Phạm Hữu Bảo Chung nội dung

Javascript bị vô hiệu

Javascript bị vô hiệu, một vài chức năng sẽ không hoạt động. Vui lòng bật lại Javascript để sử dụng đầy đủ các chức năng.

Có 549 mục bởi Phạm Hữu Bảo Chung (Tìm giới hạn từ 29-04-2020)

Theo nội dung

Xem thành viên

Trang 21 / 22

Sắp theo

Sắp xếp

#316116 Hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l} ({x^2} - 7){y...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 13-05-2012 - 07:56 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

$ \left\{\begin{array}{l}(x^2 - 7)y^2 - 3xy = -9\,\,\, (1)\\3x^2y - 12y^2 + 9x = 0 \,\,\, (2)\end{array}\right. \,\,\,\, (I)$

Giải

* Với y = 0; phương trình (1) của hệ tương đương:

$0 = -9$ (vô lý)

Do đó: Khi y = 0, hệ vô nghiệm.

* Với x = 0, hệ ban đầu tương đương:
$\left\{\begin{array}{l}-7y^2 = -9\\-12y^2 = 0\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}y= \dfrac{\pm 3}{\sqrt{7}}\\y = 0\end{array}\right.$
Dễ thấy hệ trên vô nghiệm.
Vậy: Khi x = 0, hệ ban đầu cũng vô nghiệm.

* Với $x, y \neq 0$, chia 2 vế của (1) cho $y^2$, của (2) cho $3xy$.
Ta có hệ mới tương đương:
$\left\{\begin{array}{l}x^2 - 7 - \dfrac{3x}{y} = \dfrac{-9}{y^2}\\x - \dfrac{4y}{x} + \dfrac{3}{y} = 0\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}(x^2 + \dfrac{9}{y^2}) - \dfrac{3x}{y} = 7\\(x + \dfrac{3}{y}) - \dfrac{4y}{x} = 0\end{array}\right. \,\,\, (II)$
Đặt: $\left\{\begin{array}{l}x + \dfrac{3}{y} = S\\\dfrac{3x}{y} = P\end{array}\right. (S^2 \geq 4P)$
Hệ (II) tương đương:
$\left\{\begin{array}{l}S^2 - 2P - P = 7\\S = \dfrac{12}{P}\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}\dfrac{144}{P^2} - 3P = 7\\S = \dfrac{12}{P}\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}144 - 3P^3 - 7P^2 = 0\\S = \dfrac{12}{P}\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}(P - 3)(3P^2 - 16P + 48) = 0\\S = \dfrac{12}{P}\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l} P = 3\\3P^2 - 16P + 48 = 0 (VN)\end{array}\right.\\S = \dfrac{12}{P}\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}P = 3\\S = 4\end{array}\right.$
Do đó: $x$ và $\dfrac{3}{y}$ là nghiệm của phương trình: $X^2 - 4X + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} X = 1\\X = 3\end{array}\right.$
$\Rightarrow \left[\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l}x = 1\\\dfrac{3}{y} = 3\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}x = 3\\\dfrac{3}{y} = 1\end{array}\right.\end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l}x = 1\\y = 1\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}x =3\\y =3\end{array}\right.\end{array}\right.$
Vậy hệ ban đầu có 2 nghiệm: $(x; y) = (1; 1); (3; 3)$

#438197 $\fn_jvn 2\sqrt{3x+1}+4\sqrt{x}>...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 25-07-2013 - 20:58 trong Phương trình - Hệ phương trình - Bất phương trình

Giải

ĐK: $x \geq 0$

Đặt $a = \sqrt{3x + 1}; b = \sqrt{x} \, (a, b \geq 0)\Rightarrow a^2 - 3b^2 = 1$

Với cách đặt như trên, bất phương trình ban đầu tương đương:

$2a + 4b > ab + 2$

$\Rightarrow 2a + 4b > ab + 2(a^2 - 3b^2) $

$\Leftrightarrow (2a^2 + ab - 6b^2) - 2(a + 2b) < 0$

$\Leftrightarrow (a + 2b)(2a - 3b - 2) < 0 \, (2)$

Do $a, b \geq 0$ mà a, b không đồng thời bằng 0 nên $a + 2b > 0$.

Vậy $(2) \Leftrightarrow 2a < 3b + 2$

$\Rightarrow 2\sqrt{3x + 1} < 3\sqrt{x} + 2$

Phần còn lại bạn giải luôn nhé!

#335027 Giải hệ: $a^{2}=\frac{\sqrt{bc}\...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 12-07-2012 - 22:37 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

$\left\{\begin{array}{l}a^2 = \dfrac{\sqrt{bc}.\sqrt[3]{bcd}}{(b + c)(b + c + d)}\\b^2 = \dfrac{\sqrt{cd}.\sqrt[3]{cda}}{(c + d)(c + d + a)}\\c^2 = \dfrac{\sqrt{da}.\sqrt[3]{dab}}{(d + a)(d + a + b)}\\d^2 = \dfrac{\sqrt{ab}.\sqrt[3]{abc}}{(a + b)(a + b + c)}\end{array}\right.$

Giải

ĐK:
$\left\{\begin{array}{l}bc \geq 0\\cd \geq 0\\da \geq 0\\ab \geq 0\\(b + c)(b + c + d) \neq 0\\(c + d)(c + d + a) \neq 0\\(d + a)(d + a + b) \neq 0\\(a + b)(a + b + c) \neq 0\end{array}\right. $

- Nếu $a = 0 \Rightarrow d^2 = 0 \Leftrightarrow d = 0$
Vậy $a + d = 0$. Không thỏa mãn điều kiện đề bài.

Vậy $a \neq 0$. Tương tự $b, c, d \neq 0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l}a > 0\\b > 0\\c > 0\\d > 0\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}a < 0\\b < 0\\c < 0\\d < 0\end{array}\right.\end{array}\right.$

Nhận thấy nếu cả 4 số đều âm thì: $a^2 = \dfrac{\sqrt{bc}.\sqrt[3]{bcd}}{(b + c)(b + c + d)} < 0$. Vô lý. Từ đó suy ra cả 4 số đó đều dương.

- Từ phương trình thứ nhất của hệ, ta có:
$a^2 = \dfrac{\sqrt{bc}.\sqrt[3]{bcd}}{(b + c)(b + c + d)} \leq \dfrac{\dfrac{b + c}{2}.\dfrac{b + c + d}{3}}{(b + c)(b + c + d)} = \dfrac{1}{6} $

Tương tự, ta cũng có: $b^2, c^2, d^2 \leq \dfrac{1}{6}$ kết hợp với $a, b, c > 0$. Suy ra:
$$0 < a, b, c, d \leq \dfrac{1}{\sqrt{6}} \Rightarrow S = a + b + c + d \leq \dfrac{4}{\sqrt{6}}$$

Nhân cả vế theo vế của 4 phương trình, ta được:
$a^2b^2c^2d^2 = \dfrac{\sqrt{a^2b^2c^2d^2}.\sqrt[3]{a^3b^3c^3d^3}}{(b + c)(b + c + d)(c + d)(c + d + a)(d + a)(d + a + b)(a + b)(a + b + c)}$

$\Leftrightarrow 1 = \dfrac{1}{(b + c)(b + c + d)(c + d)(c + d + a)(d + a)(d + a + b)(a + b)(a + b + c)}$

$\Leftrightarrow (b + c)(b + c + d)(c + d)(c + d + a)(d + a)(d + a + b)(a + b)(a + b + c) = 1$

Ta thấy:
$(b + c)(b + c + d)(c + d)(c + d + a)(d + a)(d + a + b)(a + b)(a + b + c)$

$= [(b + c)(c + d)(d + a)(a + b)][(b + c + d)(c + d + a)(d + a + b)(a + b + c)]$

$\leq \dfrac{(2S)^4}{4^4}.\dfrac{(3S)^4}{4^4} = \dfrac{2^4.3^4.S^8}{2^{16}} \leq \dfrac{2^4.3^4.\dfrac{2^{16}}{2^4.3^4}}{2^{16}} = 1 = VF$

Dấu "=" xảy ra khi: $a = b = c = d = \dfrac{1}{\sqrt{6}}$

Vậy hệ có nghiệm $(a; b; c; d) = (\dfrac{1}{\sqrt{6}}; \dfrac{1}{\sqrt{6}}; \dfrac{1}{\sqrt{6}}; \dfrac{1}{\sqrt{6}})$

#455920 Giải $\left\{\begin{matrix}( x+1)( y+1)+1=...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 07-10-2013 - 18:20 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

Giải

ĐK: $x^3 - y + 1 \geq 0$

Đặt $t = \sqrt{x^3 - y + 1} \geq 0$, ta được: $x^3 + 3x + (t^2 + 3)t = 0$

$\Leftrightarrow (x^3 + t^3) + 3(x + t) = 0 \Leftrightarrow (x + t)(x^2 - xt + t^2 + 3) = 0 \Leftrightarrow x = -t$

$\Rightarrow x = - \sqrt{x^3 - y + 1} \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x \leq 0\\x^2 = x^3 - y + 1 \Rightarrow y - 1= x^3 - x^2\end{matrix}\right.$

Phương trình thứ hai của hệ tương đương:

$1 = x^2y^2 + x^2(y + 1) + y^2(x + 1) \, (1)$

$\Leftrightarrow x^2(y^2 + y + 1) + xy^2 + y^2 - 1 = 0$

$\Rightarrow x^2(y^2 + y + 1) + xy^2 + (y + 1)(x^3 - x^2) = 0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}x = 0 \Rightarrow y = 1\\x(y^2 + y + 1) + y^2 + (y + 1)(x^2 - x) = 0\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x = 0\\y = 1\end{matrix}\right.\\y^2(x + 1) + x^2(y + 1) = 0 \, (2)\end{matrix}\right.$

Ta thấy, từ (1) suy ra: $x^2(y + 1) + y^2(x + 1) = 1 - x^2y^2$.

Vậy, (2) tương đương: $x^2y^2 = 1 \Leftrightarrow xy = \pm 1$

Thay từng trường hợp vào, với điều kiện $x \leq 0$, ta được (x; y) = (-1; -1).

Kết luận: Hệ có nghiệm (x; y) = (0; 1) và (x; y) = (-1; -1)

P/S: Thay hơi rối, bạn thử tìm cách thế vô dễ hơn nhé

#342337 Giải hệ phương trình với: $x(x^4+y^4)=y^{6}(1+y^4)$

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 31-07-2012 - 20:35 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

GHPT:
$\left\{\begin{matrix}\sqrt[4]{y^2x^3-6x^2y^2+81} +3+\sqrt[2012]{x^2y^2-9y^2x+\frac{18x^2}{y^2}}=y^2 \\x(x^4+y^4)=y^{6}(1+y^4)\end{matrix}\right.$

Giải

ĐK: $y \neq 0$
Từ phương trình thứ 2 của hệ, ta có:
$x^5 + xy^4 - y^6 - y^{10} = 0 \Leftrightarrow y^4(x - y^2) + (x^5 - y^{10}) = 0$

$\Leftrightarrow y^4(x - y^2) + (x - y^2)(x^4 + x^3y^2 + x^2y^4 + xy^6 + y^8) = 0$

$\Leftrightarrow (x - y^2)(y^4 + x^4 + x^3y^2 + x^2y^4 + xy^6 + y^8) = 0 \,\, (1')$

Ta thấy:
$y^4 + x^4 + x^3y^2 + x^2y^4 + xy^6 + y^8$

$= y^4 + \dfrac{1}{2}x^4 + \dfrac{1}{2}x^8 + \dfrac{1}{2}(x^2 + xy^2)^2 + \dfrac{1}{2}(x^2y + y^4)^2 > 0 \forall \, x \in R, y \neq 0$

Do đó: $(1') \Leftrightarrow x = y^2 > 0$

Thế vào phương trình thứ nhất của hệ, ta được:
$\sqrt[4]{x^4-6x^3+81} +3+\sqrt[2012]{x^3-9x^2+18x}=x$

$\Leftrightarrow \sqrt[4]{(x - 3)(x^3 - 3x^2 - 9x - 27)} + \sqrt[2012]{x(x - 3)(x - 6)}=x - 3 \,\, (2')$

ĐK:
$\left\{\begin{array}{l}(x - 3)(x^3 - 3x^2 - 9x - 27) \geq 0\\x(x - 3)(x - 6) \geq 0\\x - 3 \geq 0\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}(x - 3)(x^3 - 3x^2 - 9x - 27) \geq 0\\\left[\begin{array}{l} 0 \leq x \leq 3\\x \geq 6\end{array}\right.\\x \geq 3\end{array}\right. $

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = 3\\\left\{\begin{array}{l}x \geq 6\\x^3 - 3x^2 - 9x - 27 \geq 0\end{array}\right.\end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = 3\\x \geq 6\end{array}\right.$

- Nhận thấy x = 3 là một nghiệm của phương trình.

- Với $x \neq 3 \Rightarrow x \geq 6$

Ta có:
$(2') \Leftrightarrow \sqrt[2012]{x(x - 3)(x - 6)} = (x - 3) - \sqrt[4]{(x - 3)(x^3 - 3x^2 - 9x - 27)}$

$\Leftrightarrow \sqrt[2012]{x(x - 3)(x - 6)} = \dfrac{(x - 3)^4 - (x - 3)(x^3 - 3x^2 - 9x - 27)}{[x - 3 + A][(x - 3)^2 + A^2]}$

(Với $A = \sqrt[4]{(x - 3)(x^3 - 3x^2 - 9x - 27)} > 0$ )

$\Leftrightarrow \sqrt[2012]{x(x - 3)(x - 6)} = \dfrac{-6x(x - 3)(x - 6)}{[x - 3 + A][(x - 3)^2 + A^2]}$

- Dễ thấy x = 6 là một nghiệm của phương trình.

- Với $x > 6 \Rightarrow VT > 0 > VF$. Phương trình vô nghiệm.

Kết luận: Phương trình có 2 nghiệm x = 3 và x = 6.

#449158 $\left\{\begin{matrix} y+xy^{2}=...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 09-09-2013 - 23:36 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

Giải

Nhận thấy x = 0 khiến cho hệ vô nghiệm

Với $x \neq 0$, hệ tương đương:
$\left\{\begin{matrix}\dfrac{y}{x^2} + \dfrac{y^2}{x} = 6\\\dfrac{1}{x^2} + y^2 = 5\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\dfrac{y}{x}\left ( \dfrac{1}{x} + y\right ) = 6\\\dfrac{1}{x^2} + y^2 = 5\end{matrix}\right.$

Đặt $y + \dfrac{1}{x} = S, \dfrac{y}{x} = P \,\,\, (S^2 \geq 4P)$, khi đó:
$\left\{\begin{matrix}SP = 6\\S^2 - 2P = 5\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}S^3 - 5S - 12 = 0\\P = \dfrac{S^2 - 5}{2}\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}S = 3\\P = 2\end{matrix}\right.$

Khi đó: $\dfrac{1}{x}$ và $y$ là nghiệm của phương trình: $X^2 - 3X + 2 = 0$. Từ đó suy ra các nghiệm!

#444213 $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+7...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 20-08-2013 - 12:26 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

Giải

ĐK: $x \geq - 7; y \geq \dfrac{-7}{9}$ và $xy \geq 0$

Hệ phương trình ban đầu tương đương:

$\left\{\begin{matrix} x + 9y + 14 + 2\sqrt{9xy + 7(x + 9y) + 49} = 64 \\ 7\sqrt{9xy}+2(x + 9y)=99 \end{matrix}\right.$

Đặt $\left\{\begin{matrix}x + 9y = S\\ 9xy = P\end{matrix}\right. \, (S^2 \geq 4P)$

Khi đó, ta có hệ: $\left\{\begin{matrix}S + 2\sqrt{P + 7S + 49} = 50\\ \sqrt{P} = \dfrac{99 - 2S}{7} \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2\sqrt{\left ( \dfrac{99 - 2S}{7} \right )^2 + 7S + 49} = 50 - S\\ P = \left ( \dfrac{99 - 2S}{7} \right )^2\\S \leq \dfrac{99}{2}\end{matrix}\right.$

Ở trên là một phương trình bậc hai đối với S. Tìm được S, ta dễ dàng tìm được P và từ đó suy ra x, y.

#441459 Cho hàm số: $y=\frac{x^{2}+2mx-m}{x-m...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 09-08-2013 - 13:07 trong Hàm số - Đạo hàm

Giải

a) TXĐ: D = R\{m}

$y' = \dfrac{(2x + 2m)(x - m) - (x^2 + 2mx - m)}{(x - m)^2} = \dfrac{x^2 - 2mx - 2m^2 + m}{(x - m)^2}$

Ta có: $(C_m)$ cắt Ox tại điểm có hoành độ $x_o$ khi:

$\dfrac{x_o^2 + 2mx_o - m}{x_o - m} = 0 \Leftrightarrow x_o^2 + 2mx_o - m = 0 \Leftrightarrow m = x_o^2 + 2mx_o$

Tiếp tuyến của $(C_m)$ tại $x_o$ có hệ số góc:

$k = \dfrac{x_o^2 - 2mx_o - 2m^2 + m}{(x_o - m)^2} = \dfrac{x_o^2 - 2mx_o - 2m^2 + (x_o^2 + 2mx_o)}{(x_o - m)^2}$

$k = \dfrac{2(x_o^2 - m^2)}{(x_o - m)^2} = \dfrac{2(x_o + m)}{x_o - m}$

b) (Cm) cắt Ox tại hai điểm A, B khi phương trình: $\dfrac{x^2 + 2mx - m}{x - m} = 0$ có hai nghiệm phân biệt.

Tức là phương trình: $x^2 + 2mx - m = 0 \, (\star)$ có hai nghiệm phân biệt khác m.

Khi đó: $\left\{\begin{matrix}\Delta' = m^2 + m > 0\\m^2 + 2m.m - m \neq 0\end{matrix}\right. \Leftrightarrow m < - 1 $ hoặc $m > 0$ và $m \neq \dfrac{1}{3}$

Theo định lý Viets, hai nghiệm $x_1, x_2$ của $(\star)$ thỏa mãn: $\left\{\begin{matrix}x_1 + x_2 = -2m\\x_1.x_2 = -m\neq 0\end{matrix}\right.$

Ta có: Tiếp tuyến tại A, B vuông góc với nhau khi $k_A.k_B = -1$

Mặt khác, theo câu a, hệ số góc của tiếp tuyến qua một điểm thuộc $C_m$ trên trục hoành: $k = \dfrac{2(x_o + m)}{x_o - m}$

Do đó:

$\dfrac{2(x_1 + m)}{x_1 - m}.\dfrac{2(x_2 + m)}{x_2 - m} = -1$

$\Leftrightarrow 4\left [x_1x_2 + m(x_1 + x_2) + m^2 \right ] = - \left [ x_1x_2 - m(x_1 + x_2) + m^2\right ]$

$\Leftrightarrow 5x_1x_2 + 3m(x_1 + x_2) + 5m^2 = 0 $

$\Rightarrow 5.(-m) + 3m(-2m) + 5m^2 = 0$

$\Leftrightarrow -m^2 - 5m = 0 \Leftrightarrow m = 0$ hoặc $m = -5$

Đối chiếu điều kiện, ta chọn m = -5.

#445604 cho a,b,c>0 thoa man a3+b3=c3

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 26-08-2013 - 21:22 trong Bất đẳng thức và cực trị

Giải

Từ giả thiết, ta có: $\left (\dfrac{a}{c} \right )^3 + \left (\dfrac{b}{c} \right )^3 = 1$

Đặt $x = \dfrac{a}{c}; y = \dfrac{b}{c} \, (x, y > 0), S = x + y, P = xy$, ta có: $x^3 + y^3 = 1 \Rightarrow S^3 - 3PS = 1$

Do đó: $P = \dfrac{S^3 - 1}{3S}$ và khi đó $\dfrac{S^3}{4} \leq x^3 + y^3 = 1 \Leftrightarrow 0 <S \leq \sqrt[3]{4}$

Khi đó, chia cả 2 vế của bất đẳng thức cần chứng minh cho $c^2$ và thay ẩn, ta được:

$x^2 + y^2 - 1> 6(1 - x)(1 - y) $

$\Leftrightarrow x^2 + y^2 - 6xy + 6(x + y) - 7 > 0$

$\Rightarrow S^2 - 8P + 6S - 7 > 0 \Leftrightarrow 5S^3 - 18S^2 + 21S - 8 < 0$ (thay $P = \dfrac{S^3 - 1}{3S}$)

$\Leftrightarrow (5S - 8)(S - 1)^2 < 0 \Leftrightarrow S < \dfrac{8}{5}$

Vì $S \leq \sqrt[3]{4} < \dfrac{8}{5}$ nên hiển nhiên bất đẳng thức luôn đúng.

#446376 $2cos5x(2cos4x+2cos2x+1)=1$

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 30-08-2013 - 21:01 trong Phương trình, Hệ phương trình Lượng giác

http://diendantoanho...2cos4x2cos2x11/

Bạn có thể tham khảo lời giải ở đây!

#450442 giải phương trình

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 14-09-2013 - 23:37 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

Biểu thức sau cùng hình như là $\sqrt{x^3 + (\sqrt{3} - 1)x^2 + 2x - 2 + 2\sqrt{3} }$ phải không nhỉ?

Chỗ $(\sqrt{3} - 1)x$ của bạn đấy? Nếu không đoạn đó có thể rút gọn mà.

Giải

Điều kiện xác định là:
$\left\{\begin{matrix}x^2 - 2x - 2 \geq 0\\1 - \sqrt{3} - x \geq 0 \\x^3 + (\sqrt{3} - 1)x^2 + 2x - 2 + 2\sqrt{3} \geq 0\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\left[\begin{matrix}x \geq 1 + \sqrt{3}\\x \leq 1 - \sqrt{3}\end{matrix}\right.\\x \leq 1 - \sqrt{3}\\(x^2 + 2)(x + \sqrt{3} - 1) \geq 0\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x \leq 1 - \sqrt{3}\\x \geq 1 - \sqrt{3}\end{matrix}\right. \Rightarrow x = 1 - \sqrt{3}$

Thử lại thấy không thỏa mãn. Vì vậy, phương trình này vô nghiệm.

#445995 Tìm diện tích lớn nhất của một tam giác có tất cả các cạnh không lớn hơn...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 28-08-2013 - 21:06 trong Hình học phẳng

Giải

Gọi a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác. Theo giả thiết: $a, b, c \leq 1$.

Đặt $p = \dfrac{a + b + c}{2} \leq \dfrac{3}{2}$.

Khi đó, theo công thức Hê rông, ta có:

$S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)} \leq \sqrt{p\left (\dfrac{p - a + p - b + p - c}{3} \right )^3} = \sqrt{p.\dfrac{p^3}{27}} = \dfrac{p^2}{3\sqrt{3}} \leq \dfrac{\left (\dfrac{3}{2} \right )^2}{3\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{4}$

Vậy: $Max_S = \dfrac{\sqrt{3}}{4}$. Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = 1.

#442360 CMR $\sum \frac{1}{a^4} \geq 3$

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 13-08-2013 - 09:49 trong Bất đẳng thức và cực trị

Giải

Từ giả thiết suy ra: $\dfrac{1}{abc} + \dfrac{1}{a^2bc} + \dfrac{1}{ab^2c} + \dfrac{1}{c} = 4$

Ta có:

$\dfrac{1}{a^4} + \dfrac{1}{b^4} + \dfrac{1}{c^4} + 1 \geq \dfrac{4}{abc}$

$\dfrac{1}{a^4} + \dfrac{1}{a^4} + \dfrac{1}{b^4} + \dfrac{1}{c^4} \geq \dfrac{4}{a^2bc}$

$\dfrac{1}{a^4} + \dfrac{1}{b^4} + \dfrac{1}{b^4} + \dfrac{1}{c^4} \geq \dfrac{4}{ab^2c}$

$\dfrac{1}{c^4} + 1 + 1 + 1 \geq \dfrac{4}{c}$

Cộng vế theo vế, ta được:

$4 \left ( \dfrac{1}{a^4} + \dfrac{1}{b^4} + \dfrac{1}{c^4}\right ) + 4 \geq 4 \left ( \dfrac{1}{abc} + \dfrac{1}{a^2bc} + \dfrac{1}{ab^2c} + \dfrac{1}{c}\right )$

$\Leftrightarrow \dfrac{1}{a^4} + \dfrac{1}{b^4} + \dfrac{1}{c^4} \geq 3$

#447230 Giải pt sau:$\sqrt{4-x}=2+3x\sqrt{4-x^{2...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 02-09-2013 - 13:08 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

Giải

ĐK: $-2 \leq x \leq 2$

Phương trình ban đầu tương đương:
$3x\sqrt{4 – x^2} + 2 - \sqrt{4 - x} = 0$

$\Leftrightarrow 3x\sqrt{4 – x^2} + \dfrac{x}{2 + \sqrt{4 - x}} = 0$

$\Leftrightarrow x\left ( 3\sqrt{4 – x^2} + \dfrac{1}{2 + \sqrt{4 - x}}\right ) = 0$

Do $3\sqrt{4 – x^2} + \dfrac{1}{2 + \sqrt{4 - x}} > 0$ $\forall$ $-2 \leq x \leq 2$

Vì vậy, phương trình có nghiệm duy nhất x= 0

#446072 Giải phương trình

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 29-08-2013 - 11:42 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

Giải

ĐK: $x \geq \dfrac{1}{2}$

Phương trình thứ nhất của hệ tương đương:

$$4(2x - 1)\sqrt{2x - 1} + \sqrt{2x - 1} = 4y^3 + y$$

Đặt $a = \sqrt{2x - 1} \geq 0$. Khi đó:

$4a^3 + a = 4y^3 + y \Leftrightarrow (a - y)\left [ 4(a^2 + ay + y^2) + 1\right ] = 0 \Leftrightarrow a = y$

$\Rightarrow y = \sqrt{2x - 1} \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y \geq 0\\2x = y^2 + 1\end{matrix}\right.$

Thế vào phương trình thứ hai của hệ và rút gọn, ta được: $y^4 + 2y^3 - y^2 - 2y = 0 \Leftrightarrow y(y + 2)(y^2 - 1) = 0$

Đoạn còn lại bạn tự giải nhé.

#429975 Cho $y=\frac{x+1}{x-1}$ (c), tìm điểm M nằ...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 23-06-2013 - 12:42 trong Hàm số - Đạo hàm

Giải

- Do $M \in Oy \Rightarrow M(0; y_M)$

Phương trình qua M có dạng: $(d): y = kx + y_M$

Gọi $x_0$ là hoành độ tiếp điểm. (d) là tiếp tuyến của (C) khi:
$\left\{\begin{matrix}k = \dfrac{-2}{(x_0 - 1)^2}\\\dfrac{x_0 + 1}{x_0 - 1} = kx_0 + y_M\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}k = \dfrac{-2}{(x_0 - 1)^2}\\\dfrac{x_0 + 1}{x_0 - 1} = \dfrac{-2x_0}{(x_0 - 1)^2} + y_M\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}k = \dfrac{-2}{(x_0 - 1)^2}\\(y_M - 1)x_0^2 - 2x_0(y_M + 1) + y_M + 1 = 0 \, (2)\end{matrix}\right.$

Để có duy nhất 1 tiếp tuyến của (C) qua M thì (2) có duy nhất 1 nghiệm. Biện luận phương trình bậc 2 (Chú ý trường hợp a = 0) để tìm ra đáp án.

#445863 $\frac{\sqrt{1+\sqrt{1-x^2}}(...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 28-08-2013 - 12:50 trong Đại số

Giải

ĐK: $-1 \leq x \leq 1$

Đặt $a = \sqrt{1 + x}; b = \sqrt{1 - x} \, (a, b \geq 0)$, khi đó: $a^2 + b^2 = 2$

Ta có:

$M = \dfrac{\left ( a^3 - b^3\right )\sqrt{1 + ab}}{2 + ab}$

$\,\, = \dfrac{(a - b)(a^2 + ab + b^2)\sqrt{\dfrac{a^2 + b^2}{2} + ab}}{a^2 + b^2 + ab}$

$\,\, = (a - b)\sqrt{\dfrac{(a + b)^2}{2}} = \dfrac{(a + b)(a - b)}{\sqrt{2}}$

$\,\, = \dfrac{a^2 - b^2}{\sqrt{2}} = \dfrac{x + 1 - (1 - x)}{\sqrt{2}} = x\sqrt{2}$

#457299 Giải hệ sau khi đã nhẩm được nghiệm của phương trình .

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 12-10-2013 - 23:52 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

Đâu phải nhẩm ra nghiệm là được đâu bạn ơi

Giải

Hệ ban đầu tương đương:

$\left\{\begin{matrix}x^2 + y = x.(3 - y)\\(x^4 + 2x^2y + y^2) + x^2y - 5x^2 = 0\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x^2 + y = x.(3 - y)\\(x^2 + y)^2 = x^2(5 - y)\end{matrix}\right.$

Suy ra: $x^2(3 - y)^2 = x^2(5 - y) \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = 0\\(y - 3)^2 = 5 - y\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{matrix}x = 0\\y = 1\\y = 4\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x = 0\\y = 0\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}x = 1\\y = 1\end{matrix}\right.\\ \left\{\begin{matrix}y = 4\\x^2 + x + 4 = 0 \, (VN)\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x = 0\\y = 0\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}x = 1\\y = 1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$

#448817 Tìm giái trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của $P=x+y+\sqrt{xy-...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 08-09-2013 - 14:09 trong Bất đẳng thức - Cực trị

Giải

ĐK: $x \geq 1$ và $y \geq 1$

Đặt $\sqrt{x - 1} + \sqrt{y - 1} = a \geq 0\Rightarrow a^2 = x + y - 2\sqrt{xy - x - y + 1}$

Từ giả thiết, ta có:

$\left ( \sqrt{x - 1} + \sqrt{y - 1}\right )^2 + \sqrt{x - 1} + \sqrt{y - 1} = 2 + \sqrt{(x - 1)(y - 1)} \geq 2$

Áp dụng BĐT: $\sqrt{(x - 1)(y - 1)} \leq \dfrac{(\sqrt{x - 1} + \sqrt{y - 1})^2}{4} = \dfrac{a^2}{4}$

$\Rightarrow 2 \leq a^2 + a \leq 2 + \dfrac{a^2}{4} \Leftrightarrow 1 \leq a \leq \dfrac{2\sqrt{7} - 2}{3}$ (Do $a \geq 0$ )

Ta có: $P = 4 - a \geq 4 - \dfrac{2\sqrt{7} - 2}{3} = \dfrac{14 - 2\sqrt{7}}{3}$

Ta lại có: $P = 4 - a \leq 4 - 1 = 3$

Vậy $Min_P = \dfrac{14 - 2\sqrt{7}}{3}$. Dấu “=” xảy ra khi $x = y = \dfrac{17 - 2\sqrt{7}}{9}$

Và $Max_P = 3$ khi $x = 2; y = 1$ và ngược lại.

#445006 Giải PT: $\frac{2+\sqrt{x}}{3+\s...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 23-08-2013 - 22:27 trong Đại số

Giải

ĐK: $0 \leq x \leq 1$

Phương trình ban đầu tương đương:

$2 + \sqrt{x} = 3\sqrt{x} + 3\sqrt{1 - x} + \sqrt{x(1 - x)} + 1 - x$

$\Leftrightarrow x - 2\sqrt{x} + 1 = \sqrt{1 - x} ( 3 + \sqrt{x})$

$\Leftrightarrow (1 - \sqrt{x})^2 = \sqrt{1 - x} ( 3 + \sqrt{x})$

$\Leftrightarrow \dfrac{1 - x}{1 + \sqrt{x}}(1 - \sqrt{x}) = \sqrt{1 - x} ( 3 + \sqrt{x})$

Nhận thấy phương trình có một nghiệm bằng 1

Với $x \neq 1$, chia hai vế của phương trình cho $\sqrt{1 - x}$, ta được:

$\dfrac{\sqrt{1 - x}}{1 + \sqrt{x}}(1 - \sqrt{x}) = 3 + \sqrt{x} \, (\star)$

Ta thấy: $VT \leq 1 < 3 \leq VF$. Vì vậy $(\star)$ vô nghiệm.

Do đó: Phương trình ban đầu có nghiệm duy nhất x = 1.

#433497 [Phương trình lượng giác]

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 07-07-2013 - 13:09 trong Phương trình, Hệ phương trình Lượng giác

Giải

ĐK: $\sin{2x} \neq - 1 \Leftrightarrow 2x \neq \dfrac{-\pi}{2} + k2\pi \Leftrightarrow x \neq \dfrac{- \pi}{4} + k\pi (k \in Z)$

Phương trình ban đầu tương đương:

$\sin{2x} + 3\sqrt{2}\cos{x} - 2\cos^2{x} - 1 = \sin{2x} + 1$

$\Leftrightarrow 2\cos^2{x} - 3\sqrt{2}\cos{x} + 2 = 0$

$\Leftrightarrow (2\cos{x} - \sqrt{2})(\cos{x} - \sqrt{2}) = 0$

$\Rightarrow \cos{x} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \, (\cos{x} \leq 1)$

$\Leftrightarrow x = \pm \dfrac{\pi}{4} + k2\pi$

Đối chiếu điều kiện, ta chọn $x = \dfrac{\pi}{4} + k2\pi \, (k \in Z)$

#431441 $2\sqrt{x}+y\sqrt{x+1}=4y$ ....

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 28-06-2013 - 22:54 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

Giải

- Với y = 0 $\Rightarrow$ x = 0. Hệ có nghiệm (x; y) = (0; 0)

- Với $y \neq 0$, hệ ban đầu tương đương:
$\left\{\begin{matrix}2\dfrac{\sqrt{x}}{y^2} + \dfrac{\sqrt{x + 1}}{y} = \dfrac{4}{y}\\\dfrac{\sqrt{x + 1}}{y} \left ( 1 + \dfrac{\sqrt{x}}{y^2}\right ) = 2 (2 + \dfrac{\sqrt{x}}{y^2} + \dfrac{1}{y^2})\end{matrix}\right.$

Đặt $a = \dfrac{\sqrt{x}}{y^2}; b = \dfrac{\sqrt{x + 1}}{y} = b$, ta được:
$\left\{\begin{matrix}2a + b = \dfrac{4}{y}\\ b(1 + a) = 2 (2 + a + \dfrac{1}{y^2})\end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix}\dfrac{2a + b}{4} = \dfrac{1}{y}\\ \dfrac{ab + b - 4 - 2a}{2} = \dfrac{1}{y^2}\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \dfrac{ab + b - 4 - 2a}{2} = \left ( \dfrac{2a + b}{4} \right )^2$

$\Leftrightarrow (2a - b)^2 + 8(2a - b) + 32 = 0$

Vì phương trình này vô nghiệm nên hệ ban đầu chỉ có 1 nghiệm duy nhất (x; y) = (0; 0)

#446317 Giải bất phương trinh

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 30-08-2013 - 15:44 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

Bạn thử xem lại đề nhé. Hai biểu thức $\sqrt{5 - 2x}$ và $\sqrt{x - 3}$ không cùng xác định.

#446033 x+y+z = xyz tìm min của $\frac{1}{\sqrt{1+...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 28-08-2013 - 23:37 trong Bất đẳng thức và cực trị

Không biết đề có đúng không nhỉ Bạn thử tham khảo xem nhé.

Giải

- Đặt $x = \tan{A}; y = \tan{B};z = \tan{C}$

- Theo giả thiết: $x, y, z > 0 \Rightarrow 0 < A, B, C < \dfrac{\pi}{2}$

Ta có: $x + y + z = xyz \Leftrightarrow x + y = z(xy - 1)$

- Do $x, y, z > 0$ nên $xy \neq 1$, suy ra:

$z = \dfrac{x + y}{xy - 1} \Rightarrow \tan{A} = \dfrac{\tan{B} + \tan{C}}{\tan{B}\tan{C} - 1} = - \tan{\left ( B + C\right )} \Rightarrow A + B + C = \pi$

- Khi đó:

$P = \frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+z^{2}}}$

$P = \cos{A} + \cos{B} + \cos{C} = 1 + 4\sin{\dfrac{A}{2}}\sin{\dfrac{B}{2}}\sin{\dfrac{C}{2}}$

Biểu thức nói trên không tìm được giá trị nhỏ nhất nếu 2 trong 3 góc tiến dần về $90^o$

#434866 Bài tập tính giá trị của biểu thức đặc biệt

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 12-07-2013 - 20:56 trong Đại số

Giải

Ta có:

$7 + 5\sqrt{2} = (\sqrt{2})^3 + 3.(\sqrt{2})^2 + 3.\sqrt{2} + 1 = (\sqrt{2} + 1)^3$

Vì vậy:

$x = \sqrt[3]{7 + 5\sqrt{2}} - \dfrac{1}{ \sqrt[3]{7 + 5\sqrt{2}}} = \sqrt{2} + 1 - \dfrac{1}{\sqrt{2} + 1}$

$x = \sqrt{2} + 1 - (\sqrt{2} - 1) = 2$

Vậy A = 0

Trang 21 / 22