Con số $2012$ theo mình không có ý nghĩa lắm ở bài này. Thật như vậy, với nhận xét rằng $A^{r} = 0$ thì $A^{t} = 0$ với mọi $t \ge r$; và cũng để thuận tiện ta nói $r$ được đề cập là giá trị nhỏ nhất để $B^{r} = 0$, ta có:
- Nếu $r\le 2012$ thì $A + B^{2012} = A$ là ma trận khả nghịch theo giả thiết.
- Nếu $r > 2012$, ta đặt $C = B^{2012}$, lúc này, theo nguyên lý Archimedes tồn tại một số tự nhiên (nhỏ nhất) $c$ ($c \ge 2$) sao cho $2012c \ge r$, nghĩa là $c$ là số tự nhiên nhỏ nhất để $C^{c} = 0$. Lúc này, ta nhận xét rẳng (có thể chứng minh được) $A$ và $C$ cũng giao hoán nhau; $A$ khả nghịch và $C$ lũy linh. Tức là ta có thể phát biểu lại bài toán như sau:
'Cho $A, C$ là các ma trận vuông cấp $n$ thỏa mãn $AC = CA$; $A$ khả nghịch và tồn tại $c$ là số tự nhiên nhỏ nhất để $C^{c} = 0$. Chứng minh rằng $A + C$ cũng khả nghịch.'
Giả sử phản chứng $A + C$ là ma trận không khả nghịch, tức $r(A + C) < n$. Xét phương trình $(A + C)X = 0$ với $X$ là một ma trận $n\times 1$.
Từ định lý Rouché - Capelli, ta thấy:
- Phương trình trên có vô số nghiệm $X$ (1)
- Phương trình $AX = 0$ có $r(A) = r(A|0) = n$ nên sẽ có nghiệm duy nhất (2)
Mặt khác, phương trình trên tương đương $AX = -CX (*) \implies C^{c - 1}.A.X = -C^{c}X = 0$ (lưu ý $C^{c - 1} \neq 0$). Do $A, C$ giao hoán nhau nên $A$ và $C^{c - 1}$ cũng thế, nghĩa là $C^{c - 1}A = AC^{c - 1}$. Kết hợp các điều trên lại cho ta $AC^{c - 1}X = 0 \implies A^{-1}.A.C^{c - 1} = A^{-1}.0 = 0 \implies C^{c - 1}X = 0 (**)$
Từ (*) và (**), ta có như sau: $C^{c - 2}.AX = -C^{c - 1}X = 0$, tương tự quá trình trên, ta thu gọn được $C^{c - 2}X = 0$.
Cứ tiếp tục như vậy cho đến cuối cùng, ta thu được $CX = 0$. Từ (*) thì điều này đồng nghĩa với $AX = 0$. Nghĩa là với mỗi giá trị $X$ là nghiệm của $(A + C)Y = 0$ thì $X$ cũng là nghiệm của phương trình $AT = 0$. (3)
Kết hợp (1), (2) và (3) ta thu được mâu thuẫn. Vậy $A + C$ là một ma trận khả nghịch.