Có bao nhiêu cách chia tập hợp S gồm n phần tử thành 2 tập hợp con (bao gồm cả tập rỗng) sao cho hợp của 2 phần tử đó là S

Đề thi chuyên toán vòng 2 trường đại học khoa học Huế

tg:150p

Câu I

1.CM giá trị P ko phụ thuộc x.

$P=\frac{2x}{x+3\sqrt{x}+2}+\frac{5\sqrt{x}+1}{x+4\sqrt{x}+3}+\frac{\sqrt{x}+10}{x+5\sqrt{x}+6}$

2.Cho bốn số nguyên thoả a+b=c+d và ab+1=cd.

CM c=d

Câu II

1.$x^{2}+8\sqrt{x+8}=5x+20$

2.$\left\{\begin{matrix}x^{3}+2y^{2}=16 \\y^{3}+2x^{2}=16 \end{matrix}\right.$

Câu III.CHo pt $x^{4}-2(m^{2}+2)x^{2}+4m^{2}+2m+2=0$ (1), trong đó m là tham số thực.

1.CM với mọi m pt (1) luôn có 4 nghiệm phân biệt a,b,c,d.

2.Tìm m biết $a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4}=24$

Câu IV.

Cho tam giác ABC cân tại A, dduwowngf cao AH. Dựng đường tròn (S) tâm A và có bán kính nhỏ hơn AH. Từ B vẽ tiếp tuyến BE với đường tròn (S) (E tiếp điểm). Đường thẳng HE cắt (S) tại điểm thứ hai là F.CM

1.TAm giác AEF đồng dạng ABC
2.Đường thẳng CF là tiếp tuyến Với (S)

Câu V.

Có 20 đội bóng thi đấu(kết quả chỉ có thắng hoặc thuA) THEO thể thức vòng tròn. CM có thể sắp xếp tất cả 20 đội bóng theo 1 thứ tự sao cho đội đứng trước thắng đội đứng kề sau.

Câu VI.CM pt $x^{2}-2y^{2}+8z=3$ 

Câu 1b:

Theo gt thì c và d  là nghiệm của pt:

$x^{2}-(a+b)x+ab+1=0\Leftrightarrow (x-a)(x-b)=-1\Leftrightarrow x_{1}=1+a,x_{2}=b-1$ (không mất tính tổng quát) giả sử $c=1+a, d=b-1$

Thay vô gt $ab+1=cd$ ta được: $cd-d+c-1+1=0\Leftrightarrow c=d$

Câu 2a:

$x^{2}+8\sqrt{x+8}=5x+20\Leftrightarrow 4x^{2}-16x+16=4x+32-32\sqrt{x+8}+64\Leftrightarrow (2x-4)^{2}=(2\sqrt{x+8}-8)^{2}$

Đến đây dễ rồi

1.trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho hình vuông $ABCD$ có đỉnh $A$ thuộc đường thẳng $d:x-y-4=0$, đường thẳng $BC$ đi qua điểm $M(4;0)$, đường thằng $CD$ đi qua điểm $N(0;2)$. Biết tam giác $AMN$ cân tại $A$, viết phương trình đường thẳng $BC$.

2.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho hình vuông $ABCD$, có $BD$ nằm trên đường thẳng $d:x+y-3=0$, điểm $M(-1;2)$ thuộc đường thằng $AB$, điểm $N(2;-2)$ thuộc đường thẳng $AD$. Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông $ABCD$ biết điểm $B$ có hoành độ dương.

Cho $x,y,z>0$ thỏa $xy^{2}+yz^{2}+zx^{2}=3$. Chứng minh rằng:

$\Sigma \sqrt[3]{x+7}\leq 2\Sigma x^{4}$

Giải hệ phương trình

$\left\{\begin{matrix} 10x-xy-y-2=2 & & \\ 30x^{2}-xy^{2}-2xy-x-y=1& & \end{matrix}\right.$

Tìm số nguyên dương $k$ nhỏ nhất sao cho trong $k$ phần từ tùy ý của tập ${1;2;...;49;50}$ luôn chứa $3$ số là độ dài $3$ cạnh của $1$ tam giác vuông 

Xác định dạng của tam giác $ABC$ biết :$2.cosA.sinB.sinC +\sqrt{3}(sinA+cosB+cosC)=\frac{17}{4}$

Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn:$xy+yz+zx=3xyz$

Chứng minh rằng: $\frac{y^2}{xy^2+2x^2}+\frac{x^2}{zx^2+2z^2}+\frac{z^2}{yz^2+2y^2}\geq 1$

từ gt có$\Sigma \frac{1}{x}=3$, đặt$x=\frac{1}{a},y=\frac{1}{b},z=\frac{1}{c}$ thì $a+b+c=3$ và bất trở thành:

$\Sigma \frac{a^{2}}{a+2b^{2}}=\Sigma \frac{a^{4}}{a^{3}+2a^{2}b^{2}}\geq \frac{(\Sigma a^{2})^{2}}{\Sigma a^{3}+2\Sigma a^{2}b^{2}}$

Cần cm $\Sigma a^{4}\geq \Sigma a^{3}$ (1)

với (1) thì dễ cm do $a+b+c=3$

đpcm

Giải bất phương trình:

$\sqrt[3]{2x+1}\leq x^{2}(x+3)+2x+1$

giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} x^{2}-5y+3+6\sqrt{y^{2}-7x+4}=0 & & \\ y(y-x+2)=3x+3& & \end{matrix}\right.$

cho a,b,c là các số thực dương

CMR 

$\sum \frac{a}{a^{2}+ab+b^{2}}\geq \frac{a+b+c}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

dùng schwarz

$\Sigma \frac{a}{a^{2}+ab+b^{2}}\geq \Sigma \frac{a^{2}}{a^{3}+ab(a+b)}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{\Sigma a^{3}+\Sigma ab(a+b)}=\frac{a+b+c}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}(\Sigma a^{3}+\Sigma ab(a+b)=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}))$

Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$, $BC$  không đi qua $O$. Gọi $H$ là trực tâm tam giác $ABC$,$A',B'$ lần lượt là hình chiếu của $D$ trên $BC, CA$. Đường thẳng $AH$ cắt đường thẳng $A'B'$ tại $E$ và cắt đường tròn tại $F$.

a)Chứng minh tứ giác $ABCD$ là hình bình hành.

b)Gỉa sử các điểm $A,C,D$ cố định còn $B$ di động trên $(O)$.Chứng minh rằng khi $B$ di động thì $E$ luôn chạy trên 1 đường tròn cố định

Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng:$\frac{1+\sqrt{3}}{3\sqrt{3}}(a^{2}+b^{2}+c^{2})(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq a+b+c+\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

Cho tam giác ABC, tìm GTLN của :$T=\frac{\sqrt[3]{sin A}+\sqrt[3]{sin B}+\sqrt[3]{sin C}}{\sqrt[3]{cos \frac{A}{2}}+\sqrt[3]{cos\frac{B}{2}}+\sqrt[3]{cos\frac{C}{2}}}$ 

 

2b.

Mẫu là bình phương tương tự tử =$(4x^{2}+6x+1)^{2}$

P=$( \frac{4x^{2}+6x+1}{x+3})^{2}$

Dến đây thì dễ rồi.

PS:hieuvipntp làm bài được ko vậy.

 

 

anh học lớp 10 rồi em, cái ni a lấy của mấy đứa lớp 9 trường cũ

Cho 1 lưới tam giác đều lập nên bằng cách lát 1 hình tam giác đều bằng $n^{2}$ hình tam giác đều nhỏ. Hỏi có bao nhiêu hình bình hành có đỉnh ở nút lưới và cạnh là các đoạn thẳng của lưới 

Cho $x, y\geq 0$.

 Chứng minh rằng $\sqrt{x^2-x+1}\sqrt{y^2-y+1}+\sqrt{x^2+x+1}\sqrt{y^2+y+1}\geq 2(x+y)$

Cho $a\geq b\geq 0$.

 Chứng minh rằng $\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt[3]{a^3+b^3}+\sqrt[4]{a^4+b^4}\leq 3a+b$

Xác định dạng tam giác ABC biết:

  $\left\{\begin{matrix} a^{2}.sin2B+b^{2}.sin2A=4ab.cosA.cosB & & \\ sin2A+sin2B=4.sinA.sinB & & \end{matrix}\right.$

   chọn đội dự tuyển THPT Chuyên Quốc Học ngày 2 2013-2014

Bài 1(3 điểm) Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng:

   $\Sigma (\frac{a}{a+2b})^{2}\geq \frac{1}{3}$.

Bài 2(3 điểm)

 Trên mặt phẳng cho 2014 điểm phân biệt thỏa mãn điều kiện : với $2$ điểm bất kỳ ta luôn tìm được ít nhất $1$ điểm thứ $3$ thẳng hàng với $2$ điểm đó . chứng minh rằng $2014$ điểm đã cho là thẳng hàng.

Bài 3(4 điểm)

Cho tam giác $ABC$ không cân có đường tròn nội tiếp $(O)$ tiếp xúc với các cạnh $BC, CA, AB$ lần lượt là $D, E, F$.Đường thẳng qua $E$ và song song với $AB$ cắt $AD$ tại $H$, gọi $K$ là điểm đói xứng với $H$ qua $E$.

 a)Chứng minh rằng $AK, EF, BD$ đồng quy.

 b)Chứng minh rằng $\frac{DE}{BA+AC}+\frac{EF}{AC+AB}+\frac{FD}{AB+BC}< \frac{3}{4}$

giải phương trình và hệ phương trình sau :

$a,8x^{2}-13x+1=(1+\frac{1}{x})\sqrt[3]{3x^{2}-2}$

 

$b,\sqrt{1-x^{2}}+\sqrt[4]{x^{2}+x-1}+\sqrt[6]{1-x}=1$

 

$c,x(3+2x^{2}-x^{4})=\sqrt{3}(3x^{4}+2x^{2}-1)$

 

$d,\sqrt{x^{2}-1}+x=\sqrt{x^{3}-2}$

 

$e,\left\{\begin{matrix} \frac{1}{x}-\frac{1}{2y}=2(y^{4}-x^{4})\\ \frac{1}{x}+\frac{1}{2y}=(3x^{2}+y^{2})(3y^{2}+x) \end{matrix}\right.$

câu a) Đặt $\sqrt[3]{3x^2-2}=2y-1$ thì ta có hệ $\left\{\begin{matrix} 8x^{3}-13x^{2}+2x-2xy-2y+1=0 & & \\ 8y^{3}-12y^{2}+6y-3x^{2}+1=0& & \end{matrix}\right.$ 

đến đây trừ vế trên với dưới ta được nhân tử x-y

Ta có :$P=a^2+b^2+c^2+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}=\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ac}+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

Gỉa sử $a\geq b\geq c$

$= > P\geq \frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ac+c^2}+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}=\frac{a^2+b^2+c^2}{(c+a)(c+b)}+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 2< = > (a-b)^2(a+b-2c)\geq 0$(Luôn đúng)

phải là $\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca}\geq \frac{a^{2}+b^{2}+2c^{2}}{ab+bc+ca+c^{2}}$ chứ

$a,b,c \in R$ $tm$ $a^{^{2}}+b^{2}+c^{2}=2$ .$Cmr$

$a,\left | a+b+c-abc \right |\leq 2$

$b,∣

a3+b3+c3−3abc∣∣≤22√

 

a3+b3+c3−3abc∣∣≤22√

 

$(\sum a(a^{2}-bc))^{2}\leq 2(\sum a^{4}-2abc(a+b+c)+\sum (bc)^{2})\leq 2(a^{4}+2\sum (bc)^{2})\leq 2(\sum a^{2})^{2}\doteq 8$

(do $(ab+bc+ca)^{2}\geq 0$)

suy ra đpcm

$a,b,c \in R$ $tm$ $a^{^{2}}+b^{2}+c^{2}=2$ .$Cmr$

$a,\left | a+b+c-abc \right |\leq 2$

$b,\left | a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc \right |\leq 2\sqrt{2}$

a)$\left |a+b+c-abc \right |$

giả sử$c=min(a,b,c)$

Xét$(a+b+c-abc)^{2}=((a+b)+c(1-ab))^{2}\leq ((a+b)^{2}+c^{2})(1+(1-ab)^{2})=(2+2ab)((ab)^{2}-2ab+2)$

Mặt khác,$\left | ab \right |\leq \frac{1}{2}(a^{2}+b^{2})\leq 1$

Do đó,(2+2ab)((ab)^{2}-2ab+2)= 2(a^{2}b^{2}(ab-1)+2)\leq 4

suy ra đpcm

dấu bằng khi $a=b=1,c=0$ hoặc các hoán vị