên khi thấy rằng tác giả Ngày văn học lên ngôi đã đề cao Phương Đông với nhất nguyên luận, hạ thấp Phương Tây với nhị nguyên luận đến mức cực đoan, khó hiểu. Tuy còn hiểu biết hạn hẹp về nhiều lĩnh vực, song vẫn muốn trình bày một số ý kiến cá nhân đối với quan điểm của tác giả Đỗ Minh Tuấn.

Tác giả viết ìDương và Lý, hai nhà bác học Mỹ người Trung Quốc đã dựa vào Kinh Dịch để phát minh ra thuyết Bất đối xứng lừng danh. Lepnit đã nhờ Kinh Dịch mà phát minh ra nguyên lý toán học nhị phân. Jung – một nhà phân tâm học nổi tiếng sau Freud cũng đã căn cứ vào Kinh Dịch để phát hiện ra tầng tiềm thức thứ bảy” (trang 35-36). Điều dễ nhận thấy là tác giả chưa hiểu được bản chất của những ngành khoa học mà ông đề cập, theo quan điểm duy vật biện chứng, vật lý, toán học hay bất cứ một ngành khoa học nào đều tồn tại độc lập với ý thức, đó không phải là sản phẩm thuần túy của bộ não mà chỉ là các đối tượng được bộ não phản ánh thông qua tư duy. Nói theo cách mà Platon đã nhận xét về Toán học, thì tất cả các lý thuyết khoa học đã và đang tồn tại ở đâu đó và nhiệm vụ của những nhà khoa học là tìm ra chúng, vì vậy nên thay từ ìphát minh” bằng từ ìtìm ra”. Đó chỉ mới là vấn đề về ngôn ngữ, còn về quan điểm, tôi e rằng tác giả đã ngộ nhận. Lý thuyết bất đối xứng phải trái của tương tác yếu không thể bắt nguồn từ nguyên lý âm dương cho dù có ví von tứ tượng trong Kinh Dịch ứng với 4 tương tác trong vật lý đi nữa, vì âm dương chung cho cả vũ trụ. Không có cơ sở bắt Leibnitz phải dùng Kinh Dịch để khám phá khoa học, riêng tôi chưa từng nghe nói về cụm từ ìnguyên lý toán học nhị phân” mặc dù là người học về toán và cũng đã đọc về hệ nhị phân – cơ sở cho các phép tính toán bằng máy tính. Riêng tầng tiềm thức thứ bẩy là một khái niệm xa lạ với tôi, tuy vậy, nếu không nhầm lẫn về ngôn ngữ, thì theo tôi tác giả đã rất ậm ờ, cứ cho Kinh Dịch là hoàn hảo thì nó vẫn chỉ là một lý thuyết tồn tại ngoài ý thức trong khi đó tầng tiềm thức thứ bẩy là một phạm trù thuộc về tâm trí, vậy thì làm sao lại có hệ quả ngược như vậy !

Tác giả cũng quan niệm, lý thuyết tai biến, lý thuyết các cấu trúc tiêu tán ìchỉ là cái nhòm của khoa học duy lý qua lỗ khóa của cánh cửa huyền học của phương Đông” (tr 36). Những tưởng chủ nghĩa siêu hình đã bị đào thải từ lâu vậy mà tác giả vẫn đứng trên quan điểm lỗi thời đó để phán xét. Lý thuyết tai biến của nhà toán học Thom là lý thuyết về các biến đổi nhảy vọt hành vi của một hệ tại một điểm nút khi các tham số đặc trưng thay đổi không đột ngột (giọt nước làm tràn ly). Ứng dụng lý thuyết này thật rộng rãi và đa dạng, nhất là trong sinh vật học, và đặc biệt trong y học người ta đã ứng dụng lý thuyết này để biết cách tránh các quái thai. Cũng cần nói thêm rằng, nhờ các tai biến đó, mới có sự đa dạng hóa, phát triển, mới có cái trí đa từ cái trí nhất. Nhờ đó mà triết lý ìcùng tất biến, biến tất thông” của Dịch mới có cơ sở khoa học chặt chẽ, chứ không phải là sản phẩm chiêm nghiệm. Lý thuyết các cấu trúc tiêu tán của nhà hóa học được giải Nobel Prigogine còn có ý nghĩa khoa học và triết học thâm thúy hơn. Đó là các cấu trúc được hình thành và duy trì nhờ việc tiêu tốn năng lượng tự do, như cơ thể sinh vật chẳng hạn. Bằng lý thuyết đó, nhân lọai đã hiểu nguyên tắc của sự hình thành cấu trúc, của quá trình biến đổi từ hỗn lọan sang trật tự, một quá trình không tránh khỏi của vật chất nếu không có chi phí năng lượng đi kèm. Nếu lý thuyết tai biến cho biết vì sao có ìbiến”, thì lý thuyết các cấu trúc tiêu tán, cùng kết năng luận của nhà vật lý Haken…cho biết biến xảy ra như thế nào. Đó là những lý thuyết vừa phức tạp về kỹ thuật, vừa vĩ đại ở tầm cao tư tưởng, không nên vì yêu mến phương Đông mà xem chúng chỉ là trò lén lút nhòm qua lỗ khóa.
Tự hào về cội nguồn văn hóa là lẽ tự nhiên của con người. Tuy nhiên lòng tự hào dẫn tới bài bác các giá trị có thật của các nền văn hóa khác thì lại là dấu hiệu chưa trưởng thành hay sai lầm cực đoan. Chúng ta nên tránh cái sai lầm của Thần Siêu thời Tự Đức, khi xem cột thu lôi chỉ là trò dâm xảo của người Tây Dương. Mặc cảm nhược tiểu, hoặc tự thị tự hào quá mức là hai thái cực nên tránh.

Nếu chưa từng đọc qua một vài sách về triết học cổ phương Đông và về Kinh Dịch thì khi đọc ìNgày văn học lên ngôi” của tác giả Đỗ Minh Tuấn, có lẽ tôi sẽ rất ngạc nhiên khi nghĩ rằng tư tưởng của người xưa quá uyên bác, tuy nhiên thực tại, dù rất thán phục và tự hào về những tinh hoa cổ học thì cũng khó có thể chấp nhận sự đề cao văn hóa phương Đông đến mức bài thị cả những tiến bộ khoa học của tác giả. Vậy thực chất của vấn đề là gì, liệu Kinh Dịch có thâm thúy đến mức được xưng tụng là ìĐại số học vũ trụ”, là ìHòn ngọc trên vương miện khoa học” hay không ? Tôi không dám lạm bàn vì tốt hơn hết, nên nói, ít nhất một nửa con cừu màu đen hơn là nói con cừu màu đen nếu chưa đi vòng quanh nó. Mặc dù vậy, tôi vẫn thử đưa ra một vài thiển ý.

Về lịch sử của Kinh Dịch có lẽ không cần phải nói lại nhiều. Tóm lược thì trong Hệ từ viết: ìDịch có Thái cực, sinh ra lưỡng nghi, lưỡng nghi sinh ra tứ tượng, tứ tượng sinh ra bát quái”. Rồi từ 8 quẻ Tiểu thành đó mà sinh ra 8x8=64 quẻ Đại thành. Đây chính là cơ sở, là logic nội tại của Dịch. Người xưa tin rằng, mọi biến dịch của vũ trụ đều không ngoài 64 quẻ đó, vì thế họ ìngồi trong nhà mà biết chuyện ngã ba đường”, việc gì cũng biết ! Người ta dùng đủ mọi phương cách để khoa học hóa hay huyền bí hóa các khái niệm và phạm trù đó mà không thể xóa đi một thực tế hiển nhiên. Rằng các logic trung tâm đó chính là hình ảnh khái quát và tập trung nhất của cái nhìn tuy đã mang tính duy vật và biện chứng nhưng còn đầy chất ngậy thơ, chất phác, trực quan và cảm tính của người xưa đối với vũ trụ. Tất nhiên ta phải nghiêng mình trước trực giác của người xưa khi so sánh kho tàng tri thức khá thô sơ của nhân lọai mấy ngàn năm trước với dòng thác thông tin của xã hội tri thức ngày nay. Thật lạ khi nhiều người cho rằng sở dĩ có 64 codon , mã di truyền xác định thứ tự các axit amin trong protein là vì Dịch có 64 quẻ hay có 4 axit amin, 4 mùa là do Dịch có tứ tượng. Sự trùng hợp trên chỉ là hình thức toán học, chứ không biểu đạt một mối quan hệ có tính bản chất nào cả, và thực tế đã bác bỏ nhận định trên khi người ta tìm thấy trên một thiên thạch rơi xuống nước Úc tới 74 loại axit amin. (Để hiểu thêm về mối liên hệ hình thức toán học, có thể đọc trong cuốn ìYang-Yin Theory” của TS Nguyễn Đình Phư). Về khả năng dự đoán của Dịch, theo nhiều nhà khoa học chỉ đạt khoảng 30-35%, một tỉ lệ có khi còn kém hơn cả đoán mò ! (Tôi còn nhớ trong thời gian diễn ra WC, trên báo Bóng đá hàng ngày thường có mục dự đoán diễn biến trận đấu bằng Dịch khá thú vị, tuy nhiên kết quả thường là ìlệch qũy đạo”).
Ở đây, xin dẫn một kỷ niệm nhỏ. Hồi còn học phổ thông, trong một giờ Văn, cô giáo đã hỏi gần nửa lớp, trong đó tôi là người được hỏi đầu tiên rằng cụm tù trái nghĩa với ìThực tiễn” là gì ? Và tất cả phải đứng trong suốt hai tiết học vì không trả lời được, đến cuối giờ cô mới trả lời hộ là ìLý luận”. Vào ĐH, khi được tiếp cận với triết học tôi mới có dịp tìm hiểu về cặp phạm trù ìLý luận-Thực tiễn”. Một lý thuyết tốt khi nó được gắn với thực tiễn và được thực tiễn kiểm nghiệm, nhà lý thuyết số người Anh G.H.Hardy đã từng cho rằng Lý thuyết số không có bất cứ một ứng dụng gì trong thực tiễn nhưng đến cuối đời đã kịp thấy được ứng dụng mạnh mẽ của lý thuyết số trong lý thuyết mật mã. Điều này muốn nói rằng, trong khi chủ nghĩa duy vật biện chứng đã khẳng định vai trò của mình là con đường độc đạo để tiếp cận và khám phá khoa học thì nhiều người vẫn đến với các luận thuyết bằng cách tiếp cận một chiều, máy móc. Cụ thể, đến với Kinh Dich, nhiều người chỉ đi tìm những kết luận có sẵn, những kiến giải mang nặng tính siêu hình, chiêm nghiệm, để rồi muốn phán một địều gì đó họ chỉ cần viện ìngười xưa nói …” hay ì người xưa đã kết luận …” điều này cũng đi ngược với tư tưởng ìđắc ý vong ngôn” tiến bộ của phương Đông từ ngàn xưa.
Cuối cùng, tôi thực sự thích thú khi đọc cuốn Cái vô hạn trong lòng bàn tay (bản in mới lấy tựa là ìLượng tử & hoa sen”), cuốn sách ghi lại cuộc đối thoại giữa nhà Vật lý thiên văn Việt kiều Trịnh Xuân Thuận – người từng là cố vấn khoa học cho tổng thống Pháp Mitterand, và nhà sư (đã từng là một nhà Khoa học) Richar Mathieu. Cuốn sách đã cung cấp rất nhiều điều lý thú, cho thấy sự song hành giữa Khoa học và Phật học. Một trong những vấn đề trọng tâm đó là những kiến giải về biến dịch của vũ trụ là ngẫu nhiên hay tất định ? Nếu hoàn toàn ngẫu nhiên thì mọi dự đoán là không thể. Nếu hoàn toàn tất định thì có thể dự đoán được tương lai xa tùy ý miễn là có lý thuyết tốt. Nếu vừa tất định vừa ngẫu nhiên thì có thể dự đoán theo phương hướng (theo kiểu người kia sẽ chết, mặt trời sẽ tắt) mà không thể đi vào chi tiết. Qua đó cho thấy, các sự biến trong vũ trụ, kể cả số phận con người, không được xác định hoàn toàn bằng các qui luật khoa học. Các thăng giáng ngẫu nhiên ít nhất cũng quyết định 50% tương lai vũ trụ. Về nguyên tắc, một lý thuyết lý tưởng cũng chỉ tiên đoán được 50% số phận vũ trụ mà thôi. Nếu tính tới độ phức tạp và tất loạn, khả năng tiên đoán còn giảm xuống nữa, tùy từng trường hợp cụ thể.

Tóm lại, khi phương Tây khủng hoảng các giá trị về tinh thần và kêu gọi quay về phương Đông, khi phương Đông vươn mình mạnh mẽ, khi Kisnamurti và Suzuki sừng sững như hai tượng đài, chúng ta có quyền tự hào về các giá trị truyền thống. Nhưng Nhật Bản, Hàn Quốc, Trung Quốc, Singapo… chỉ có thể phát triển nhờ sự kết hợp hài hòa Đông Tây. Không nên đặt những mâu thuẫn không có thực giữa Đông và Tây. Nhất nguyên luận hay nhị nguyên luận là hai măt của đồng xu nhận thức, nhấn mạnh bất cứ mặt nào cũng là phiến diện. Phương Đông, do nhiều nguyên nhân, đã quá chú trọng tổng hợp (nhất nguyên) và hầu như bỏ quên phân tích (nhị nguyên). Đó là một lý do khiến triết học và khoa học phương Đông, nhất là trong lĩnh vực tự nhiên, không có tiến bộ đáng kể cả hàng ngàn năm nay. Mà sự tiến bộ không ngừng chính là tiêu chuẩn của một luận thuyết tốt.

gọi  (n) là số các số nguyên tố cùng nhau với n
  (n) = +

Kết quả này đã được chứng minh từ hàng ngàn năm trước bởi Euclid

Theo mình http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\phi(n) có lẽ là hàm Euler - Số các số nguyên dương không lớn hơn n và nguyên tố cùng nhau với n.

Mình đang có một chút thắc mắc ở các nhóm nhị diện và nhóm Q_8 tuy nhiên mình sẽ post lên sau.

Câu hỏi thứ 2 nảy sinh khi xét các chuỗi tâm của nhóm nhân một thể, để giảm bới khó khăn hãy thử với tính lũy linh thay vì tính giải được.

p/s: Trong khi đặt những câu hỏi này, mình có tìm được những kết quả rất thú vị của Amitsur về vấn đề này (năm 1955), tuy nhiên một bài báo gốc của Amitsur thì mình vẫn chưa tìm được trên mạng.

Suýt quên , hôm nay có cả Lotus đi cùng . Đúng là danh bất hư truyền , vẻ đẹp của
nàng làm khung cảnh Đầm Sen cũng trở nên xấu tệ . Có cả ảnh nữa nhưng nàng ko cho post lên , đành chịu !

Hôm nào rủ em lotus đi tàu lượn, xem phim 3D, vượt thác lần nữa anh N.V.Minh nhể .

Hy vọng gặp lại Lotus ở TH2 - Hà Nội.

Cái này cũng vui đó chứ. Theo mình biết thì toán học là mộn khoa học tự nhiên ra đời sớm nhất, cùng với triết học. Nó là môn khoa học thuần túy tư duy. Bất chấp con người có công nhận hay không thì nó cũng tồn tại.

Hôm trước có dịp được trò chuyện cùng GS.Hà Huy Khoái và nghe GS nói về Toán học, cùng nghề làm toán (mà GS hay mượn chữ của một tiền bối gọi vui là "nghề săn rồng"). Theo GS thì Toán học và có lẽ cả triết học không phải là môn khoa học tự nhiên, vì đối tượng của toán học không phải là những gì thuộc về tự nhiên như các môn, lý, hóa, sinh,... (theo mình, điều này có vẻ giống với quan điểm của Platon).

Mình đang xét về vành hữu hạn và không có ước của 0, thực ra một nhóm hữu hạn có thể bổ túc thành một vành thì rõ ràng vành này không có ước của 0. Vành hữu hạn không có ước của 0 là một thể và theo định lý Wedderburn nó là trường nên tất nhiên nhóm nhân của vành (cũng chính là nhóm ban đầu) phải giao hoán.
Từ đây, nhóm nhân của một trường hữu hạn là cyclic nên điều kiện đủ sẽ là "Nếu nhóm hữu hạn G vành hóa được (nói cách khác G là nhóm nhân của một thể nào đó) thì G phải cyclic".

Từ điều kiện đủ, có thể kiểm tra được các kết quả rộng hơn đó là:

• Nhóm Abel hữu hạn G có thể nhúng vào nhóm nhân của một thể (không nhất thiết hữu hạn) thì G là cyclic.

• Nhóm nhân D* của một thể D giải được thì D* Abel (do đó D là trường)

Kết quả thứ 2 thực ra là tương đương vì nếu D là trường thì D* Abel và do đó giải được.

Vấn đề đặt ra là mọi nhóm cyclic hữu hạn đều là nhóm nhân của một thể nào đó hay không, và sau đó bỏ điều kiện hữu hạn thì những nhóm hữu hạn nào có thể nhúng vào nhóm nhân D* của một thể D nào đó ?

Ở khía cạnh ngôn ngữ thì vấn đề này rất giống với việc compact hóa Alexandroff. Chú ý rằng khi xét một thể với tư cách là một nhóm nhân thì ta phải loại đi phần tử trung hòa 0, vì thế "vành hóa" một nhóm hữu hạn (R,.) tức là thêm vào R một phần tử mới kí hiệu là 0 cùng một phép toán cộng (+) thỏa:

• a.0=0.a=0 với mọi a thuộc R.
• R U {0} với phép toán + la nhóm Abel và 0 là phần tử trung hòa.
• a(b+c)=ab+ac và (b+c)a=ba+ca với mọi a,b,c thuộc R.

Nếu nhóm R có thể "vành hóa" được thì rõ ràng R*=(R U {0},.,+) là một vành không có ước của 0 nên nó là một thể và từ định lý wedderburn suy ra nó là một trường tức R là nhóm Abel.

Như vậy điều kiện đủ để một nhóm R vành hóa được là R phải là nhóm Abel, hệ quả là nhóm D_4, Q_8 là hai ví dụ về những nhóm không thể vành hóa được theo cách trên do chúng đều có cấp 8 nhưng không Abel.

Vậy thì điều kiện cần sẽ là gì ? Phải chăng chỉ cần tính giao hoán ? Điều này phụ thuộc nhiều vào tính chất, số các phần tử của một trường liệu có thể là một con số bất kỳ lớn hơn 1 hay không vì ta dễ dàng xây dựng được một nhóm Abel có cấp n bất kỳ (thật vậy, chẳng hạn Z_n).

Vấn đề trên có thể được giảm nhẹ điều kiện khi không cần đến R là một nhóm mà chỉ cần là một vị nhóm, tuy nhiên sự phức tạp không tăng thêm bao nhiêu vì không khó để chứng minh rằng một vành hữu hạn không có ước của 0 là một thể.

Điều mà mình sắp viết có lẽ không hoàn toàn nằm trong ý tưởng của song_ha, tuy nhiên không muốn làm loãng các chủ đề bởi nhiều chủ đề nhỏ ít người tham gia nên mình post vào đây một vài vấn đề mình quan tâm.

Trong lý thuyết vành chia có lẽ mọi người đều biết đến định lý nổi tiếng của Wedderburn đó là việc khẳng định mọi vành chia hữu hạn đều là một trường, tức là nếu vành chia D hữu hạn thì nhóm nhân D* là nhóm Abel, như vậy một cách tự nhiên khi phải chứng minh lại định lý này sẽ là thử đi chứng minh một vấn đề tổng quát hơn rằng mọi nhóm hữu hạn đều Abel, tuy nhiên điều này nhanh chóng bị phủ định và hệ quả là không phải nhóm hữu hạn nào cũng có thể bổ túc thành một vành mà phép toán ban đầu của nhóm sẽ đóng vai trò là phép nhân trong vành mới, nói cách khác với một nhóm hữu hạn (R,.) bất kỳ, không phải lúc nào cũng có thể thêm vào R một phần tử 0 và một luật hợp thành trong (+) nào đó để (R U {0},+,.) là một vành. Câu hỏi đặt ra là nhóm R phải thỏa điều kiện nào để luôn có thể "vành hóa" được R (?).

Thực ra Wedderburn đã làm 90% công việc khi có một kết quả mang tên "Wedderburn's "little" theorem" là mọi thể hữu hạn đều là trường. 10% công việc còn lại là chứng minh vành hữu hạn không có ước của 0 là một thể, tức chứng minh nó có đơn vị và mọi phần tử khác 0 đều khả nghịch. Điều này không khó vì giả thiết hữu hạn và không có ước 0.

Một bài khác nữa là: Với điều kiện nào của vành cơ sở R thì mọi modul con của một modul tự do trên R cũng tự do, (xạ ảnh).

Còn đây là câu hỏi vấn đáp mà em chưa có câu trả lời: Cho mở rộng trường K|F, trong trường hợp nào thì mọi F-đơn cấu từ K vào K là một F-tự đẳng cấu (?).

Đây là một bài tập khá thú vị.

Chứng minh rằng mọi vành hữu hạn không có ước của 0 đều là trường.

Nếu mình nhớ không lầm, định lý tránh nguyên tố được trình bày trong cuốn Đại số máy tính và cơ sở Groberner không phải làm nhẹ hơn điều kiện mà điều kiện còn "nặng" hơn khi phải giả thiết tất cả các ideal http://dientuvietnam...mimetex.cgi?P_i đều nguyên tố. Hai bài tập trong cuốn sách chính là nội dung định lý mà mình phát biểu ở trên cùng phiên bản thay giả thiết nguyên tố bởi giả thiết chứa trường con vô hạn. Bài tập thứ hai này được gợi ý dùng Đại số tuyến tính, thật ra kết quả này khá quen thuộc: Một không gian vectơ hữu hạn chiều trên một trường vô hạn không thể là hội của hữu hạn các không gian con.

Vì K là trường và nếu a khác 0 thì với mọi y thuộc K luôn tồn tại x để ax+b=y, thật vậy có thể thấy ngay http://dientuvietnam...etex.cgi?x=(y-b)a^{-1}. Vì thế f(ax+b)=f(y) với mọi y thuộc K, đa thức này không gì khác chính là đa thức f(x) với cách thay ẩn x bởi ẩn y. Nếu K không là trường thì nghịch đảo của a là http://dientuvietnam...etex.cgi?a^{-1} chưa chắc tồn tại nên bài toán không đúng.

Về các nhóm http://dientuvietnam...mimetex.cgi?D_n, nói riêng http://dientuvietnam...mimetex.cgi?D_5 bạn tham khảo trang phổ thông này xem: http://mathworld.wol...ralGroupD5.html

@ BLT: Tìm ví dụ để định lý tránh nguyên tố nếu phát biểu thiếu giả thiết theo mình cũng không phải là việc đơn giản. Tuy nhiên bạn có thể kiểm tra hai ví dụ sau:

1. Nếu bỏ giả thiết nguyên tố: Xét http://dientuvietnam...etex.cgi?K=Z/(2), ideal http://dientuvietnam...imetex.cgi?(x,y) http://dientuvietnam...[x,y]/(x,y)^2 là hội của 3 ideal thực sự nhỏ hơn.

2. Nếu bỏ giả thiết hội hữu hạn: Ideal http://dientuvietnam...imetex.cgi?(x,y) là hội của vô hạn các ideal nguyên tố thực sự nhưng không nằm trong bất kỳ một thành phần nào.

@ banglangtim_493: Bạn hãy thử chứng minh bằng qui nạp trước nhé, định lý này cùng chứng minh của nó mình thấy có ở trên mạng khá nhiều, bạn search thử xem.

Prime Avoidance Theorem: Cho http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?R là một vành giao hoán và http://dientuvietnam...P_1,P_2,...,P_n là các ideal của R trong đó có nhiều nhất hai ideal không nguyên tố, http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?I là ideal của R thì từ
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?I http://dientuvietnam...mimetex.cgi?P_i suy ra có một http://dientuvietnam...mimetex.cgi?P_i với http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?I http://dientuvietnam...imetex.cgi?P_i.

Một phiên bản khác của định lý này là thay vì giả thiết các ideal hầu hết nguyên tố thì ta chỉ cần giả thiết R chứa một trường con vô hạn K.

1- F là trường thì ax+b cũng chạy khắp F nếu a khác 0 nên hiển nhiên f(x) bkq tương đương f(ax+b) bkq. Nếu F không là trường điều này có thể sai.

3- Nếu bạn muốn tìm hiểu sâu hơn về các nhóm Dihedral http://dientuvietnam...mimetex.cgi?D_n thì mình nghĩ Google là công cụ tuyệt vời, nói riêng về http://dientuvietnam...imetex.cgi?D_5:

http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?D_5 là một trong hai nhóm cấp 10 không Abel (nhóm còn lại là http://dientuvietnam...etex.cgi?C_{10}) vì thế dĩ nhiên không Cyclic và có duy nhất một nhóm con cấp 5 và do chỉ số nhóm này là 2 nên chuẩn tắc.

Nếu để tìm số Fibonacci lớn nhất có thể sao ta không sử dụng công thức http://dientuvietnam...{n 1}-F^2_{n-1}, số vòng lặp sẽ giảm đáng kể.

Đọc bài viết của toichinhlatoi ngoài trang chủ quả thật tôi rất tâm đắc dù cách viết có phần không được trau chuốt, đặc biệt câu Sinh viên Việt Nam: Dốt mà chê thầy dở, câu này rất đúng, đúng cả trên lý thuyết, dốt nát thì lại tưởng mình hay. Hơi quá đáng nhưng có thể mượn câu nói của Lỗ Tấn nói về thực trạng Trung Quốc những năm CM Tân Hợi, tuy không nhớ chính xác nhưng đại khái là, người TQ như đang ngủ quên trong một cái hộp bằng sắt không có cửa sổ, nền GDVN ở một khía cạnh nào đó cũng không khác gì, bảo thủ, giấu dốt, tư tưởng cào bằng là căn bệnh kinh niên của người VN (vì sao thì điều này được các nhà nghiên cứu Văn Hóa VN cho là do nước ta là một nước nông nghiệp+văn hóa Á Đông), chính vì thế mổ xẻ nền giáo dục hay bất cứ một ngành nào khác theo tôi có vẻ như một biện pháp lảng tránh, tất nhiên luôn cần nhưng chắc cũng chỉ là "đấm bị bông" nếu không có một "dòng máu mới" cho nền GD mà kiên quyết hơn thì là trong chính bản thân những người đang và sẽ đóng góp và hoạch định cho nền GD nói riêng.