Bài 3
Giải
ĐK: $x \geq 0$
Phương trình tương đương:
$(\sqrt{x})^2 + (\sqrt{x})^3 = (\sqrt[6]{3x + 1})^2 + (\sqrt[6]{3x + 1})^3$
Đặt $a = \sqrt{x}; b = \sqrt[6]{3x +1} \, (a\geq 0, b > 0)$, ta được:
$a^2 + a^3 = b^2 + b^3 \Leftrightarrow (a - b)\left (a + b + a^2 + ab + b^2\right ) = 0 \Leftrightarrow a = b$
$\Rightarrow \sqrt{x} = \sqrt[6]{3x + 1} \Leftrightarrow x^3 = 3x + 1$
Đặt $x = 2\cos{\alpha}$. Phương trình nói trên có 3 nghiệm là: $x = 2\cos{\left (\dfrac{\pi}{9} \right )}$, $x = 2\cos{\left (\dfrac{5\pi}{9} \right )}$ và $x = 2\cos{\left (\dfrac{7\pi}{9} \right )}$
Do $x \geq 0$ nên $x = 2\cos{\left (\dfrac{\pi}{9} \right )}$ là nghiệm duy nhất của phương trình.