Cho $a,b,c\geq 0, a+b+c=1$ CMR:

$\sqrt{a+\frac{(b-c)^{2}}{4}} +\sqrt{b}+\sqrt{c}\leq \sqrt{3}$

Cho $x, y, z > 0, x+y+z=xyz$

Tìm max $P=\frac{x}{x^{2}+1}+\frac{y}{y^{2}+1}+\frac{z}{z^{2}+1}$

Cho $\ P(x)$, $degP=n$, hệ số cao nhất là $\ a$, $\sqrt{1-x^{2}}\left | P(x)\right |\leq1 \forall x\in \left [ -1;1 \right ]$

CMR: $\left | a \right |\leq 2^{n}$

Cho $a,b,c \in \left [ 0;1 \right ]$

Chưng minh rằng $a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a+1$

Có điều kiện x >= y >= z >0. Mình quên ạ!

Cho $x,y,z > 0$. Chứng minh rằng

$\frac{x^{2}y}{z}+\frac{y^{2}z}{x}+\frac{z^{2}x}{y}\geq x^{2}+y^{2}+z^{2}$

Cho $a, b, c\geq$0 chứng minh: 

$(a+b+c)(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})+(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}\geq (a+b+c)^{2}$

Cái này đánh giá Bunhia cũng đc  

Cho 

$a+b+c=1$

$a,b,c>0$

CMR: $\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}\geq 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

Sử dụng Engel: 

$a+b+c\leq 3\Rightarrow \sum \frac{1}{2-a}\geq \frac{9}{6-(a+b+c)}\geq 3$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$

Ta có: 

$\frac{a}{b^{3}+ab}=\frac{a+b^{2}}{b(a+b^{2})}-\frac{b^{2}}{b(a+b^{2})}\geq \frac{1}{b}-\frac{1}{2\sqrt{a}}$

Tương tự: 

$\sum \frac{a}{b^{3}+ab}\geq \sum \frac{1}{a}-\sum \frac{1}{\sqrt{a}}\geq \frac{3}{2}\sum \frac{1}{\sqrt{a}}-3$

Ta lại có 

$\sum \sqrt{a}\leq \frac{1}{2}(a+b+c+3)=3$

$\Rightarrow \sum \frac{1}{\sqrt{a}}\geq 3$

$\Rightarrow \sum \frac{a}{b^{3}+ab}\geq 3.\frac{3}{2}-3=\frac{3}{2}$

Cách hay hơn ạ: 

$(a+b)+(b+c)+(c+a)\geq 3\sqrt[3]{(a+b)(b+c)(c+a)}$

$\Rightarrow 8(a+b+c)^{3}\geq 27(a+b)(b+c)(c+a)$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$

Sử dụng hằng đẳng thức này nhé:$(a+b+b)^{3}=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3(a+b)(b+c)(c+a)$

Ta cần chứng minh $8(a^{3}+b^{3}+c^{3})\geq 3(a+b)(b+c)(c+a)$

Thật vậy

$3(a^{3}+b^{3})=3(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})\geq 3ab(a+b)$

$3(b^{3}+c^{3})\geq 3bc(b+c)$

$3(c^{3}+a^{3})\geq 3ca(c+a)$

$2(a^{3}+b^{3}+c^{3})\geq 6abc$

$\Rightarrow 8(a^{3}+b^{3}+c^{3})\geq 3(a+b)(b+c)(c+a)$

$\frac{1}{x^{2}+2}+\frac{1}{4}(x^{2}+2)+\frac{3}{4}x^{2}\geq 1+\frac{3}{4}x^{2}$

$\Rightarrow \frac{1}{x^{2}+2}+x^{2} \geq \frac{1}{2}+\frac{3}{4}x^{2}\geq \frac{1}{2}$

Cho $a,b,c> 0$. Chứng minh rằng: 

$\frac{ab}{4b+4c+a}+\frac{bc}{4c+4a+b}+\frac{ca}{4a+4b+c}\leq \frac{a+b+c}{9}$

Xét hai trường hợp $ab\leq 0$ và $ab\geq 0$

Với  $ab\geq 0$ Đặt $\frac{a}{b}= t$

$t^{4}+1\geq 2t^{2}$

$t^{2}+1\geq 2t $

$\Rightarrow t^{4}+2\geq t^{2}+2t $

$\Leftrightarrow t^{4}+2-t^{2}+t\geq 3t$ 

$\Leftrightarrow t^{4}-t^{2}+t\geq 3t-2$

Tương tự, ta chứng minh được$\frac{1}{t^{4}}-\frac{1}{t^{2}}+\frac{1}{t}\geq \frac{3}{t}-2$

Do đó $P\geq2$

Với $ab\leq 0$ Đặt $\left | \frac{a}{b} \right |=t$

$\Rightarrow t^{4}+2\geq t^{2}+2t $$t^{4}-t^{2}-t\geq t-2$

Tương tự $\frac{1}{t^{4}}-\frac{1}{t^{2}}-\frac{1}{t}\geq \frac{1}{t}-2$

Do đó $P\geq -2$

Tích $ab$ có lớn hơn 0 không bạn?