Tìm $f(x) \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:

$i) f(2x)=2f(x)$;

$ii) f(x)+f(-x)=0$.

Với $a=1$ ta có: $a^x-x-1=-x < 0 \forall x >0$.

Cho mình hỏi tại sao có điều này với:

 "BPT" đúng với mọi $x\in \mathbb{R} \iff x\ln a \ge \ln{(x+1)} \quad\forall x>-1, x\neq 0.$

$\[\iff \frac{\ln{(x+1)}}{x} \le \ln{a} \le\frac{\ln{(t+1)}}{t} \quad\forall x>0, \forall t \in (-1,0).\]$

Tìm $a \in \mathbb{R}$ sao cho $a^x-x-1 \geq 0$ với $\forall x \in \mathbb{R}$.

Chứng minh: $\text{C}_{2n+1}^{n}\vdots 2n+1$

Tìm $\lim_{x\rightarrow \infty }(1+\dfrac{n}{x})^x$

3. Cho   $a+b+c=1$

Chứng minh         $b+c\geq 16abc$

Với $a$ or $b$ or $c =0$ thì BĐT luôn đúng.

Với $a,b,c\neq 0$,ta có:

$b+c \geq 16abc <=> \frac{1}{b} +\frac{1}{c} \geq 16a$

$<=> \frac{1}{b} +\frac{1}{c} \geq 16(1-b-c)$

$<=>\frac{1}{b}+16b+\frac{1}{c}+16c \geq 16$ (luôn đúng theo Cauchy)

Dãy Fibonacci thì có $U_1=1$ chứ sao lại bằng $0$ 

Chẳng thấy nó đặc biệt chỗ nào cả

Ta đặt $S_{n+1}=\sum_{i=1}^{n+1}\frac{U_i}{x_i}$

Khi đó: $S_{n+1}-S_n=\frac{U_{n+1}}{x^{n+1}} $

Chứng minh được: $U_{n+1}=\frac{1}{\sqrt{5}}((\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n}-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n$

Đặt $a=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ và $b=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$

Khi đó $(S_{n+1}-S_n)\sqrt{5}=\frac{a^n-b^n}{x^{n+1}}$

$<=>S_{n+1}\sqrt{5}-\frac{a^{n+1}}{x^{n+1}(a-x)}+\frac{b^{n+1}}{x^{n+1}(b-x)}$

$=S_n\sqrt{5}-\frac{a^n}{x^n(a-x)}+\frac{b^n}{x^n(b-x)}=...=S_1\sqrt{5}-\frac{a}{x(a-x)}+\frac{b}{x(b-x)}=\frac{b}{x(b-x)}-\frac{a}{x(a-x)}$

Do đó: 

$S_{n+1}\sqrt{5}=\frac{a^{n+1}}{x^{n+1}(a-x)}-\frac{b^{n+1}}{x^{n+1}(b-x)}+\frac{b}{x(b-x)}-\frac{a}{x(a-x)}$

Giờ lấy lim cái này @@

Để ý một tí thì chúng ta sẽ thấy nếu $x$ cực kì lớn hay $x\rightarrow \infty $ thì $S\rightarrow 0$

Vậy đề sai

$S=\frac{1}{(x-1)x-1}$ không phải $S=(x-1)x-1$ nên tất nhiên nếu $x$ cực kì lớn thì $S\rightarrow 0$

Cho dãy $Fibonaci$ với $U_{1}=0;U_{2}=1;U_{n+2}=U_{n+1}+U{n}$

Chứng minh $S=\sum_{i=1}^{n}\frac{U_{i}}{x^i} = \frac{1}{(x-1)x-1}$

Với n tiến đến vô cùng,$x \geq 2$, $x$ là số tự nhiên.

Đặc biệt,với $x=2;3;8;10;...$,ta có $S$ lần lượt bằng$\frac{1}U_{3};\frac{1}{U_{6}};\frac{1}{U_{11}};\frac{1}{U_{12}};...$

Cho $0<a,b<1$.Tìm $max$ $a^2b\sqrt{1-a^2}+ab^2\sqrt{1-b^2}$

Với $a,b,c,d>0$.Chứng minh:

$\frac{ab}{a+b}+\frac{cd}{c+d}\leq \frac{(a+c)(b+d)}{a+b+c+d}$

Cho x,y>0 và x+y=1.Tìm giá trị lớn nhất của $P=(1-\frac{1}{x^2})(1-\frac{1}{y^2})$

Ta có:$P=(1-\frac{1}{x^2})(1-\frac{1}{y^2})=\frac{(x^2-1)(y^2-1)}{x^{2}y^{2}}=\frac{(x+1)(y+1)}{xy}=1+\frac{2}{xy} \geq 3$

Chứng minh rằng phương trình sau có đúng một nghiệm $x^5-x^2-1=0$

Xét hàm$f(x)=x^5-x^2-1$,ta có

Tại $x\leq 1$,$f(x)<0$

Tại $x \geq 1$,ta có

$f'=5x^4-2x>0$ nên hàm đồng biến

Lại có $f(1)=-1<0$;$f(2)=27>0$

nên pt $x^5-x^2-1=0$ có 1 nghiệm duy nhất

Cho $a^4+b^4+c^4=1$,$a,b,c>0$

CM:$(\frac{a^4}{b}+\frac{b^4}{c}+\frac{b^4}{a})^4\geq 3$

Giải phương trình: 

$\sqrt{x^{2}+16}-2\sqrt{x^{2}-3x+4}=\sqrt{x+1}-1$

Ta có $\sqrt{x^{2}+16}-2\sqrt{x^{2}-3x+4}=\sqrt{x+1}-1$$(x>-1)$

$<=>\frac{x^2+16-4x^2+12x-16}{\sqrt{x^2+16}+2\sqrt{x^2-3x+4}}=\frac{x+1-1}{\sqrt{x+1}+1}$

$<=>x(\frac{12-3x}{\sqrt{x^2+16}+2\sqrt{x^2-3x+4}}-\frac{1}{\sqrt{x+1}+1})$

$<=>x=0$hoặc $\frac{12-3x}{\sqrt{x^2+16}+2\sqrt{x^2-3x+4}}-\frac{1}{\sqrt{x+1}+1}$

Ta có $\frac{12-3x}{\sqrt{x^2+16}+2\sqrt{x^2-3x+4}}-\frac{1}{\sqrt{x+1}+1}$

$<=>12\sqrt{x+1}+12-3x\sqrt{x+1}-3x=\sqrt{x^2+16}+2\sqrt{x^2-3x+4}$$(\sqrt{x^2+16}-5)+(2\sqrt{x^2-3x+4}-4)+(3x\sqrt{x+1}-18)+(3x-9)+(24-12\sqrt{x+1})=0$

$<=>(x-3)[\frac{2x}{\sqrt{x^2-3x+4}+2}+\frac{9(x^2-4x+12)}{\sqrt{x^3+x^2}+6}+\frac{x+3}{\sqrt{x^2+16}+5}-\frac{12}{\sqrt{x+1}+2}]=0$

<=>$x=3$ hoặc $\frac{2x}{\sqrt{x^2-3x+4}+2}+\frac{9(x^2-4x+12)}{\sqrt{x^3+x^2}+6}+\frac{x+3}{\sqrt{x^2+16}+5}-\frac{12}{\sqrt{x+1}+2}=0$

Xét$\frac{2x}{\sqrt{x^2-3x+4}+2}+\frac{9(x^2-4x+12)}{\sqrt{x^3+x^2}+6}+\frac{x+3}{\sqrt{x^2+16}+5}-\frac{12}{\sqrt{x+1}+2}=0$

Ta có $\frac{2x}{\sqrt{x^2-3x+4}+2} >2$;$\frac{9(x^2-4x+12)}{\sqrt{x^3+x^2}+6}>4$;$\frac{x+3}{\sqrt{x^2+16}+5}>0$;$-\frac{12}{\sqrt{x+1}+2}>-6$

$=>$ Vô nghiệm

Vậy $x=0;x=3$

Cho $a,b >0$ và $a+b=2$. Tìm $Min$:

$P=\frac{1}{4a^2+2}+\frac{1}{4b^2+2}+\frac{1}{ab}$

Ta có $P=\frac{1}{4a^2+2}+\frac{1}{4b^2+2}+\frac{1}{ab}=\frac{1}{4a^2+2}+\frac{1}{4b^2+2}+\frac{6}{6ab} \geq \frac{64}{4a^2+4b^2+36ab+4} \geq \frac{64}{11(a+b)^2+4}= \frac{4}{3}$

1) Với a,b,c là các số dương, thỏa mãn $abc=1$. CMR:

a) $\frac{1}{a^{2}(b+c)}+\frac{1}{b^{2}(c+a)}+\frac{1}{c^{2}(a+b)}\geq \frac{3}{2}$

Ta có: $A=\frac{1}{a^{2}(b+c)}+\frac{1}{b^{2}(c+a)}+\frac{1}{c^{2}(a+b)}$

$=\sum \frac{abc}{a^{2}b+a^{2}c}$

$=\sum \frac{bc}{ab+ac}$

Đặt $ab=x;bc=y;ca=z$,ta có:

$A=\sum \frac{x}{y+z} \geq \frac{3}{2}$ (theo Nesbit)

ta được đpcm

Vì $a,b,c\geq 0$ và $ab+bc+ca= 3$

$\Rightarrow 0\leq a,b,c\leq 1$

 

Sai rồi bạn.Với $a=b=1,2$,ta có $c=0,65$ 

Khi đó $ab+bc+ca=3$ nhưng $a,b>1$

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}x^{2}y+xy^{2}-3x=-3 \\ x^{2}+y^{2}-3y=1 \end{matrix}\right.$

Cho 3 số a,b,c khác 0 thỏa mãn $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=1$. Tính giá trị biểu thức:

P=$(a^{2004}-b^{2004})(b^{2005}+c^{2005})(c^{2006}-a^{2006})$

$(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=1$

<=>$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+2=0$

<=>$a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a+ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}+2abc=0.abc=0$

<=>$(a+b)(b+c)(c+a)=0$

Phần còn lại bạn tự chứng minh! =>$P=0$

Đặt số 01 là $x$,số 01 là $y$

=> số cần tìm có dạng $\overline{a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}}$(x,y,2,3,4)

Xét với x=> có 3.3.2.1 = 18 số

Xét với y=> có $4!=24$ cách

Cho $a,b,c>0$.CMR: $\frac{3a}{3+a}+\frac{4b}{4+b}+\frac{5c}{5+c}\leq \frac{12(a+b+c)}{12+a+b+c}$

Đặt$x=a+3;y=4+b;z=5+c$

Ta có:$\frac{3a}{3+a}+\frac{4b}{4+b}+\frac{5c}{5+c}=\frac{3x-9}{x}+\frac{4y-16}{y}+\frac{5z-25}{z}=12-(\frac{9}{x}+\frac{16}{y}+\frac{25}{z})\leq 12-\frac{144}{x+y+z}=\frac{12x+12y+12z-144}{x+y+z}=\frac{12(a+b+c)}{12+a+b+c}$(đpcm)

b)Tìm min $y=\sqrt{x-7}+\sqrt{9-x}$

Ta có:$y^{2}=x-7+9-x+2\sqrt{1-x^{2}+16x-64}=2+2\sqrt{1-(x-8)^{2}}\leq 4$

=>$y\leq 2$

Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ để  $\sqrt{\frac{4n-2}{n+5}}$ là một số hữu tỉ

Đặt $\sqrt{\frac{4n-2}{n+5}}=\frac{a}{b}$ với $(a,b)=1;a,b\in \mathbb{N};b\neq 0$

=>$\frac{4n-2}{n+5}=\frac{a^{2}}{b^{2}}=4-\frac{22}{n+5}$

=>$\frac{22}{n+5}=(2-\frac{a}{b})(2+\frac{a}{b})$

Thử chọn,tìm ra n

2. Cho $A=n^{2015}+n^{2014}+1$ tìm tất cả các số tự nhiên n để A là số nguyên tố

Ta có:$A=n^{2015}+n^{2014}+1=(n^{2}+n+1)(n^{2013}-n^{2011}+n^{2010}+...+1)$

Để $A$ là $SNT$ =>$n^{2}+n+1=1$ hoặc phần còn lại $=1$

=>$n=0$ or $n=1$

Mà $n=0$thì $A=1$vô lí

nên chỉ có $n=1$

 

Cho đường tròn tâm O và điểm A ở bên ngoài đường tròn. Dựng hai tiếp tuyến AB và AC đến đường tròn (O) (B, C là hai tiếp điểm). Kẻ đường kính BD của đường tròn tâm O.

a) Chứng minh OA vuông góc với BC (dễ)

a) Chứng minh CD//OA (dễ)

a) Tiếp tuyến của (O) tại D cắt đường thẳng BC tại K. Chứng minh: OK.AC=OC.AD

 

 

$\widehat{OCD}=\widehat{ODC}=\widehat{BOA}=\widehat{BCA}$(1)

$\widehat{DCK}=\widehat{DCB}(=90^{\circ})$(2)

Từ (1);(2)=>$\widehat{OCK}=\widehat{ACD}$(3)

$\Delta DCK\sim \Delta ACO(g.g)$

=>$\frac{AC}{CD}=\frac{OC}{CK}$(4)

Từ (3),(4)=>$\Delta ACD\sim \Delta OCK(c.g.c)$

=>(đpcm)